專題43 商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系法求三角函數(shù)值(解析版)

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1、 專題43 商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系法求三角函數(shù)值 一、單選題 1．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值. 【詳解】 由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得， 因此，. 故選：D. 2．若，且是第二象限角，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，由題中條件先求正弦，進(jìn)而可求出正切. 【詳解】 因?yàn)?，且是第二象限角? 所以， 因此. 故選：B. 3．已知是第四象限角，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案

2、】A 【分析】 由題求出，，再求得解. 【詳解】 ∵，，是第四象限角， ∴，， 則， 故選：A. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：三角恒等變換常用的方法：三看（看角看名看式）三變（變角變名變式）.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解. 4．若，則的值為（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】 先利用代換，再由可化簡(jiǎn)得解. 【詳解】 ， 又，. 故選：B． 5．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，若最長(zhǎng)邊為，則最短邊長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先結(jié)合角的范圍利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得角的正余弦，再利用三

3、角形內(nèi)角和為和誘導(dǎo)公式計(jì)算角的正余弦，判斷c為最大邊，為最短邊，利用正弦定理求出即可. 【詳解】 由知，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求得，，由知，得，， ∴，， 即為鈍角，為最大角，故c為最大邊，有， 由知，最短邊為， 于是由正弦定理，即求得， 故選：A. 【點(diǎn)睛】 本題解題關(guān)鍵在于通過計(jì)算內(nèi)角的正余弦值判斷c為最大邊，為最短邊，才能再利用已知條件和正弦定理計(jì)算突破答案. 6．己知，，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用誘導(dǎo)公式可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值. 【詳解】 由誘導(dǎo)公式可得，則

4、， ，，因此，. 故選：A. 7．已知，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出的范圍，用上平方關(guān)系即可求解. 【詳解】 解：∵， ∴ 故選：D. 8．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】 應(yīng)用平方關(guān)系化簡(jiǎn)即可. 【詳解】 解：原式＝． 故選：C 9．已知，且α是第四象限角，那么的值是（ ） A． B．－ C． D． 【答案】B 【分析】 由誘導(dǎo)公式對(duì)已知式子和所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解. 【詳解】 根據(jù)誘導(dǎo)公式：，所以，，故. 故選：B 【點(diǎn)睛】 誘導(dǎo)公式的記憶方法

5、：奇變偶不變，符號(hào)看象限. 10．在中，，，，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求，再運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算即得結(jié)果. 【詳解】 因?yàn)?，，故? 所以的面積為. 故選：A. 11．已知數(shù)列首項(xiàng)，且當(dāng)時(shí)滿足，若的三邊分別為、、，則最大角的正弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由題意得數(shù)列為等差數(shù)列，則可求出、、，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解出最大角的正弦值. 【詳解】 解：由題意知：當(dāng)時(shí)，滿足， 則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， ，

6、 則、、分別為，，， 設(shè)中最大角為， 則最大角的余弦值為：， 又， 最大角的正弦值為. 故選：D. 12．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系和二倍角公式可求得，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果. 【詳解】 由得：， ，. 故選：. 13．已知，在第二象限內(nèi)，那么的值等于（ ） A． B． C． D．以上都不對(duì) 【答案】A 【分析】 結(jié)合各個(gè)象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得，利用二倍角公式構(gòu)造方程，結(jié)合終邊位置可確定結(jié)果. 【詳解】 在第二象限內(nèi)，，， 由得：，解得：， ，即，，

7、 在第二象限內(nèi)，為第一或第三象限角，. 故選：. 【點(diǎn)睛】 易錯(cuò)點(diǎn)睛：求解三角函數(shù)值時(shí)，需注意角所處的范圍，從而確定所求三角函數(shù)值的符號(hào). 14．已知，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得的值，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合的范圍，可求得的值，即可求得答案. 【詳解】 因?yàn)?，所以? 所以， 又，所以為第二象限角，所以 所以． 故選：A． 二、解答題 15．已知，且是第四象限角. （1）求和的值； （2）求的值； 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)象限和公式求出的正弦，再用倍角公式計(jì)算即可

