濃度問題 十字交叉法

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1、 濃度問題 一個好玩的故事——熊喝豆?jié){ 黑熊領(lǐng)著三個弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路過了狐貍開的豆?jié){店。 只見店門口張貼著廣告：“既甜又濃的豆?jié){每杯0.3元?！焙谛鼙阏泻舻艿軅冃_，一起來喝豆?jié){。黑熊從狐貍手中接過一杯豆?jié){，給最小的弟弟喝掉，加滿水后給老三喝掉了，再加滿水后，又給老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。 狐貍開始收錢了，他要求黑熊最小的弟弟付出0.3＝0.05(元)；老三0.3＝0.1(元)； 老二與黑熊付的一樣多，0.3＝0.15(元)。兄弟一共付了0.45元。 兄弟們很驚訝，不是說，一杯豆?jié){0.3元，為什么多付0.45－0.3＝0.15元？肯定

2、是黑熊再敲詐我們。 不服氣的黑熊嚷起來：“多收我們堅(jiān)決不干。” “不給，休想離開。” 現(xiàn)在，說說為什么會這樣呢？ 專題簡析： 溶質(zhì)：在溶劑中的物質(zhì)。 溶劑：溶解溶質(zhì)的液體或氣體。 溶液：包含溶質(zhì)溶劑的混合物。 在小升初應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問題，即濃度問題。我們知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）與糖水（溶液＝糖+水）二者質(zhì)量的比值決定的。這個比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者質(zhì)量的比值叫酒精含量。因而濃度就是溶質(zhì)質(zhì)量與溶液

3、質(zhì)量的比值，通常用百分?jǐn)?shù)表示，即， 濃度＝100％＝100％ 相關(guān)演化公式 溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量 溶質(zhì)的重量溶液的重量100%＝濃度 2 / 22 溶液的重量濃度＝溶質(zhì)的重量 溶質(zhì)的重量濃度＝溶液的重量 解答濃度問題，首先要弄清什么是濃度。在解答濃度問題時(shí)，根據(jù)題意列方程解答比較容易，在列方程時(shí)，要注意尋找題目中數(shù)量問題的相等關(guān)系。 濃度問題變化多，有些題目難度較大，計(jì)算也較復(fù)雜。要根據(jù)題目的條件和問題逐一分析，也可以分步解答。 例題1有含糖量為7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？ 【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，在

4、7％的糖水中加糖就改變了原來糖水的濃度，糖的質(zhì)量增加了，糖水的質(zhì)量也增加了，但水的質(zhì)量并沒有改變。因此，可以先根據(jù)原來糖水中的濃度求出水的質(zhì)量，再根據(jù)后來糖水中的濃度求出現(xiàn)在糖水的質(zhì)量，用現(xiàn)在糖水的質(zhì)量減去原來糖水的質(zhì)量就是增加的糖的質(zhì)量。 解: 原來糖水中水的質(zhì)量：600（1－7％）＝558（克） 現(xiàn)在糖水的質(zhì)量 ：558（1－10％）＝620（克） 加入糖的質(zhì)量 ：620－600＝20（克） 答：需要加入20克糖。 練習(xí)1

5、 1、 現(xiàn)在有濃度為20％的糖水300克，要把它變成濃度為40％的糖水，需要加糖多少克？ 2、 有含鹽15％的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為20％，需加鹽多少千克？ 3、 有甲、乙兩個瓶子，甲瓶里裝了200毫升清水，乙瓶里裝了200毫升純酒精。第一次把20毫升純酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時(shí)甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含水多？ 十字交叉法可用于溶液濃度的計(jì)算，例如溶液的稀釋、濃縮或混合等計(jì)算題。使用此法，使解題過程簡便、快速、正確。下面通過例題介紹十字交叉法的原理：

6、 同一物質(zhì)的甲、乙兩溶液的百分比濃度分別為a％、b％（a％＞b％），現(xiàn)用這兩種溶液配制百分比濃度為c％的溶液。問取這兩種溶液的質(zhì)量比應(yīng)是多少？ 同一物質(zhì)的溶液，配制前后溶質(zhì)的質(zhì)量相等，利用這一原理可列式求解。 設(shè)甲、乙兩溶液各取m1、m2克，兩溶液混合后的溶液質(zhì)量是（m1＋m2）克。列式m1a％＋m2b％=（m1＋ m2）c％， 把此式整理得：m1：m2=（c-b）/（a-c）， m1：m2就是所取甲、乙兩溶液的質(zhì)量比。 為了便于記憶和運(yùn)算，若用C濃代替a，C稀代替b，C混代替C 如圖 把上式寫成十字交叉法的一般形式，在運(yùn)用十字交叉法進(jìn)行計(jì)算時(shí)要注意，斜找差數(shù)，橫看結(jié)果

