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1、生活中的概率實(shí)例：病人家屬和護(hù)士的對(duì)話生活中的概率實(shí)例：病人家屬和護(hù)士的對(duì)話1.1 序言序言試驗(yàn)試驗(yàn)事件事件A事件事件B樣本空間樣本空間（可能結(jié)果的集合）（可能結(jié)果的集合）AB事件事件概率律概率律P(A)P(B)概率模型的基本構(gòu)成概率模型的基本構(gòu)成1.2 概率模型概率模型概率模型的基本構(gòu)成：概率模型的基本構(gòu)成： 樣本空間樣本空間，這是一個(gè)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果的集合，這是一個(gè)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果的集合 概率律概率律，概率律為實(shí)驗(yàn)結(jié)果的集合，概率律為實(shí)驗(yàn)結(jié)果的集合A（稱之為（稱之為事件事件）確定）確定 一一 個(gè)非負(fù)數(shù)個(gè)非負(fù)數(shù)P（A）（稱為事件）（稱為事件A的的概率概率）。這個(gè)非負(fù)數(shù)）。這個(gè)非負(fù)數(shù) 刻畫
2、了我們對(duì)事件刻畫了我們對(duì)事件A的認(rèn)識(shí)或所產(chǎn)生的信念的程度。概率的認(rèn)識(shí)或所產(chǎn)生的信念的程度。概率 律必須滿足某些性質(zhì)。律必須滿足某些性質(zhì)。1.2.1 試驗(yàn)、樣本空間和事件試驗(yàn)、樣本空間和事件每一個(gè)概率模型都關(guān)聯(lián)著一個(gè)每一個(gè)概率模型都關(guān)聯(lián)著一個(gè)試驗(yàn)試驗(yàn),(試驗(yàn)有三個(gè)基本特性試驗(yàn)有三個(gè)基本特性)試驗(yàn)將產(chǎn)生一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，稱為試驗(yàn)將產(chǎn)生一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)，用，用表示表示;該試驗(yàn)的所有可能結(jié)果形成該試驗(yàn)的所有可能結(jié)果形成樣本空間樣本空間，用，用 表示表示;樣本空間的子集，即某些試驗(yàn)結(jié)果的集合，稱為樣本空間的子集，即某些試驗(yàn)結(jié)果的集合，稱為事件事件， 用大寫字母用大寫字母A，B，C等表示等表示例
3、：例：E1：拋擲一枚硬幣，觀察正面向上還是反面向上。：拋擲一枚硬幣，觀察正面向上還是反面向上。=正面，反面正面，反面E2：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)=1,2,3,4,5,6E3：在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命：在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命=0，+)（無限多個(gè)結(jié)果）（無限多個(gè)結(jié)果）注：在我們所討論的概率模型的問題中，只涉及一個(gè)試驗(yàn)注：在我們所討論的概率模型的問題中，只涉及一個(gè)試驗(yàn).例如例如:連續(xù)拋擲兩次硬幣的實(shí)驗(yàn)連續(xù)拋擲兩次硬幣的實(shí)驗(yàn),只能作為一次試驗(yàn)只能作為一次試驗(yàn),樣本空間為樣本空間為=(=(正面正面, ,正面正面) )，( (正面正面, ,反面