8、（2）求出角正切值，再展開，代入計(jì)算即可. 【詳解】 解：（1），由得， ， 又是第四象限角， ， ， ， . （2）由（1）可知， ， . 16．已知． （1）求及的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）在等式兩邊平方可求得的值，計(jì)算出的值，判斷出的符號(hào)，即可求得的值； （2）聯(lián)立方程組求出、的值，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得的值. 【詳解】 （1）在等式兩邊平方可得，解得， ，則，所以，， ，因此，； （2）由已知條件可得，解得， 因此，. 【點(diǎn)睛】 結(jié)論點(diǎn)睛：求解有關(guān)、關(guān)系的問題時(shí)，常用以下公式求解：

9、 （1）； （2）. 17．已知 （1）若為第三象限角，且，求的值． （2）若，且，求函數(shù)的最小值，并求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值． 【答案】(1) (2) 函數(shù)的最小值為1，此時(shí) 【分析】 (1)先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得，則由條件可得，得出答案. (2)由條件可得，則由，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)即可得出答案. 【詳解】 由已知有 （1）若為第三象限角，且，則，則 （2） ，設(shè) 即，當(dāng)，即 時(shí)，有最小值1 所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值1. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)三角函數(shù)求值和將函數(shù)化為的二次式求最值，解答本題的關(guān)鍵是由將函數(shù)化為二次式，根據(jù)求最小值，屬于中檔題.

10、 18．已知，． （1）化簡(jiǎn)； （2）若，求． 【答案】（1）；（2）當(dāng)是第二象限角時(shí)， ，當(dāng)是第三象限角時(shí)，． 【分析】 （1）根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果； （2）由得，再討論的象限可求得結(jié)果. 【詳解】 （1）． （2）， ，可得， 是第二或第三象限角， 當(dāng)是第二象限角時(shí)，，， 當(dāng)是第三象限角時(shí)，，． 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握誘導(dǎo)公式和同角公式是解題關(guān)鍵. 19．已知，且為第二象限角． （I）求：的值； （II）求：的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）根據(jù)題意以及同角基本關(guān)系可知，再利用二倍角公式即可求出結(jié)果； （Ⅱ）

11、根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果利用兩角差余弦公式，即可求出結(jié)果. 【詳解】 （Ⅰ），， 又為第二象限角，得， ； （Ⅱ） ． 20．已知，． （1）求證：． （2）若為第一象限角，為第四象限角，求的值． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【分析】 （1）分別將已知條件展開，兩式相減、相加可得，的值，兩式相除即可求證； （2）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合角所在的象限求出、的值，利用即可求解. 【詳解】 （1）由題意可得： 得 得． 得：，即 （2）若為第一象限角， 因?yàn)闉榈谒南笙藿牵? ， . 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用同角

12、三角函數(shù)基本關(guān)系，要證，化切為弦即證，所以想到將已知條件展開，給值求值型的關(guān)鍵是用已知角表示所要求的角，即. 21．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c且，. （1）求； （2）當(dāng)取最小值時(shí)，求的面積. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)已知條件利用正弦定理化邊為角得到，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，最后利用誘導(dǎo)公式即得； （2）結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)，求二次函數(shù)取最小值時(shí)的取等號(hào)條件即確定邊，再結(jié)合，利用三角形的面積公式計(jì)算即可. 【詳解】 解：（1）由正弦定理及與得： ，（R是的外接圓半徑） 兩式相除，得 設(shè)，，∵B是的內(nèi)角，∴由得， ∵， ∴，

13、即得，， ∴. （2）由（1）及余弦定理知 ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值. 又，∴. ∴最小時(shí)的面積為. 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛： 解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地根據(jù)已知條件判斷用哪個(gè)定理更合適. 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理. 22．已知. （1）求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）把平方即得解； （2）求出，即得解. 【詳解】 解：（1）， ∴. （2）， ∵， 又∵，∴，，， ∴， ∴原式. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)

