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第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
【考綱下載】
1．能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．
2．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題．理解直線與平面所成的角、二面角的概念．
[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
1．直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義
直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．
(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理
[來源:]
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一條直線與一個平面
2、內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
?a∥b
2.直線與平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．如圖所示，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角．
(2)線面角θ的范圍：θ∈.
3．二面角的有關(guān)概念
(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．
4．平面與平面垂直的判定定理
文字語言
3、
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直
?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直
?l⊥α
1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那另一條與此平面是否垂直？
提示：垂直．
2．如果兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線一定平行嗎？
提示：不一定．可能平行、相交或異面．
3．垂直于同一平面的兩平面是否平行？
提示：不一定．可能平行，也可能相交．
4．垂直于同一條直線的兩個平面一定平行嗎？[來源:]
提示：平行．可由線面垂直的性質(zhì)及面面平行的判定定理推導出
4、．
1．(教材習題改編)給出下列四個命題：
①垂直于同一平面的兩條直線相互平行；
②垂直于同一平面的兩個平面相互平行；
③若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；
④若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么這條直線垂直于這個平面．
其中真命題的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選B ①④正確．
2．已知直線a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，則b與α的位置關(guān)系為( )
A．b?α B．b∥α
C．b?α或b∥α D．b與α相交
5、解析：選C ∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b?α.
3．(教材習題改編)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB、PC，PA、AC、BD，則一定互相垂直的平面有( )
A．8對 B．7對
C．6對 D．5對
解析：
選B 由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7對．
4．已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的____
6、____條件(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”)．
解析：設α∩β＝l，則當m?α，且m⊥l時，有m⊥β，否則m不垂直β，故α⊥β ?/ m⊥β；反之，若m?α，m⊥β，則α⊥β.
答案：必要不充分
5.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________．
解析：∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.
又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC.
故△PAB，△PAC，△BAC，△BCP都是直角三角形．
答案：4
答題模板(五)
空間位置關(guān)
7、系的證明
[典例] (2013浙江高考)
(15分)如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120，G為線段PC上的點．
(1)證明：BD⊥平面APC；[來源:]
(2)若G為PC的中點，求DG與平面APC所成的角的正切值；
(3)若G滿足PC⊥平面BGD，求的值．
[快速規(guī)范審題]
第(1)問
1．審結(jié)論，明解題方向
觀察所求結(jié)論，證明BD⊥平面APC證明BD與平面APC內(nèi)的兩相交直線垂直或證明BD所在的平面與平面APC垂直，且BD與交線垂直．
2．審條件，挖解題信息
觀察條件，AB＝BC，AD＝CD，
8、PA⊥平面ABCD，線面垂直的判定定理,BD⊥平面APC.
3．建聯(lián)系，找解題突破口
AB＝BC，AD＝CDBD⊥AC，PA⊥平面ABCD線面垂直的判定定理,BD⊥平面APC.
第(2)問
1．審結(jié)論，明解題方向
觀察所求結(jié)論，DG與平面APC所成的角的正切值射影定理,DG與平面APC所成的角．
2．審條件，挖解題信息
觀察條件，AB＝BC＝2，∠ABC＝120余弦定理,AC＝2比例關(guān)系,OC＝勾股定理,OD＝2.
3．建聯(lián)系，找解題突破口
在Rt△OGD中三角函數(shù)定義,tan∠OGD＝.
第(3)問[來源:]
1．審結(jié)論，明解題方向
觀察所求結(jié)論，PG、GC的值．
9、2．審條件，挖解題信息
觀察條件，PC⊥平面BGDOG?平面BGD,PC⊥OG勾股定理,PC的值．
3．建聯(lián)系，找解題突破口
PC⊥平面BGDOG?平面BGD,PC⊥OG勾股定理,PC的值 GC的值―→的值．
[準確規(guī)范答題]
(1)證明：設點O為AC與BD的交點．
由AB＝BC，AD＝CD，得BD是線段AC的中垂線，
所以O為AC的中點，BD⊥AC. ?2分
又因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，PA，AC?平面APC，
所以BD⊥平面APC.
10、 ?4分
(2)連接OG.由(1)可知，OD⊥平面APC，
則DG在平面
APC內(nèi)的射影為OG，
所以∠OGD是DG與平面APC所成的角． ?5分
由題意得OG＝PA＝.
在△ABC中，AC＝
＝ ＝2，
所以OC＝AC＝. ?7分
在Rt△OCD中，OD＝＝＝2.
在Rt△OGD中，tan ∠OGD＝＝.
11、
所以DG與平面APC所成的角的正切值為. ?10分
(3)因為PC⊥平面BGD，OG?平面BGD，所以PC⊥OG.在Rt△PAC中，PC＝＝＝，
所以GC＝＝＝. ?13分
從而PG＝，所以＝. ?15分
[答題模板速成]
證明空間線面位置關(guān)系的一般步驟：
第一步 審清題意
分析條件，挖掘題目中平行與垂直關(guān)系
第二步 明確方向
確定問題方向，選擇證明平行或垂直的方法，必要時添加輔助線
第三步 給出證明
利用平行垂直關(guān)系的判定或性質(zhì)給出問題的證明
第四步 反思回顧
查看關(guān)鍵點、易漏點，檢查使用定理時定理成立的條件是否遺漏，符號表達是否準確
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高考數(shù)學復習：第七章 ：第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