7、。 例題2 將20％的鹽水與5％的鹽水混合，配成15％的鹽水600克，需要20％的鹽水和5％的鹽水各多少克？ 【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，將20％的鹽水與5％的鹽水混合配成15％的鹽水，說明混合前兩種鹽水中鹽的質(zhì)量和與混合后鹽水中鹽的質(zhì)量是相等的。可根據(jù)這一數(shù)量間的相等關(guān)系列方程解答。 解：設(shè)20％的鹽水需x克，則5％的鹽水為600－x克，那么 20％x+（600－x）5％＝60015％ …… ＝……

8、 X ＝400 600－400＝200（克） 答：需要20％的鹽水400克，5％的鹽水200克。 方法二 解：用十字交叉法：15% 20％鹽水 5％鹽水 20% 5% 10% 5% 10% 5% =2：1 配成15％的鹽水600克，所需20％的鹽水與5％的鹽水比例為2：1，即 需要20％的鹽水600(2/3）=400克， 需要5％的鹽水600(1/3）=200克，（或者600－400＝200克）

9、 答：需要20％的鹽水400克，5％的鹽水200克。 練習(xí)2 1、 兩種鋼分別含鎳5％和40％，要得到140噸含鎳30％的鋼，需要含鎳5％的鋼和含鎳40％的鋼各多少噸？ 2、 甲、乙兩種酒各含酒精75％和55％，要配制含酒精65％的酒3000克，應(yīng)當(dāng)從這兩種酒中各取多少克？ 例題3現(xiàn)有濃度為10％的鹽水20千克。再加入多少千克濃度為30％的鹽水，可以得到濃度為22％的鹽水？ 【思路導(dǎo)航】這是一個溶液混合問題?；旌锨啊⒑笕芤旱臐舛雀淖兞?，但總體上溶質(zhì)及溶液的總質(zhì)量沒有改變。所

10、以，混合前兩種溶液中溶質(zhì)的和等于混合后溶液中的溶質(zhì)的量。 解: 20千克10％的鹽水中含鹽的質(zhì)量 2010％＝2（千克） 混合成22％時(shí)，20千克溶液中含鹽的質(zhì)量 2022％＝404（千克） 需加30％鹽水溶液的質(zhì)量 （4.4－2）（30％－22％）＝30（千克） 答：需加入30千克濃度為30％的鹽水，可以得到濃度為22％的鹽水。 方法二 解：用十字交叉法：

11、練習(xí)3 1、 在100千克濃度為50％的硫酸溶液中，再加入多少千克濃度為5％的硫酸溶液就可以配制成25％的硫酸溶液？ 2、 濃度為70％的酒精溶液500克與濃度為50％的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少？ 3、 在20％的鹽水中加入10千克水，濃度為15％。再加入多少千克鹽，濃度為25％？ 例題4一種35％的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75％時(shí)，治蟲最有效。用多少千克濃度為35％的農(nóng)藥加多少千克水，才能配成1.75％的農(nóng)藥800千克？ 【思路導(dǎo)航】把濃度高的溶液經(jīng)添加溶劑變?yōu)闈舛?/p>

12、低的溶液的過程稱為稀釋。在這種稀釋過程中，溶質(zhì)的質(zhì)量是不變的。這是解這類問題的關(guān)鍵。 解: 800千克1.75％的農(nóng)藥含純農(nóng)藥的質(zhì)量為 8001.75％＝14（千克） 含14千克純農(nóng)藥的35％的農(nóng)藥質(zhì)量為 1435％＝40（千克） 由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為 800－40＝760（千克） 答：用40千克的濃度為35％的農(nóng)藥中添加760千克水，才能配成濃度為1.75％的農(nóng)藥800千克。 方

13、法二 解：用十字交叉法： 練習(xí)4 1、 用含氨0.15％的氨水進(jìn)行油菜追肥?，F(xiàn)有含氨16％的氨水30千克，配置時(shí)需加水多少千克？ 2、 倉庫運(yùn)來含水量為90％的一種水果100千克。一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80％?，F(xiàn)在這批水果的質(zhì)量是多少千克？ 3、 一容器內(nèi)裝有10升純酒精，倒出2.5升后，用水加滿；再倒出5升，再用水加滿。這時(shí)容器內(nèi)溶液的濃度是多少？ 例題5 甲、乙、丙3個試管中各盛有10克、20克、30克

14、水。把某種質(zhì)量分?jǐn)?shù)的鹽水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中?，F(xiàn)在丙管中的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.5％。最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是多少？ 混合后甲、乙、丙3個試管中應(yīng)有的鹽水分別是20克、30克、40克。根據(jù)題意，可求出現(xiàn)在丙管中鹽的質(zhì)量。又因?yàn)楸苤性瓉碇挥?0克的水，它的鹽是從10克鹽水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克鹽水中鹽的質(zhì)量。而乙管里的鹽又是從10克鹽水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克鹽水中鹽的質(zhì)量。而甲管里的鹽是某種濃度的鹽水中的鹽，這樣就可得到最初倒入甲管中鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。 丙管中鹽