4、反面) )，( (反面反面, ,正面正面) )，( (反面反面, ,反面反面)若事件若事件A表示表示“第一次出現(xiàn)正面第一次出現(xiàn)正面”，則，則A=(A=(正面正面, ,正面正面) )，( (正面正面, ,反面反面) )1.2.2 選擇適當(dāng)?shù)臉颖究臻g選擇適當(dāng)?shù)臉颖究臻g1、在確定樣本空間的時(shí)候，不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果必須相互排斥。、在確定樣本空間的時(shí)候，不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果必須相互排斥。例如，擲骰子的試驗(yàn)中，我們可以把例如，擲骰子的試驗(yàn)中，我們可以把1,2,3定義為一個(gè)結(jié)果，記定義為一個(gè)結(jié)果，記為為1，把，把4,5,6定義為另一個(gè)結(jié)果，記為定義為另一個(gè)結(jié)果，記為2，于是樣本空間為，于是樣本空間為 =1，2但是不能
5、把但是不能把1,2,3定義為一個(gè)結(jié)果，同時(shí)把定義為一個(gè)結(jié)果，同時(shí)把1,4,5也定義為一也定義為一個(gè)結(jié)果，因?yàn)槿绻@樣定義，當(dāng)出現(xiàn)個(gè)結(jié)果，因?yàn)槿绻@樣定義，當(dāng)出現(xiàn)“1”時(shí)，就不知道得到時(shí)，就不知道得到什么結(jié)果了。什么結(jié)果了。2、對(duì)同一個(gè)實(shí)驗(yàn)，根據(jù)我們的興趣可以確定不同的模型。、對(duì)同一個(gè)實(shí)驗(yàn)，根據(jù)我們的興趣可以確定不同的模型。 注：但在確定模型時(shí)，不能遺漏樣本空間中的任何一個(gè)結(jié)注：但在確定模型時(shí)，不能遺漏樣本空間中的任何一個(gè)結(jié)果，也就是實(shí)驗(yàn)過程中總能夠得到樣本空間中的一個(gè)結(jié)果。果，也就是實(shí)驗(yàn)過程中總能夠得到樣本空間中的一個(gè)結(jié)果。 另外，建立樣本空間時(shí)，一方面要避免不必要的麻煩，同時(shí)另外，建立樣本空
6、間時(shí)，一方面要避免不必要的麻煩，同時(shí)清楚的刻畫我們感興趣的事件。清楚的刻畫我們感興趣的事件。例例:考慮兩個(gè)不同的游戲，他們都涉及連續(xù)拋擲考慮兩個(gè)不同的游戲，他們都涉及連續(xù)拋擲10次硬幣。次硬幣。 游戲游戲1：每次拋擲硬幣的時(shí)候，只要正面向上，我們就贏：每次拋擲硬幣的時(shí)候，只要正面向上，我們就贏1元元 游戲游戲2：在拋擲硬幣的時(shí)候，直到第一次出現(xiàn)正面朝上（含：在拋擲硬幣的時(shí)候，直到第一次出現(xiàn)正面朝上（含正面朝上的那一次正面朝上的那一次),以前的每次拋擲都贏以前的每次拋擲都贏1元（若元（若10次都正面向次都正面向下，贏下，贏10元）。若第一次正面朝上以后還有機(jī)會(huì)拋擲硬幣，則元）。若第一次正面朝上以
7、后還有機(jī)會(huì)拋擲硬幣，則以后每次贏以后每次贏2元，直到第二次出現(xiàn)正面向上。每次拋擲得到正面元，直到第二次出現(xiàn)正面向上。每次拋擲得到正面向上的時(shí)候，以后每次拋擲硬幣所贏的錢數(shù)比以前每次拋擲硬向上的時(shí)候，以后每次拋擲硬幣所贏的錢數(shù)比以前每次拋擲硬幣所贏得的錢數(shù)加倍。幣所贏得的錢數(shù)加倍。游戲游戲1中，贏錢數(shù)只與中，贏錢數(shù)只與10次拋擲中正面向上的次數(shù)有關(guān)，樣本空次拋擲中正面向上的次數(shù)有關(guān)，樣本空間可由間可由11個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果組成：個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果組成：=0，1，2，.，10游戲游戲2中，贏錢數(shù)不僅與正面出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān)，也與正面出現(xiàn)的中，贏錢數(shù)不僅與正面出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān)，也與正面出現(xiàn)的順序有關(guān)，樣本空間由所有長(zhǎng)度為
