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第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)
考點一
冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)
[例1] (1)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是( )
(2)當0＜x＜1時，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小關(guān)系是________．
[自主解答] (1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，
∵冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(4,2)，
∴2＝4α，解得α＝.
∴y＝，其定義域為[0，＋∞)，且是增函數(shù)，
當0＜x＜1時，其圖象在直線y＝x的上方，對照選項，故選C.
(2)如圖所示為函數(shù)f(x)
2、，g(x)，h(x)在(0,1)上的圖象，由此可知h(x)＞g(x)＞f(x)．
[答案] (1)C (2)h(x)＞g(x)＞f(x)
【方法規(guī)律】
冪函數(shù)的圖象特征
(1)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分區(qū)域．根據(jù)α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．
(2)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較．
冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為 ( )
A．－1
3、 D．2
解析：選C 從圖象上看，由于圖象不過原點，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1
4、＋∞)．
【互動探究】
在本例條件下，若f(x)＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的取值范圍．
解：f(x)＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2＋x＋1＞k在[－3，－1]上恒成立．
設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，[來源:]
則g(x)在[－3，－1]上遞減．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k＜1，即k的取值范圍為(－∞，1)．
【方法規(guī)律】[來源:]
二次函數(shù)解析式的求法
根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：
(1)已知三個點坐標，宜選用一般式；
(2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)
5、值等，宜選用頂點式；
(3)已知圖象與x軸兩交點坐標，宜選用兩根式．
已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.求此二次函數(shù)的解析式．
解：依題意，知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，
故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函數(shù)有最大值ymax＝8，即－＝8，
解得a＝－4.
故函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
高頻考點
考點三 二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用
1．高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進行單獨考查的頻率較低，且多以選擇題形式出現(xiàn)，難度
6、偏大，屬中高檔題．
2．高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)二次函數(shù)圖象的識別問題；
(2)二次函數(shù)的最值問題；
(3)二次函數(shù)圖象與其他圖象有公共點問題．
[例3] (1)(2014鄭州模擬)設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是( )[來源:]
(2)(2013遼寧高考)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)．記H
7、1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝( )
A．a(chǎn)2－2a－16 B．a(chǎn)2＋2a－16 C．－16 D．16
(3)(2012山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列判斷正確的是( )[來源:]
A．x1＋x2>0，y1＋y2>0
B．x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．x1＋x2<0，y1＋y2>0
D．x1＋x2<0，y1＋y2<0
[自主解答] (1)A項，∵a＜0，－＜0，∴b＜0.
又∵abc＞0，∴
8、c＞0，由圖知f(0)＝c＜0，故A錯；
B項，∵a＜0，－＞0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＜0，而f(0)＝c＞0，故B錯；
C項，∵a＞0，－＜0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＞0，而f(0)＝c＜0，故C錯；
D項，∵a＞0，－＞0，∴b＜0，又∵abc＞0，∴c＜0，由圖知f(0)＝c＜0，故選D.
(2)f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)與g(x)的圖象如圖．
由圖及H1(x)的定義知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值為g(a－2)
9、，A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)(a－2)＋a2－8＝－16.
(3)由題意知滿足條件的兩函數(shù)圖象如圖所示，
作B關(guān)于原點的對稱點B′(x2′，y2′)，所以x2＋x2′＝0，y2＋y2′＝0，由圖可知，x1＞x2′，y1
10、用數(shù)形結(jié)合求解．
(3)與其他圖象的公共點問題．解決此類問題的關(guān)鍵是正確作出二次函數(shù)及題目所涉及的相應(yīng)函數(shù)的圖象，要注意其相對位置關(guān)系．
1．函數(shù)y＝ax2＋a與y＝(a≠0)在同一坐標系中的圖象可能是( )
解析：選D 當a＞0時，二次函數(shù)y＝ax2＋a的圖象開口向上，且對稱軸為x＝0，頂點坐標為(0，a)，故排除A，C；當a＜0時，二次函數(shù)y＝ax2＋a的圖象開口向下，且對稱軸為x＝0，頂點坐標為(0，a)，函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限，故排除B，選D.
2.(2014舟山模擬)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為x＝－1.給出
11、下面四個結(jié)論：
①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正確的是( )
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
解析：選B 因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確；對稱軸為x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②錯誤；結(jié)合圖象，當x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯誤；由對稱軸為x＝－1知，b＝2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確．
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個注意點——二次函數(shù)的二次項系數(shù)
12、
在研究二次函數(shù)時，要注意二次項系數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響，往往需要對二次項系數(shù)分大于零與小于零兩種情況討論．
2個條件——一元二次不等式恒成立的條件
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要條件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要條件是
2種方法——二次函數(shù)圖象對稱軸的判斷方法
(1)對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝對稱．
(2)對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱(a為常數(shù))．
3種形式——二次函數(shù)表達式的三種形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)頂點式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，頂點坐標為(－h(huán)，k))．
(3)兩根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標).
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高考數(shù)學復(fù)習：第二章 ：第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)突破熱點題型
