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1、△+△2019年數學高考教學資料△+△
考點一[來源:]
確定函數零點所在區(qū)間
[例1] (1)(2014·西安模擬)函數f(x)＝＋ln的零點所在的大致區(qū)間是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(1,2)與(2,3)
(2)(2013·重慶高考)若a<b<c，則函數f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間( )
A．(a，b)和(b，c)內 B．(－∞，a)和(a，b
2、)內
C．(b，c)和(c，＋∞)內 D．(－∞，a)和(c，＋∞)內
[自主解答] (1)f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)．
當1<x<2時，ln(x－1)<0，>0，所以f(x)>0，故函數f(x)在(1,2)上沒有零點．
f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝－ln 2＝＝，
∵＝2≈2.828>e，∴8>e2，即ln 8>2，即f(3)<0，
又f(4)＝－ln 3<0，
∴f(x)在(2,3)內存在一個零點．
(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c
3、－a)(c－b)．又a<b<c，則f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又該函數是二次函數，且開口向上，可知兩根分別在(a，b)和(b，c)內．
[答案] (1)B (2)A
【方法規(guī)律】
判斷函數零點所在區(qū)間的方法
判斷函數在某個區(qū)間上是否存在零點，要根據具體題目靈活處理，當能直接求出零點時，就直接求出進行判斷；當不能直接求出時，可根據零點存在性定理判斷；當用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖象判斷．
1．(2014·嘉興模擬)方程log3x＋x＝3的根所在的區(qū)間為( )
A．(0,1) B．(1,2)
4、 C．(2,3) D．(3,4)
解析：選C 法一：方程log3x＋x＝3的根即是函數f(x)＝log3x＋x－3的零點，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0，[來源:]
f(3)＝log33＋3－3＝1>0且函數f(x)在(0，＋∞)上為單調增函數．
∴函數f(x)的零點即方程log3x＋x＝3的根所在區(qū)間為(2,3)．
法二：方程log3x＋x＝3的根所在區(qū)間即是函數y1＝log3x與y2＝3－x交點橫坐標所在區(qū)間，兩函數圖象如圖所示．
由圖知方程log3x＋x＝3的根所在區(qū)間為(2,3)．[來源:]
2．在下列區(qū)間中，函數f(x)＝e
5、－x－4x－3的零點所在的區(qū)間為( )
A. B. C. D.
解析：選B 易知函數f(x)在R上是單調減函數．對于A，注意到f＝e－4×－3＝e>0，f＝e－4×－3＝e－1>0，因此函數f(x)＝e－x－4x－3的零點不在區(qū)間上；對于B，注意到f>0，f＝e－4×－3＝e－2<4－2<0，因此在區(qū)間上函數f(x)＝e－x－4x－3一定存在零點；對于C，注意到f<0，f(0)＝－2<0，因此函數f(x)＝e－x－4x－3的零點不在區(qū)間上；對于D，注意到f(0)＝－2<0，f＝e－
6、－4×－3＝e－－4<0，因此函數f(x)＝e－x－4x－3的零點不在區(qū)間上．
考點二
判斷函數零點的個數
[例2] (1)(2014·鄭州模擬)函數f(x)＝x2－2x在x∈R上的零點的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知函數f(x)＝則函數y＝f(f(x))＋1的零點個數是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
[自主解答] (1)注意到f(－1)×f(0)＝×(－1)<0，因此函數f(x)在(－1,0)上必有零點．又f(2)＝f
7、(4)＝0，因此函數f(x)的零點個數是3.
(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1.
又由f(－2)＝f＝－1，
可得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，則x＝－3或x＝；
若f(x)＝，則x＝－或x＝，
綜上可得函數y＝f(f(x))＋1有4個零點．
[答案] (1)D (2)A
【互動探究】
若將本例(1)中的函數改為“f(x)＝x－x”，該如何選擇？[來源:]
解析：選B 因為y＝x在x∈[0，＋∞)上單調遞增，y＝x在x∈R上單調遞減，所以f(x)＝x－x在x∈[0，＋∞)上單調遞增．又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所
8、以f(x)＝x－x在定義域內有唯一零點，故應選B.