8、順序有關(guān)，樣本空間由所有長(zhǎng)度為10的正反序列組成。的正反序列組成。注：注： 游戲游戲2的樣本空間是古典概型，有的樣本空間是古典概型，有102個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn)1.2.3 事件間的關(guān)系和運(yùn)算事件間的關(guān)系和運(yùn)算集合集合(事件事件)|Axx 稱為稱為A相對(duì)于相對(duì)于的補(bǔ)集的補(bǔ)集(對(duì)立事件對(duì)立事件),記為記為.A并集（并集（和事件和事件）,|BxAxxBA 或或交集（交集（積事件積事件）,(|BxAxxBA 和和）且且AB陰影部分是陰影部分是BAAB陰影部分是陰影部分是BAAB陰影部分是陰影部分是BA 或或BAAB陰影部分是陰影部分是此處此處AB AABCA，B，C互不相交互不相交ABCA，B，C形成形成
9、的一個(gè)的一個(gè)完備事件組完備事件組（分割）（分割）1.2.5 特殊事件特殊事件必然事件：每次試驗(yàn)中一定出現(xiàn)的事件。用必然事件：每次試驗(yàn)中一定出現(xiàn)的事件。用表示。表示。不可能事件：每次試驗(yàn)中一定不出現(xiàn)的事件不可能事件：每次試驗(yàn)中一定不出現(xiàn)的事件, ,用用表示表示基本事件：只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的單點(diǎn)子集?；臼录褐话粋€(gè)樣本點(diǎn)的單點(diǎn)子集。1.2.4 集合（事件）的代數(shù)運(yùn)算集合（事件）的代數(shù)運(yùn)算ABBA CBACBA)()( ABBA CBACBA)()( )()()(CABACBA )()()(CABACBA AA AAAA AA A摩根定律：摩根定律：BABA BABA 一般情形：一般情形：nnn
10、nAA nnnnAA 例例1 1 觀察人的壽命：觀察人的壽命：A=“=“活到七十歲活到七十歲”,”,B=“=“活到六十歲活到六十歲”，則則A,B的關(guān)系為：的關(guān)系為：解：設(shè)解：設(shè)x表示人的壽命，則表示人的壽命，則,70| xxA,60| xxB故故BA 例例2 2 甲乙二人向同一目標(biāo)射擊，事件甲乙二人向同一目標(biāo)射擊，事件A A表示表示“甲至少中甲至少中2 2發(fā)，發(fā)，乙最多中乙最多中3 3發(fā)發(fā)”，則，則A.A.甲最多中甲最多中2 2發(fā)，乙最少中發(fā)，乙最少中3 3發(fā)。發(fā)。B.B.甲最多中甲最多中2 2發(fā)或乙最少中發(fā)或乙最少中3 3發(fā)。發(fā)。C.C.甲最多中甲最多中1 1發(fā)，乙最少中發(fā)，乙最少中4 4發(fā)
11、。發(fā)。D.D.甲最多中甲最多中1 1發(fā)或乙最少中發(fā)或乙最少中4 4發(fā)。發(fā)。A表示（表示（ ）解：設(shè)解：設(shè)x表示擊中發(fā)數(shù)，表示擊中發(fā)數(shù)，y表示乙擊中發(fā)數(shù)，則表示乙擊中發(fā)數(shù)，則32 yxA所以所以3232 yxyxA32 yx故故A表示表示“甲最多中甲最多中1發(fā)或發(fā)或乙最少中乙最少中4 4發(fā)發(fā)”。41 yx例例3（課本例（課本例4）某射手連續(xù)）某射手連續(xù)3次向某一目標(biāo)射擊。用次向某一目標(biāo)射擊。用“1”表表示擊中，示擊中，“0”表示未擊中，其樣本空間可表示未擊中，其樣本空間可用樹狀圖用樹狀圖表示表示如下如下：根根10110011110000 每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以用一每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以用一個(gè)末端的樹葉表
