專題54 已知角求三角函數(shù)值(解析版)

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1、 專題54 已知角求三角函數(shù)值 一、單選題 1．等腰三角形底和腰之比為黃金分割比的三角形稱為黃金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5個(gè)黃金三角形和一個(gè)正五邊形組成，且每個(gè)黃金三角形都是頂角為36的等腰三角形，如圖所示：在黃金角形ABC中，，根據(jù)這些信息，可求得的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知求得，可得的值，再由二倍角的余弦及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解． 【詳解】 由圖可知，且， 所以 故選:C. 2．已知，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用誘導(dǎo)公式先化簡(jiǎn)整理函數(shù)，再利用誘導(dǎo)公式

2、求值即可. 【詳解】 由， 利用誘導(dǎo)公式得： ， 所以； 故選：C. 3．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用誘導(dǎo)公式將化為，再根據(jù)兩角和的正弦公式可得結(jié)果. 【詳解】 。 故選：C 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用誘導(dǎo)公式將化為是解題關(guān)鍵. 4．的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根據(jù)，將化為，利用同角公式和二倍角的正弦公式可解得結(jié)果. 【詳解】 因?yàn)椋裕? 所以， 故選：A 【點(diǎn)睛】 本題考查了同角公式，考查了二倍角的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題. 5．若，則等于（ ） A． B． C

3、．0 D． 【答案】C 【詳解】 . 故選：C. 6．的值是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 變形后，根據(jù)兩角差的余弦公式計(jì)算可得答案. 【詳解】 ， 故選：C. 【點(diǎn)睛】 本題考查了兩角差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題. 7．17世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為108的等腰三角形).例如，五角星由五

4、個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出，再根據(jù)二倍角余弦公式求出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式求出. 【詳解】 由題意可得：，且， 所以， 所以， 故選：C 【點(diǎn)睛】 本題考查了二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題. 二、多選題 8．下列選項(xiàng)中，與的值互為相反數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 先計(jì)算已知正弦值，它的相反數(shù)等于，逐一計(jì)算選項(xiàng)，判斷是否相等即可. 【詳解】 首先，它的相反數(shù)等于，下面計(jì)算選項(xiàng)： 對(duì)于

5、A，，不相等； 對(duì)于B，，相等； 對(duì)于C，，相等； 對(duì)于D，，不相等； 故選：BC. 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角恒等變換的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 9．下列選下選項(xiàng)中，值為的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 利用三角恒等變換公式，逐個(gè)化簡(jiǎn)求值，即可得出答案. 【詳解】 對(duì)于A中. 對(duì)于B中原式. 對(duì)于C中. 對(duì)于D中. 故選：AC. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角恒等變換公式，屬于容易題. 10．下列四個(gè)等式其中正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 根據(jù)利用兩角和與差的正切、正弦、二倍角公式進(jìn)行三

6、角恒等變換一一計(jì)算可得答案. 【詳解】 A選項(xiàng)， 所以正確； B選項(xiàng)，，，所以錯(cuò)誤； C選項(xiàng)， ，所以錯(cuò)誤； D選項(xiàng)， 所以正確. 故選：AD. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角恒等變換，兩角和與差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟練記憶是解本題的關(guān)鍵. 11．下列化簡(jiǎn)正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 利用兩角差的余弦公式判斷選項(xiàng)A；利用二倍角公式判斷選項(xiàng)B；利用兩角和的正切公式判斷選項(xiàng)C；先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化，再利用二倍角公式判斷選項(xiàng)D. 【詳解】 ，故A正確； ，故 B正確； ，故C正確； ，故D

7、不正確. 故選：A B C. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查倍角公式和兩角和與差公式.屬于較易題. 三、解答題 12．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象． （1）求的值； （2）求函數(shù)的解析式； （3）若，求． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)得解析式，再代入即可求解； （2）利用圖像平移變換“左加右減”即可得到的解析式； （3）由，可求出或，再分類討論求出． 【詳解】 （1） （2）根據(jù)圖像平移變換可知： （3），，即， 解得：或 所以：或 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上可知， 【點(diǎn)睛】