【方法規(guī)律】
判斷函數零點個數的方法[來源:]
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；
(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點或零點值所具有的性質；
(3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題．先畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
1．(2013·天
9、津高考)函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選B 易知函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數?方程|log0.5x|＝＝x的根的個數?函數y1＝|log0.5x|與y2＝x的圖象的交點個數．作出兩個函數的圖象如圖所示，由圖可知兩個函數圖象有兩個交點．
2．已知符號函數sgn(x)＝則函數f(x)＝sgn(x－1)－ln x的零點個數為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選C 依題意得，當x－1>0，即x>1時，f(x)＝1－ln x，令f(x)＝
10、0得x＝e>1；當x－1＝0，即x＝1時，f(x)＝0－ln 1＝0；當x－1<0，即x<1時，f(x)＝－1－ln x，令f(x)＝0得x＝<1.因此，函數f(x)的零點個數為3.
高頻考點
考點三 函數零點的應用
1．高考對函數零點的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，求函數零點問題，難度較易；利用零點的存在性求相關參數的值，難度較大．
2．高考對函數零點的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)已知函數的零點或方程的根所在的區(qū)間，求參數；
(2)已知函數的零點或方程的根的個數，求參數；
(3)利用函數的零點比較大?。?
[例3] (1)(201
11、3·天津高考)設函數f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則 ( )
A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)
C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0
(2)(2011·山東高考)已知函數f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．當2<a<3<b<4時，函數f(x)的零點x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________.
(3)(2011·北京高考)已知函
12、數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是________．
[自主解答] (1)∵f(x)在R上為增函數，
且f(0)＝e0－2<0，f(1)＝e－1>0，
又f(a)＝0，∴0<a<1.
∵g(x)＝ln x＋x2－3，
∴g(x)在(0，＋∞)上為增函數，
又g(1)＝ln 1－2＝－2<0，
g(2)＝ln 2＋1>0，且g(b)＝0，
∴1<b<2，即a<b，
∴
(2)∵2<a<3<b<4，∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上為增函數．
當
13、x＝2時，f(2)＝loga2＋2－b<0；
當x＝3時，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴f(x)的零點x0在區(qū)間(2,3)內，∴n＝2.
(3)在同一坐標系中作出f(x)＝及y＝k的圖象，如圖．
可知，當0<k<1時，y＝k與y＝f(x)的圖象有兩個交點，即方程f(x)＝k有兩個不同的實根．
[答案] (1)A (2)2 (3)(0,1)
函數零點應用問題的常見類型及解題策略
(1)已知函數零點求參數．根據函數零點或方程的根求解參數應分三步：①判斷函數的單調性；②利用零點存在性定理，得到參數所滿足的不等式；③解不等式，即得參數的取值范圍．
(
14、2)已知函數零點的個數求參數．常利用數形結合法．
(3)借助函數零點比較大?。容^f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)、f(b)與0的大?。?
1．函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
解析：選C 由條件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.
2．若函數f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是( )
A．(
15、1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)
解析：選A 令g(x)＝ax(a>0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分0<a<1，a>1兩種情況，在同一坐標系中畫出兩個函數的圖象，如圖，若函數f(x)＝ax－x－a有兩個不同的零點，則函數g(x)，h(x)的圖象有兩個不同的交點，根據畫出的圖象只有當a>1時符合題目要求．
——————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1個口訣——用二分法求函數零點的方法
用二分法求零點近似值的口訣為：定區(qū)間，找中點，中值
16、計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷．
2個防范——函數零點的兩個易錯點
(1)函數的零點不是點，是方程f(x)＝0的實根．
(2)函數零點的存在性定理只能判斷函數在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數的不變號零點，而且連續(xù)函數在一個區(qū)間的端點處函數值異號是這個函數在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件．
3種方法——判斷函數零點個數的方法
(1)直接求零點；
(2)零點的存在性定理；
(3)利用圖象交點的個數(內容見例2的[方法規(guī)律])．
3個結論——有關函數零點的結論
(1)若連續(xù)不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點．
(2)連續(xù)不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號．
(3)連續(xù)不斷的函數圖象通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號．
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高考數學復習：第二章 ：第八節(jié) 函數與方程突破熱點題型