15、的質(zhì)量：（30+10）0.5％＝02（克） 倒入乙管后，乙管中鹽的質(zhì)量：0.2【（20+10）10】＝0.6（克） 倒入甲管，甲管中鹽的質(zhì)量：0.6【（10+10）10】＝1.2（克） 1.210＝12％ 答：最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是12％。 練習(xí)5 1、 從裝滿100克80％的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿。如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多少？ 2、 甲容器中又8％的鹽

16、水300克，乙容器中有12.5％的鹽水120克。往甲、乙兩個容器分別倒入等量的水，使兩個容器中鹽水的濃度一樣。每個容器應(yīng)倒入多少克水？ 3、 甲種酒含純酒精40％，乙種酒含純酒精36％，丙種酒含純酒精35％。將三種酒混在一起得到含酒精38.5％的酒11千克。已知乙種酒比丙種酒多3千克，那么甲種酒有多少千克？ 十字交叉法的其他應(yīng)用 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì) 某班一次數(shù)學(xué)測試，全班平均91分，其中男生平均88分，女生平均93分，則女生人數(shù)是男生人數(shù)的多少倍?( ) A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2

17、 生活問題 一公斤雞蛋有18個，一公斤鴨蛋有12個，一公斤雞蛋和鴨蛋共有15個，則一公斤雞蛋和鴨蛋中雞蛋對鴨蛋個數(shù)比多大？ 較復(fù)雜的利潤問題 　　例2、某商店花10000進(jìn)了一批商品，按期望獲得相當(dāng)于進(jìn)價(jià)25%的利潤來定價(jià)。結(jié)果只銷售了商品總量的30%。為盡快完成資金周轉(zhuǎn)，商店決定打折銷售，這樣賣完全部商品后，虧本1000元。問商店是按定價(jià)打幾折銷售的？ A、九折　　B、七五折　　C、六折　　D、四八折 解析：該題屬于利潤問題，根據(jù)條件，這批商品分兩個部分出售：30%的商品按25%的利潤來定價(jià)出售，70%的商品打折后出售，最后總虧本1000元，即總利潤為-10%。設(shè)打

18、折后出售的70%的商品的利潤率為x，可用十字交叉法表示如下： 　　 　　得方程：，解得x=-25%。則：10＝6答案選C。 濃度問題的方法總結(jié) 基本公式 濃度＝—————100％＝——————100％ 相關(guān)演化公式 ＿＿＿＿＿的重量＋＿＿＿＿的重量＝溶液的重量 ＿＿＿＿的重量＿＿＿的重量100%＝濃度 ＿＿＿＿的重量濃度＝溶質(zhì)的重量 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝溶液的重量 十字交叉法的方法總結(jié) 濃度之十字交叉 ＿＿ ＿＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ 質(zhì)量之十字交叉

19、 ＿＿ ＿＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ 作 業(yè) 題 “稀釋”問題：特點(diǎn)是加“溶劑”，解題關(guān)鍵是找到始終不變的量（溶質(zhì)）。 1、 要把30克含鹽16%的鹽水稀釋成含鹽0.15%的鹽水，須加水多少克？ 2、現(xiàn)有燒堿35克，配制成濃度為28%的燒堿溶液，須加多少水？ “濃縮”問題：特點(diǎn)是減少溶劑，解題關(guān)鍵是找到始終不變的量（溶質(zhì)）。 2、 在含鹽0.5%的鹽水中蒸去了236千克水，就變成了含鹽30%的鹽水，問原來的鹽水是多少千克？

20、 4、要從含鹽12.5%的鹽水40千克中蒸去多少水分才能制出含鹽20%的鹽水？ “加濃”問題：特點(diǎn)是增加溶質(zhì)，解題關(guān)鍵是找到始終不變的量（溶劑）。 5、有含鹽8%的鹽水40千克，要配制成含鹽20%的鹽水，須加鹽多少千克？ 配制問題：是指兩種或兩種以上的不同濃度的溶液混合配制成新溶液（成品），解題關(guān)鍵是分析所取原溶液的溶質(zhì)與成品溶質(zhì)不變及溶液前后質(zhì)量不變，找到兩個等量關(guān)系。 6、把含鹽5%的食鹽水與含鹽8%的食鹽水混合制成含鹽6%的食鹽水600克，分別應(yīng)取兩種食鹽水各多少千克? 7、在濃度為50％的硫酸

21、溶液100千克中，再加入多少千克濃度為5％的硫酸溶液，就可以配制成濃度為25％的硫酸溶液？ 含水量問題 8、倉庫運(yùn)來含水量為90％的水果100千克，1星期后再測發(fā)現(xiàn)含水量降低了，變?yōu)?0％，現(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？ 重復(fù)操作問題（牢記濃度公式，靈活運(yùn)用濃度變化規(guī)律，濃度問題的難點(diǎn)） 9、★★★★從裝滿100克濃度為80％的鹽水杯中倒出40克鹽水，再用清水將杯加滿；再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿，如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多少？ 溫馨提示：最好仔細(xì)閱讀后才下載使用，萬分感謝！