8、方法點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的圖像變換規(guī)律，做題時(shí)要注意三點(diǎn)： （1）弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖像，得到哪個(gè)函數(shù)的圖像； （2）注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)； （3）由的圖像得到的圖像時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是． 13．設(shè)函數(shù)． （1）求； （2）令，若任意、，恒有，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）計(jì)算出函數(shù)的最小正周期為，計(jì)算出的值，由此可求得所求代數(shù)式的值； （2）求得，根據(jù)題中條件得出，利用誘導(dǎo)公式可得出，結(jié)合等式可求得結(jié)果. 【詳解】 （1）函數(shù)的最小正周期為， 則， 又，因此，； （2），

9、 則對(duì)任意的、，恒有， ，則， 令，，可得，， 因此，. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第（1）問在求解函數(shù)值時(shí)，要分析出函數(shù)的最小正周期為，計(jì)算出的值，再結(jié)合函數(shù)的周期進(jìn)行求解； 本題的第（2）問要將代數(shù)式變形為，并由，求得、的值，結(jié)合題中信息求解. 14．在中，，，點(diǎn)在邊上，，. （1）求； （2）求的面積. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)平方和公式算出，根據(jù)兩角差的正弦公式算出； （2）由正弦定理算出，得到，代入面積公式，即可得出面積值. 【詳解】 解：（1）由，知， 則 ， （2）在中，由正弦定理得：，即， 即， 所以， 于是

10、 . 【點(diǎn)睛】 三角形常用面積公式： （1） (表示邊上的高)； （2）； （3） (為三角形內(nèi)切圓半徑). 15．已知函數(shù). （1）求f () 的值； （2）求f (x)的最小正周期； （3）當(dāng)x∈時(shí)， 求f (x)的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）直接代入求解即可；（2）利用兩角差的正弦公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)整理得到，即可得出結(jié)果；（3）由的范圍，結(jié)合不等式的性質(zhì)，得到，利用正弦函數(shù)的取值即可得出答案． 【詳解】 （1）由， 得； （2） ， 則的最小正周期為； （3）時(shí)，， ∴ ． ∴ 的值域?yàn)椋? 16．在中，，

11、，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)題意，由正弦定理和大邊對(duì)大角可求得A，代入，再根據(jù)兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果； （2）利用三角形內(nèi)角和是，由，從而 得出結(jié)果. 【詳解】 解：（1）由題可知，，，， 由正弦定理得，即：， 解得：， 由可知，于是， 故. （2）在中，， 于是. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用正弦定理解三角形，解題的關(guān)鍵在于：根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角從而得出，還考查兩角和的正弦公式和三角形內(nèi)角和的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 17．已知.求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析

12、】 （1）利用兩角和差公式展開整理，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求的值；（2）根據(jù)二倍角公式求出，再利用兩角和差公式展開，代入即可得出結(jié)論. 【詳解】 （1）， 即， 化簡(jiǎn)得，① 又sin2α+cos2α=1，② 由①②解得cosα=或cosα=， 因?yàn)椋? 所以. （2）因?yàn)椋? cosα=， 所以sinα=， 則cos2α=1-2sin2α=， sin2α=2sinαcosα=， 所以. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了兩角和差公式以及二倍角公式.屬于較易題. 18．已知向量. （1）求的值； （2）若，且，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）

13、對(duì)等式進(jìn)行平方運(yùn)算，根據(jù)平面向量的模和數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合兩角差的余弦公式直接求解即可； （2）由（1）可以結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式求出的值，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合的值求出的值，最后利用兩角和的正弦公式求出的值即可. 【詳解】 （1）， ； （2）因?yàn)椋? 所以，而， 所以， 因?yàn)?，? 所以. 因此有. 【點(diǎn)睛】 本題考查了已知平面向量的模求參數(shù)問題，考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，考查了兩角差的余弦公式，考查了兩角和的正弦公式，考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.屬于中檔題. 19．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，，. （