12、示，或等價(jià)個(gè)末端的樹葉表示，或等價(jià)的用由樹葉到根部的一個(gè)路的用由樹葉到根部的一個(gè)路徑表示。徑表示。 樹狀圖的優(yōu)點(diǎn)是可以表示樹狀圖的優(yōu)點(diǎn)是可以表示實(shí)驗(yàn)的順序特征。實(shí)驗(yàn)的順序特征?！暗谝淮螕糁心繕?biāo)第一次擊中目標(biāo)”表示為：表示為：(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0)而而(1,1,0),(1,0,0),0,1,0),(0,0,0)表示表示“第三次沒有擊中第三次沒有擊中”自學(xué)：課本例自學(xué)：課本例4例例7練習(xí)練習(xí)1 1：若：若A A表示表示“甲產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品，乙產(chǎn)品是合格品甲產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品，乙產(chǎn)品是合格品”，則，則A.A.甲產(chǎn)品是合格品，乙產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品甲產(chǎn)品是合格品，乙產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品
13、B.B.甲產(chǎn)品不是優(yōu)質(zhì)品，乙產(chǎn)品不是合格品甲產(chǎn)品不是優(yōu)質(zhì)品，乙產(chǎn)品不是合格品D.D.甲產(chǎn)品不是優(yōu)質(zhì)品或乙產(chǎn)品不是合格品甲產(chǎn)品不是優(yōu)質(zhì)品或乙產(chǎn)品不是合格品表示表示 （ ）練習(xí)練習(xí)2 2：袋子中有一個(gè)黑球，兩個(gè)白球，：袋子中有一個(gè)黑球，兩個(gè)白球，3 3個(gè)紅球，無放回取個(gè)紅球，無放回取兩次，用樹狀圖表示樣本空間。兩次，用樹狀圖表示樣本空間。根根紅紅紅紅紅紅紅紅白白白白白白白白黑黑黑黑黑黑1.2.6 概率律的定義概率律的定義假定我們已經(jīng)確定了樣本空間假定我們已經(jīng)確定了樣本空間以及與之聯(lián)系的實(shí)驗(yàn)，為了刻畫以及與之聯(lián)系的實(shí)驗(yàn)，為了刻畫每一個(gè)結(jié)果或結(jié)果的集合（事件）的似然程度，對(duì)每一個(gè)事件每一個(gè)結(jié)果或結(jié)果的
14、集合（事件）的似然程度，對(duì)每一個(gè)事件A,確定一個(gè)數(shù)確定一個(gè)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，稱為事件與之對(duì)應(yīng)，稱為事件A的概率，如果滿足下面幾的概率，如果滿足下面幾條公理：條公理：概率公理：概率公理： （1）（非負(fù)性）對(duì)一切事件）（非負(fù)性）對(duì)一切事件A，滿足，滿足 （2）（可加性）設(shè)）（可加性）設(shè)A和和B是兩個(gè)是兩個(gè)互不相容的事件互不相容的事件（互不互不相交的集合相交的集合），則他們的并滿足），則他們的并滿足0)(AP)()()(BPAPBAP更一般的，若更一般的，若,.,21AA是一個(gè)互不相容的事件序列，則他們是一個(gè)互不相容的事件序列，則他們的并滿足的并滿足.)()(.)(2121APAPAAP（3）（歸
15、一化）整個(gè)樣本空間）（歸一化）整個(gè)樣本空間（必然事件）的概率為（必然事件）的概率為11)(P 1、為了形象的理解概率的概念，可以把樣本空間中的實(shí)驗(yàn)、為了形象的理解概率的概念，可以把樣本空間中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果看成是質(zhì)點(diǎn)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)有一個(gè)質(zhì)量。結(jié)果看成是質(zhì)點(diǎn)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)有一個(gè)質(zhì)量。P(A)就是這個(gè)質(zhì)點(diǎn)集合的就是這個(gè)質(zhì)點(diǎn)集合的總質(zhì)量，而全空間的總質(zhì)量為總質(zhì)量，而全空間的總質(zhì)量為1.這樣，可加性的公理理解為：不這樣，可加性的公理理解為：不相交的事件序列的總質(zhì)量等于各個(gè)事件的質(zhì)量總和。相交的事件序列的總質(zhì)量等于各個(gè)事件的質(zhì)量總和。 2、概率更具體的解釋是頻率。例如、概率更具體的解釋是頻率。例如P(A)=2/3表示：在