14、鍵是判斷的符號(hào)，要結(jié)合的范圍判斷. 23．已知，其中． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用誘導(dǎo)公式可得出，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的值，求出、的值，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得的值； （2）將所求代數(shù)式變形為，在分式的分子和分母中同時(shí)除以，利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值. 【詳解】 （1）， 由誘導(dǎo)公式可得， ，，由已知可得，解得， 因此，； （2）. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值問題中已知，求關(guān)于、的代數(shù)式的值時(shí)，一般利用弦化切公式后直接代入的值，在關(guān)于、的齊次式中，常常利用弦化切的方程轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式. 24．

15、設(shè)是鈍角，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)及題干條件，可求得的值，根據(jù)即可得答案； （2）根據(jù)（1）可得的值，利用兩角和的余弦公式，即可求得答案. 【詳解】 （1）是鈍角，，根據(jù)， 解得，所以. （2）， . 25．（1）若，求、； （2）若，求的值. 【答案】（1）答案見解析；（2）. 【分析】 （1）分為第二象限角和第三象限角兩種情況討論，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得、的值； （2）在所求分式的分子和分母中同時(shí)除以，利用弦化切思想可求得所求代數(shù)式的值. 【詳解】 （1），則角為第二象限角或第三象限角

16、. 若角為第二象限角，則，； 若角為第三象限角，則，. 綜上所述，若角為第二象限角，，； 若角為第三象限角，則，； （2），. 26．已知，為銳角，，. （1）求的值. （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及二倍角公式即可求值； （2）先求出，再利用即可求解. 【詳解】 解：（1）由題意知：為銳角，且， 解得：， ； （2）由（1）知，， 則， ， ， 故. 27．已知，且為第三象限角. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2），. 【分析】 （1）將化為即可求出； （2）由，即

17、可求出. 【詳解】 （1）， ； （2），即 ，即， 為第三象限角，，. 28．已知，且是第四象限的角． （1）求； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，先求出余弦值，再求正切值即可； （2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，將原式化簡(jiǎn)整理，即可求出結(jié)果. 【詳解】 （1）因?yàn)?，是第四象限的角? 所以， 因此； （2）由（1）可得： . 29．（1）若，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得，再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系可轉(zhuǎn)化

18、條件為，即可得解； （2）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，進(jìn)而可得，即可得解. 【詳解】 （1）因?yàn)椋? 原式=； （2）因?yàn)椋裕? 所以，則， 因?yàn)椋裕? 所以． 30．已知，，求和的值． 【答案】； . 【分析】 利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及兩角和的正弦求解即可. 【詳解】 解：，， ， ． 31．已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）先根據(jù)的值和二者的平方關(guān)系聯(lián)立求得 的值，再把平方即可求出； （2）結(jié)合（1）求，的值，最后利用商數(shù)關(guān)系求得的值，代入即可得解． 【詳解】 （1）∵，

19、∴， ∴， ∵， ∴，,， ∴， ∴. （2）由，， 解得，， ∴ ∵，， ∴． 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三變（變角、變名、變式）. 32．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知. （1）求； （2）若，求的面積，并求的最小值. 【答案】（1）；（2）；. 【分析】 （1）利用兩角和的正切公式展開，根據(jù)角A的范圍，可求得的值，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求得答案； （2）利用數(shù)量積公式，結(jié)合（1），可求得的值，代入面積公式，即可求得的面積；利用余弦定理，可求得的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，可求得的最小值.

20、【詳解】 （1）因?yàn)?，所以? 則，因?yàn)椋? 所以（舍去）. 因?yàn)?，，所以? 因?yàn)?，所以，? （2）因?yàn)椋? 所以， ， 所以的面積. 由余弦定理得， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立， 所以的最小值為. 【點(diǎn)睛】 解題的關(guān)鍵是熟練掌握正余弦定理，面積公式，并靈活應(yīng)用，在利用數(shù)量積公式時(shí)，需注意兩向量的夾角為銳角還是鈍角，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬基礎(chǔ)題. 三、填空題 33．若且，則_________． 【答案】 【分析】 先由已知求出，再由商數(shù)關(guān)系即可求出. 【詳解】 且， ， . 故答案為：.