14、1）求A的值； （2）從①，②兩個(gè)條件中選一個(gè)作為已知條件，求的值. 【答案】（1）；（2）選擇見解析；. 【分析】 （1）由余弦定理結(jié)合已知即得解； （2）選擇①，利用正弦定理求出，再利用即得解；選擇②，利用即得解. 【詳解】 （1）由得： ， 又因?yàn)椋? （2）選擇①作為已知條件. 在△中，由，以及正弦定理， 得，解得， 由，得為銳角，所以， 因?yàn)樵凇髦?，，所? ， 所以. 選擇②作為已知條件， 因?yàn)樵凇髦?，? 所以 ， 所以. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握

15、水平. 20．求下列三角函數(shù)值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用誘導(dǎo)公式，把負(fù)角化正角，大角化小角，即可得出結(jié)果. （2）利用誘導(dǎo)公式，把負(fù)角化正角，大角化小角，即可得出結(jié)果. 【詳解】 （1） （2） 【點(diǎn)睛】 本題考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題目. 21．設(shè)函數(shù)（，，為常數(shù)，且，，）的部分圖象如圖所示. （1）求函數(shù)的解析式； （2）設(shè)，且，求的值. 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）由函數(shù)圖象可得，可得周期為，進(jìn)而可得，由函數(shù)過點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得結(jié)果 （2）和角的范圍，可得， ，利用兩

16、角和的余弦公式可得結(jié)果. 【詳解】 （1）由圖象可知，，， 過點(diǎn)， 可得 （2） 又因?yàn)?，所以? 【點(diǎn)睛】 本題考查了通過三角函數(shù)的圖象求解析式，利用三角恒等變換求三角函數(shù)值，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目. 22．計(jì)算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）0. 【分析】 （1）根據(jù)，結(jié)合兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)即可求得答案. （2）根據(jù)兩角和與差的正切公式求得，進(jìn)而代入化簡(jiǎn)即可得出答案. 【詳解】 解：（1）由 ． ； （2）由， 可得， 所以 ， 故原式. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，涉及兩角和與

17、差的正弦公式和兩角和與差的正切公式的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)求值能力. 23．求下列各式的值： （1）； （2）若，求的值． 【答案】（1）4；（2）. 【分析】 （1）先進(jìn)行通分，然后結(jié)合二倍角及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解； （2）展開后結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入即可求解． 【詳解】 （1）； （2）若， 則. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了和差角公式、輔助角公式、二倍角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平. 24．已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得和，再由，

18、利用正弦的差角公式求解即可； （2）由（1）可得和，利用余弦的二倍角公式求得，再由正切的和角公式求解即可. 【詳解】 解：（1）因?yàn)椋? 所以 又，故， 所以， 所以 ； （2）由（1）得，，， 所以， 所以， 因?yàn)榍遥? 即，解得， 因?yàn)?，所以，所以? 所以， 所以. 【點(diǎn)睛】 本題考查已知三角函數(shù)值求值，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查和角公式，二倍角公式，同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力． 25．已知函數(shù)的最小值為-3. （1）求常數(shù)k的值，和的對(duì)稱軸方程； （2）若，且，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）化簡(jiǎn)求出k的值，再利

19、用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程，求出的對(duì)稱軸方程； （2）利用角的配湊得，再利用兩角差的余弦公式計(jì)算，即可得到答案； 【詳解】 時(shí)，，； 當(dāng)時(shí)，即為函數(shù)的對(duì)稱軸方程； （2）， ，，， ， . 【點(diǎn)睛】 本題考查兩角差的余弦公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意角度范圍的限制. 26．求值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）利用二倍角的正弦、余弦公式結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果； （2）利用兩角和正切公式變形，將所求代數(shù)式