16、大量表示：在大量重復(fù)試驗(yàn)中事件重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率約為出現(xiàn)的頻率約為2/3.(p8投硬幣實(shí)驗(yàn)）投硬幣實(shí)驗(yàn)） 3、概率的很多性質(zhì)沒有包含在公理中，但可以從公理系統(tǒng)、概率的很多性質(zhì)沒有包含在公理中，但可以從公理系統(tǒng)中推導(dǎo)出來。例如，由可加性和歸一性可得：中推導(dǎo)出來。例如，由可加性和歸一性可得：)(1)()()()(1PPPPP由此可知空事件（不可能事件）的概率為由此可知空事件（不可能事件）的概率為0，即，即0)(P)(1)(APAP又如：又如：1.2.7 離散概率模型與古典概型離散概率模型與古典概型 例例 考慮拋擲一枚硬幣。共兩個(gè)結(jié)果：正面向上考慮拋擲一枚硬幣。共兩個(gè)結(jié)果：正面向上H和反面向
17、和反面向上上T，樣本空間為，樣本空間為=H,T,事件為事件為 H,T，H， T，若硬幣均勻，則兩面出現(xiàn)機(jī)會(huì)相同，由可加性和歸一性可知：若硬幣均勻，則兩面出現(xiàn)機(jī)會(huì)相同，由可加性和歸一性可知： P(H,T)=P(H)+P(T)=1由此可得概率律：由此可得概率律： P(H,T)=1，P(H)=0.5，P(T)=0.5，P()=0 考慮另一個(gè)試驗(yàn)：依次拋擲三枚硬幣，樣本空間為：考慮另一個(gè)試驗(yàn)：依次拋擲三枚硬幣，樣本空間為：=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT. 假定上述假定上述8種結(jié)果可能性相同，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率為種結(jié)果可能性相同，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率為1/8.現(xiàn)利用三條公
18、理建立概率。例如事件：現(xiàn)利用三條公理建立概率。例如事件：A=兩個(gè)正面向上，一個(gè)反面向上兩個(gè)正面向上，一個(gè)反面向上=HHT,HTH,THH利用可加性：利用可加性：P(HHT,HTH,THH)=P(HHT)+P(HTH+P(THH) =1/8+1/8+1/8=3/8相似的，任何事件的概率等于相似的，任何事件的概率等于1/8乘以該事件包含的結(jié)果數(shù)。乘以該事件包含的結(jié)果數(shù)。離散概率律離散概率律 設(shè)樣本空間由有限個(gè)可能結(jié)果組成，則事件的概率可由組成設(shè)樣本空間由有限個(gè)可能結(jié)果組成，則事件的概率可由組成這個(gè)事件的實(shí)驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)或基本事件）的概率所決定。即：這個(gè)事件的實(shí)驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)或基本事件）的概率所決定
19、。即：)(.)()(),.,(2121sPsPsPsssPn若每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是等概率的，利用歸一化定理的若每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是等概率的，利用歸一化定理的nsPi1)(得到：得到：離散均勻概率律（古典概型）離散均勻概率律（古典概型） 設(shè)樣本空間由設(shè)樣本空間由n個(gè)等可能性的試驗(yàn)結(jié)果組成，則個(gè)等可能性的試驗(yàn)結(jié)果組成，則nAP基本事件）數(shù)的試驗(yàn)結(jié)果含與事件(A)( 古典概型中必須清楚概率空間及這個(gè)事件包含的結(jié)果數(shù)古典概型中必須清楚概率空間及這個(gè)事件包含的結(jié)果數(shù)（基本事件數(shù)）（基本事件數(shù)）解解:基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為 C310(1) A含有的基本事件總數(shù)為含有的基本事件總數(shù)為 CC2812157)(P31