21、 34．已知，且有，則___________. 【答案】 【分析】 運(yùn)用正弦、余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可. 【詳解】 ， 因?yàn)椋裕? 因此由， 而，把代入得： ，而， 因此. 故答案為： 35．已知，，則________． 【答案】 【分析】 根據(jù)同角平方關(guān)系，先求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系，求出. 【詳解】 由，， 可得， 則根據(jù)商數(shù)關(guān)系得. 故答案為：. 36．已知，，則___________. 【答案】 【分析】 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求，再利用誘導(dǎo)公式即可求解. 【詳解】 因?yàn)椋? 所以，可得

22、 所以， ， 故答案為：. 37．已知，，則__． 【答案】 【分析】 由已知結(jié)合范圍，可得，，利用平方差公式即可計(jì)算求解． 【詳解】 因?yàn)?，，所以，? 又， 所以， 又，所以． 故答案為： 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了三角函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是會(huì)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題． 38．已知角是第四象限角，且滿足，則________． 【答案】 【分析】 由題可得，進(jìn)而得出，即可求出. 【詳解】 ， ，即， 角是第四象限角，， . 故答案為：. 39．，，則_________． 【答案】 【分析】 將平方，

23、求出的值，再利用弦化切即可求解. 【詳解】 ， ， ， ， ， 所以， 所以. 故答案為： 40．已知，，則_________. 【答案】 【分析】 由條件結(jié)合三角函數(shù)的同角基本關(guān)系可解出，然后可得答案. 【詳解】 因?yàn)?，? 所以可解得 所以 故答案為： 41．若，是第三象限角，則___________. 【答案】 【分析】 先化簡(jiǎn)，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可得答案. 【詳解】 解：， ， ， 為第三象限角， ， 故答案為： 【點(diǎn)睛】 本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合半角公式化簡(jiǎn)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題. 42．已知且，則__

24、____. 【答案】 【分析】 本題考查同角三角函數(shù)及其關(guān)系，借助公式，求解即可，求解時(shí)需要判定符號(hào)的正負(fù). 【詳解】 解：法一：由可得， 代入解得， 因?yàn)?，所以? 所以. 法二：由且可取終邊上的一點(diǎn)坐標(biāo)為， 根據(jù)三角函數(shù)終邊定義公式. 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的3個(gè)應(yīng)用技巧： （1）弦切互化利用公式實(shí)現(xiàn)角的弦切互化； （2）和(差)積轉(zhuǎn)換利用進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化； （3）巧用“1”的變換. 43．已知，則=________________ 【答案】 【分析】 由誘導(dǎo)公式可得cosα的值，及α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求

25、出tanα的值即可． 【詳解】 cosα＝－，sinα＝， ∴, 故答案為： 44．已知，則________． 【答案】 【分析】 根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，可得的值，即可得答案. 【詳解】 因?yàn)?，所以，所以? 故答案為： 45．已知，，則______. 【答案】 【分析】 根據(jù)的范圍，先利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出，再根據(jù)，即可求出. 【詳解】 解：， ， 又， . 故答案為：. 46．已知，，則________. 【答案】 【分析】 結(jié)合二倍角余弦公式解方程求得，由同角三角函數(shù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果. 【詳解】 ， 或（舍）

26、， ，，， . 故答案為：. 47．已知，是第二象限角，則__________. 【答案】 【分析】 根據(jù)誘導(dǎo)公式，先求出，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出，進(jìn)而可得出正切值. 【詳解】 因?yàn)?，所以? 又是第二象限角，所以，則， 所以. 故答案為：. 48．已知，，則 ________. 【答案】 【分析】 根據(jù)已知條件求得的值，由此求得的值. 【詳解】 依題意，兩邊平方得 ， 而，所以， 所以. 由解得， 所以. 故答案為： 【點(diǎn)睛】 知道其中一個(gè)，可通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得另外兩個(gè)，在求解過程中要注意角的范圍. 49．已知，則___________ 【答案】 【分析】 根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求出. 【詳解】 ， . 故答案為：. 50．在中，若，則______. 【答案】 【分析】 根據(jù)題意及即可求解. 【詳解】 解：將兩邊平方得， 所以. 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 解決同三角函數(shù)問題： （1）利用可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時(shí)要根據(jù)角所在象限確定符號(hào)；利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化； （2）應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于這三個(gè)式子，利用，可以知一求二； （3）注意公式逆用及變形應(yīng)用：.