高考數(shù)學復習：第十章 ：第四節(jié)　隨機事件的概率突破熱點題型

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 第四節(jié)　隨機事件的概率 考點一 隨機事件的關系 　 [例1]　(1)一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設事件A表示“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B表示“向上的一面出現(xiàn)的數(shù)不超過3”，事件C表示“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4”，則(　　) A．A與B是互斥而非對立事件 B．A與B是對立事件 C．B與C是互斥而非對立事件[來源:] D．B與C是對立事件 (2)判斷下列給出的每對事件是互斥事件還是對立事件，并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點

2、數(shù)都為1～10)中，任取一張． ①“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； ②“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； ③“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”． [自主解答]　(1)A∩B＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為所有基本事件的全集)，故事件B、C是對立事件． (2)①是互斥事件，不是對立事件． 原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還有可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件． ②既是互斥事件，又是對立事件． 原因：從40

3、張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是不可能同時發(fā)生的，且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．[來源:] ③不是互斥事件，也不是對立事件． 原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得牌點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件． [答案]　(1)D 【方法規(guī)律】 1．互斥事件的理解 (1)互斥事件研究的是兩個事件之間的關系．[來源:] (2)所研究的兩個事件是在一次試驗中所涉及的． (3)兩個事件互斥是從“試驗的結果不能同時出現(xiàn)”來確定的． 2．從集合的

4、角度理解互斥事件和對立事件 (1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合的交集為空集． (2)事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集. 從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，判斷下列每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件： (1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”； (2)“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”； (3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”； (4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”． 解：任取3只球，共有以下4種可能結果：“3只紅球”，“2只

5、紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”． (1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但有可能兩個都不發(fā)生，故不是對立事件． (2)“取出2只紅球1只白球”，與“取出3只紅球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，可能同時不發(fā)生，故不是對立事件． (3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有一只白球”不可能同時發(fā)生，故互斥．其中必有一個發(fā)生，故對立． (4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”可能同時發(fā)生，故不是互斥事件，也不可能是對立事件． 高頻考點 考點二 隨機事件的頻率與概率　　 1．隨機事件的

6、頻率與概率有著一定的聯(lián)系，在統(tǒng)計學中，可通過計算事件發(fā)生的頻率去估算事件的概率，因此，它們也成為近幾年高考的命題熱點．多以解答題的形式出現(xiàn)，有時也會以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．多為容易題或中檔題． 2．高考對該部分內(nèi)容的考查主要有以下幾個命題角度： (1)列出頻率分布表； (2)由頻率估計概率； (3)由頻率計算某部分的數(shù)量． [例2]　(2013湖南高考)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量 Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關系如下表所示：

7、 X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米． (1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量； Y 51 48 45 42 頻數(shù) 4 (2)在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48 kg的概率． [自主解答]　(1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株．列表如下： Y 51 48 45 42 頻數(shù) 2 4 6

8、3 所種作物的平均年收獲量為 ＝＝46. (2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝. 故在所種作物中隨機選取一株，它的年收獲量至少為48 kg的概率為P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝. 【互動探究】 若本例中的條件不變，試估計年收獲量介于[42,48]之間的可能性． 解：依題意知： 法一：P(42≤x≤48)＝P(x＝42)＋P(x＝45)＋P(x＝48) ＝＋＋＝. 法二：P(42≤x≤48)＝1－P(x＝51)＝1－＝.　　　　　 隨機事件的頻率與概率的常見類型及解題策略 (1)補全或寫出頻率分布表．可直接依據(jù)已知條件，逐一

9、計數(shù)，寫出頻率． (2)由頻率估計概率．可以根據(jù)頻率與概率的關系，由頻率直接估計概率． (3)由頻率估計某部分的數(shù)值．可由頻率估計概率，再由概率估算某部分的數(shù)值． 某射擊運動員進行雙向飛碟射擊訓練，各次訓練的成績?nèi)缦卤恚? 射擊次數(shù) 100 120 150 100 150 160 150 擊中飛碟數(shù) 81 95 123 82 119 127 121 擊中飛碟的頻率 [來源:數(shù)理化網(wǎng)] (1)將各次擊中飛碟的頻率填入表中； (2)這個運動員擊中飛碟的概率約為多少？ 解：利用頻率公式依次計算出擊中飛碟的頻率． (1)射擊

10、次數(shù)100，擊中飛碟數(shù)是81，故擊中飛碟的頻率是＝0.81，同理可求得下面的頻率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807； (2)擊中飛碟的頻率穩(wěn)定在0.81，故這個運動員擊中飛碟的概率約為0.81. 考點三 互斥事件、對立事件的概率 　 [例3]　(2013洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應的概率如下： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？ (2)至少3人排隊等候的概率是多少？ [

11、自主解答]　記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F互斥． (1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：記“至少3人排隊等候”為事件H，則 H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二：記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事

12、件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 【方法規(guī)律】 求復雜互斥事件概率的兩種方法 (1)直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算． (2)間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就會較簡便． 提醒：應用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先確定各個事件是否彼此互斥，然后求出各事件發(fā)生的概率，再求和(或差)． 某商場有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二

13、等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎券的中獎概率； (3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．[來源:] 解：(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分別為，，. (2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C. ∵A、B、C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝. 故1張獎券的中獎概率為. (3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或

14、中一等獎”為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝. 故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為. ———————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1個難點——對頻率和概率的理解 (1)依據(jù)定義求一個隨機事件的概率的基本方法是通過大量的重復試驗，用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率，但是，某一事件的概率是一個常數(shù)，而頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化． (2)概率意義下的“可能性”是大量隨機事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計”是不同的．也就是說，單獨一次結果的不確定性與積累結果的有規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本質屬性． 1個重點——對互斥事件與對立事件的理解 　(1)對于互斥事件要抓住如下特征進行理解： ①互斥事件研究的是兩個事件之間的關系； ②所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的； ③兩個事件互斥是從試驗的結果中不能同時出現(xiàn)來確定的． (2)對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且只有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作.從集合的角度來看，事件所含結果的集合正是全集U中由事件A所含結果組成的集合的補集，即A∪＝U，A∩＝?.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件． 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品