20、02812CCCA(2)B含有的基本事件總數(shù)為含有的基本事件總數(shù)為 CCCC18222812158)(P31018222812CCCCCB 例例1有有10只晶體管只晶體管,其中有其中有2只次品只次品,從中隨機(jī)地抽取從中隨機(jī)地抽取3只只,求求: (1)其中恰有其中恰有1只次品的概率只次品的概率P(A); (2)其中至少有其中至少有1只次品的概率只次品的概率P(B).所以所以 例例2一部五卷的文集按任意順序放到書架上一部五卷的文集按任意順序放到書架上,求下列事件的概率求下列事件的概率:(1)A=“各卷自左向右或自右向左的卷號(hào)恰為各卷自左向右或自右向左的卷號(hào)恰為1,2,3,4,5”;(2)B=“第一
21、卷及第五卷分別在兩端第一卷及第五卷分別在兩端”.解解 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為55A(1)事件事件A包含兩個(gè)基本事件，所以包含兩個(gè)基本事件，所以.601A2P(A) 55 (2)事件事件B包含包含3322AA個(gè)基本事件，所以個(gè)基本事件，所以.101AAAP(B) 553322 例例3 有三個(gè)打字員為四個(gè)科室服務(wù)有三個(gè)打字員為四個(gè)科室服務(wù),如果四個(gè)科室各有一份如果四個(gè)科室各有一份文件要打字文件要打字,且各科室對(duì)打字員的選擇是隨機(jī)的且各科室對(duì)打字員的選擇是隨機(jī)的,試求試求:(1)四個(gè)科室把任務(wù)交給同一個(gè)打字員的概率四個(gè)科室把任務(wù)交給同一個(gè)打字員的概率;(2)每個(gè)打字員都有任務(wù)的概率每個(gè)打字員都
22、有任務(wù)的概率.解解:基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為43（1）事件）事件A包含的基本事件總數(shù)為包含的基本事件總數(shù)為13C所以所以.2713CP(A) 413（2）事件）事件B包含的基本事件總數(shù)為包含的基本事件總數(shù)為222413PCC. 943CP(B)4222413PC所以所以例例4 假設(shè)有假設(shè)有100件產(chǎn)品件產(chǎn)品,其中有其中有60件一等品件一等品,30件二等品件二等品,10件三等品件三等品.(1) 從中隨機(jī)一次抽取兩件從中隨機(jī)一次抽取兩件,求兩件均為一等品的概率求兩件均為一等品的概率;(2) 從中每次隨機(jī)抽取從中每次隨機(jī)抽取1件件,連續(xù)兩次連續(xù)兩次,求抽到兩件一等品的概率求抽到兩件一等品的概率;
23、解解 (1)略略 (2)分為兩種情形分為兩種情形:重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣(有放回抽樣有放回抽樣),基本事件總數(shù)基本事件總數(shù)1002,A所含基本事件個(gè)數(shù)為所含基本事件個(gè)數(shù)為602,所以所以36. 010060)(22BP不重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣(無放回抽樣無放回抽樣)基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為10099,A所含的基所含的基本事件個(gè)數(shù)為本事件個(gè)數(shù)為6059,所以所以16559991005960)(AP3576. 01.2.8連續(xù)模型連續(xù)模型 例例1 賭場(chǎng)中有一種叫做幸運(yùn)輪的賭具，在輪子上有均勻連續(xù)的賭場(chǎng)中有一種叫做幸運(yùn)輪的賭具，在輪子上有均勻連續(xù)的刻度，范圍為刻度，范圍為01,。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子停止時(shí)，固定的