20、化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)果； （3）將所求代數(shù)式變形為，利用二倍角正弦的降冪公式結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可求得所求代數(shù)式的值. 【詳解】 （1） ； （2）， ， 因此，； （3） . 【點(diǎn)睛】 本題考查三角代數(shù)式求值，考查二倍角公式、兩角和的正切公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題. 27．設(shè)函數(shù)，． （1）求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得出的值； （2）由結(jié)合可求得的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值. 【詳解】 （1），； （2），所以，又，可知． 故． 【點(diǎn)睛】

21、本題考查三角函數(shù)求值，同時(shí)也考查了利用兩角和的正切公式求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 28．（1） （2）在中，已知，，且角，，滿足.求角的大小和邊的長(zhǎng)； 【答案】（1）2；（2），. 【分析】 （1）先切化弦，再用輔導(dǎo)角公式，分母用倍角公式等三角恒等變換化簡(jiǎn)求值； （2）對(duì)利用倍角公式，降次公式化簡(jiǎn)，可得， 從而求得，再求余弦定理可求得的長(zhǎng). 【詳解】 解：（1）= （2）由，得，又， 得，得，得， 由，得，又，得， ，得， 即， 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角恒等變換的化簡(jiǎn)與求值，輔助角公式，二倍角公式，降次公式，余弦定理，還考查了學(xué)生分析推理能力，運(yùn)算能力

22、，屬于中檔題. 29．化簡(jiǎn)下列各式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【分析】 （1）由題意結(jié)合兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)即可得解； （2）由題意結(jié)合同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可得原式，再利用兩角和的正弦公式即可得解； （3）由題意結(jié)合兩角差的正弦公式可得原式，再利用兩角和的正弦公式即可得解. 【詳解】 （1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角恒等變換的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，關(guān)鍵是對(duì)原式進(jìn)行合理變形，屬于中檔題. 30．已知函數(shù)的周期為，的最大值為，且． （1）求，的值； （2

23、）若，且是方程的兩個(gè)實(shí)根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)，可得()，根據(jù)正弦函數(shù)周期計(jì)算公式求得，根據(jù)的最大值為和，聯(lián)立方程即可求得，的值； （2）根據(jù)是方程的兩個(gè)實(shí)根，求得，根據(jù)正切兩角和公式即可求得的值． 【詳解】 （1）() 根據(jù)函數(shù)的周期為，可得： 解得： 又的最大值為 故① 可得② 由①②解得：或 ， 可得： （2）由（1）得 令 可得或() 或() ，且是方程的兩個(gè)實(shí)根 不妨取， 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了求正弦型函數(shù)表達(dá)式和求三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是掌握輔助角公式和正弦函數(shù)周期計(jì)算公

24、式，及其解三角函數(shù)方程的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題． 31．求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1）（2）1 【分析】 （1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)即可； （2）先切化弦，再利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)即可. 【詳解】 解：（1）原式； （2）原式 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，涉及了二倍角的正弦公式以及兩角差的正弦公式，屬于?？碱}. 四、填空題 32．__________. 【答案】 【分析】 將變?yōu)槿缓笳归_化簡(jiǎn). 【詳解】 . 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題

25、考查正弦兩角和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)用公式化簡(jiǎn)求值，解答時(shí)注意觀察角度之間的關(guān)系，較簡(jiǎn)單. 33．設(shè)，則__________． 【答案】 【分析】 先求出，再計(jì)算即得解. 【詳解】 由題得 . 所以 . 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查輔助角公式和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查差角的余弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平. 34．求值：=_______ 【答案】 【分析】 根據(jù)，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【詳解】 故答案為： 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了非特殊角的三角函數(shù)化簡(jiǎn)與求值，需要根據(jù)所給的角度與特殊角的關(guān)系，并利用三角恒等變換進(jìn)行求解.屬于中檔題.