24、指針會(huì)留在刻。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子停止時(shí)，固定的指針會(huì)留在刻度上。這樣，產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是度上。這樣，產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是0,1之間的一個(gè)數(shù)，是指針?biāo)钢g的一個(gè)數(shù)，是指針?biāo)赶虻奈恢玫目潭?。向的位置的刻度?因此樣本空間為因此樣本空間為=0,1。 假如輪子是均勻的，可以認(rèn)為輪子上的每一個(gè)點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)中都假如輪子是均勻的，可以認(rèn)為輪子上的每一個(gè)點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)中都是等可能的。但一個(gè)單點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性是多大呢？是等可能的。但一個(gè)單點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性是多大呢？它不可能是正數(shù)。否則的話，若單點(diǎn)出現(xiàn)的概率為正，看利用可它不可能是正數(shù)。否則的話，若單點(diǎn)出現(xiàn)的概率為正，看利用可加性，可導(dǎo)致某些事件的概率大于加性，可導(dǎo)致某
25、些事件的概率大于1的荒謬結(jié)論。的荒謬結(jié)論。因此，單點(diǎn)所組成的事件的概率必定為因此，單點(diǎn)所組成的事件的概率必定為0.對(duì)于連續(xù)模型，若每一個(gè)結(jié)果在試驗(yàn)中的出現(xiàn)是等可能的，稱對(duì)于連續(xù)模型，若每一個(gè)結(jié)果在試驗(yàn)中的出現(xiàn)是等可能的，稱為為幾何概型幾何概型，并且有：，并且有：的測(cè)度的測(cè)度DAP)(例例2 兩人相約于兩人相約于8時(shí)至?xí)r至9時(shí)在某地會(huì)面時(shí)在某地會(huì)面,先到者等候另一人先到者等候另一人15分鐘分鐘后即可離開后即可離開,求兩人能夠會(huì)面的概率求兩人能夠會(huì)面的概率.(p13)解解:依題意依題意,兩人在兩人在8時(shí)至?xí)r至9時(shí)的任意時(shí)刻到達(dá)時(shí)的任意時(shí)刻到達(dá),用用x,y分別表示兩人分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻到達(dá)的時(shí)刻
26、(單位單位:分分),則則(x,y)分別在區(qū)間分別在區(qū)間0,60上取值上取值,于是于是,=(x,y)|0 x60, 0y60yx6015015 60 設(shè)設(shè)A表示表示“兩人能夠會(huì)面兩人能夠會(huì)面”,則則A發(fā)生等發(fā)生等價(jià)于價(jià)于(x,y)落在落在G上上, G=(x,y)| |x-y|15,故故16760)1560(60)(222的面積的面積GAP例例7平面上畫有彼此間距為平面上畫有彼此間距為2a的平行線的平行線,向平面任意投一長(zhǎng)為向平面任意投一長(zhǎng)為2L(La)的針的針,試求針與平行線相交的概率試求針與平行線相交的概率.(p14)解解:設(shè)設(shè)x表示從針的中點(diǎn)到最近一條平行線的距離表示從針的中點(diǎn)到最近一條平行
27、線的距離,表示針與此線表示針與此線的夾角的夾角.x取值為取值為0,a,取值為取值為0,如圖如圖:=(x, )| 0 xa, 0 2ax設(shè)設(shè)A表示表示“針與平行線相交針與平行線相交”,則則sin0| ),(LxxA=(x,)| 0 xLsina2a sin)(0LdLGAP的面積的面積0 ax1.2.9概率律的性質(zhì)概率律的性質(zhì)a）若）若A B，則，則)()(BPAPP(B-A)=P(B)-P(A) b)()()()(BAPBPAPBAPc)()()(BPAPBAPd)(1)(APAPe)()()()()()()()(CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP或或)()()()(CBAPBAP
28、APCBAPABBABA ABCBA CBA 例例1、某班有、某班有n個(gè)人（個(gè)人（n365)，求這，求這n個(gè)人中至少兩個(gè)人的生個(gè)人中至少兩個(gè)人的生日是同一天的概率。日是同一天的概率。n=23，p（A）=0.507n=50，p（A）=0.970n=100，p（A）=0.9999967設(shè)設(shè)A=“至少有兩個(gè)人的生日在同一天至少有兩個(gè)人的生日在同一天”nnAApAp3651)(1)(365則則A“任何兩人的生日不在同一天任何兩人的生日不在同一天”，含有，含有解：基本事件的總數(shù)為解：基本事件的總數(shù)為n365nA365個(gè)基本事件個(gè)基本事件所以所以 例例2 一部一部5卷文集任意排在書架上，求第一卷排在左端或
29、第卷文集任意排在書架上，求第一卷排在左端或第五卷排在右端的概率五卷排在右端的概率設(shè)設(shè)A=“第一卷安排在左端第一卷安排在左端”，B=“第五卷排在右端第五卷排在右端”207! 5! 3! 5! 4! 5! 4解：基本事件總數(shù)為解：基本事件總數(shù)為5！BA“第一卷排在左端或第五卷排在右端第一卷排在左端或第五卷排在右端”)()()()(ABPBPAPBAP練習(xí)：隨機(jī)擲兩顆均勻的骰子，練習(xí)：隨機(jī)擲兩顆均勻的骰子，A A表示表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)奇數(shù)”，B B表示表示“至少有一顆出現(xiàn)至少有一顆出現(xiàn)1 1點(diǎn)，則點(diǎn)，則)(BAp3623例例3 設(shè)某單位訂有甲乙丙三種報(bào)紙?jiān)O(shè)某單位訂有甲乙丙三種
30、報(bào)紙,據(jù)估計(jì)據(jù)估計(jì),該單位職工中該單位職工中,有有20%讀甲報(bào)讀甲報(bào), 16%讀乙報(bào)讀乙報(bào), 14%讀丙報(bào)讀丙報(bào);其中其中8%兼讀甲乙報(bào)兼讀甲乙報(bào), 5%兼讀甲兼讀甲丙報(bào)丙報(bào),4%兼讀乙丙報(bào)兼讀乙丙報(bào); 又有又有2%兼讀三種報(bào)兼讀三種報(bào),求該單位職工至少讀一求該單位職工至少讀一種報(bào)紙的概率種報(bào)紙的概率.解解:設(shè)設(shè)A1=“讀甲報(bào)讀甲報(bào)”, A2=“讀乙報(bào)讀乙報(bào)”, A3=“讀丙報(bào)讀丙報(bào)”,則則 A1 A2=“兼讀甲乙報(bào)兼讀甲乙報(bào)”, A1 A3=“兼讀甲丙報(bào)兼讀甲丙報(bào)”, A2 A3=“兼讀乙丙報(bào)兼讀乙丙報(bào)”, A1 A2 A3 =“兼讀甲乙丙報(bào)兼讀甲乙丙報(bào)”,P(A1 +A2 +A3 )= P
31、(A1 )+P(A2 )+P(A3 ) -P(A1 A2)- P(A1 A3 )-P(A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 ) =0.2+0.16+0.14-0.08-0.05-0.04+0.0 =0.35例例4 假設(shè)假設(shè)A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為0.6,A與與B都發(fā)生的概率為都發(fā)生的概率為0.1, A與與B都不都不發(fā)發(fā) 生的概率為生的概率為0.15,求求 (1)A發(fā)生但發(fā)生但B不發(fā)生的概率不發(fā)生的概率. (2)B發(fā)生但發(fā)生但A不發(fā)生的概率不發(fā)生的概率.(3) A與與B至少有一個(gè)發(fā)生的概率至少有一個(gè)發(fā)生的概率.ABBA解解:（右圖）（右圖）)()()()(BABAABABAA)()()()(BAPBAPAPP故故得得15. 0)(6 . 01BAP所以所以25. 0)(BAP(1)0.50.1-0.6P(AB)-P(A)BP(A(2)(3)85. 015. 01)(1)(1)(BAPBAPBAP
第一章01樣本空間與概率
