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1、
高考數學精品復習資料
2019.5
專題限時集訓(五) 數列的通項與求和
[建議A、B組各用時:45分鐘]
[A組 高考達標]
一、選擇題
1.已知數列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),則an=( )
A.2n+1 B.2n
C.2n-1 D.2n-2
A [由Sn=2an-4可得Sn-1=2an-1-4(n≥2),兩式相減可得an=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).又a1=2a1-4,a1=4,所以數列{an}是以4為首項,2為公比的等
2、比數列,則an=42n-1=2n+1,故選A.]
2.數列{an}滿足a1=1,且當n≥2時,an=an-1,則a5=( )
【導學號:04024063】
A. B.
C.5 D.6
A [因為a1=1,且當n≥2時,an=an-1,則=,所以a5=a1,即a5=1=.故選A.]
3.+++…+的值為( )
A. B.-
C.- D.-+
C [∵==
=,
∴+++…+=
=
=-.]
4.(20xx廣州二模)數列{an}滿足a2=2,an+2+(-1)n+1an=1+(-1)n(n∈N*),Sn為數列{an}的前n項和,則S100=( )
A
3、.5 100 B.2 550
C.2 500 D.2 450
B [由an+2+(-1)n+1an=1+(-1)n(n∈N*),可得a1+a3=a3+a5=a5+a7=…=0,a4-a2=a6-a4=a8-a6=…=2,由此可知,數列{an}的奇數項相鄰兩項的和為0,偶數項是首項為a2=2、公差為2的等差數列,所以S100=500+502+2=2 550,故選B.]
5.(20xx呼和浩特一模)等差數列{an}中,a2=8,前6項的和S6=66,設bn=,Tn=b1+b2+…+bn,則Tn=( )
A.1- B.1-
C.- D.-
D [由題意得解得
所以an=2n
4、+4,因此bn===-,所以Tn=-+-+…+-=-,故選D.]
二、填空題
6.(20xx西安模擬)設Sn是數列{an}的前n項和,an=4Sn-3,則S4=__________.
【導學號:04024064】
[∵an=4Sn-3,∴當n=1時,a1=4a1-3,解得a1=1,當n≥2時,∵4Sn=an+3,∴4Sn-1=an-1+3,∴4an=an-an-1,∴=-,∴{an}是以1為首項,-為公比的等比數列,∴S4===.]
7.(20xx東北三省四市聯(lián)考)《九章算術》是我國第一部數學專著,下面有源自其中的一個問題:“今有金箠(chu),長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺
5、,重二斤.問金箠重幾何?”意思:“現有一根金箠,長5尺,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤;在細的一端截下1尺,重2斤;問金箠重多少斤?”根據上面的已知條件,若金箠由粗到細的重量是均勻變化的,則答案是________.
15斤 [由題意可知金箠由粗到細各尺的重量成等差數列,且a1=4,a5=2,則S5==15,故金箠重15斤.]
8.(20xx廣州二模)設數列{an}的前n項和為Sn,若a2=12,Sn=kn2-1(n∈N*),則數列的前n項和為__________.
[令n=1得a1=S1=k-1,令n=2得S2=4k-1=a1+a2=k-1+12,解得k=4,所以Sn=4n
6、2-1,===,則數列的前n項和為++…+==.]
三、解答題
9.(20xx全國卷Ⅲ)設數列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求數列的前n項和.
[解]
(1)因為a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故當n≥2時, 2分
a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),
兩式相減得(2n-1)an=2,
所以an=(n≥2). 4分
又由題設可得a1=2,滿足上式,
所以{an}的通項公式為an=. 6分
(2)記的前n項和為Sn.
由(1)知==-,9分
則Sn=-+-+…+-=.
7、 12分
10.設數列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N*.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=,求數列{bn}的前n項和Sn.
【導學號:04024065】
[解] (1)因為a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,①
所以當n≥2時,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=,② 2分
①-②得3n-1an=,所以an=(n≥2). 6分
在①中,令n=1,得a1=,滿足an=,所以an=(n∈N*). 6分
(2)由(1)知an=,故bn==n3n.
則Sn=131+232+333+…+n3n,③
3Sn=
8、132+233+334+…+n3n+1,④ 8分
③-④得-2Sn=3+32+33+34+…+3n-n3n+1=-n3n+1,
11分
所以Sn=+(n∈N*). 12分
[B組 名校沖刺]
一、選擇題
1.已知函數y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)所過定點的橫、縱坐標分別是等差數列{an}的第二項與第三項,若bn=,數列{bn}的前n項和為Tn,則T10等于( )
A. B.
C. D.
B [y=loga(x-1)+3恒過定點(2,3),
即a2=2,a3=3,又{an}為等差數列,
∴an=n,∴bn=,
∴T10=1-=,故選
9、B.]
2.中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數,請公仔細算相還.”其意思為:有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地,請問第二天走了( )
A.192里 B.96里
C.48里 D.24里
B [由題意,知每天所走路程形成以a1為首項,公比為的等比數列,則=378,解得a1=192,則a2=96,即第二天走了96里.故選B.]
3.(20xx湘潭三模)已知Tn為數列的前n項和,若m>T10+1 013恒成立,則整數m的最小值為(
10、 )
A.1 026 B.1 025
C.1 024 D.1 023
C [由=1+得Tn=n+=n+1-,
所以T10+1 013=11-+1 013=1 024-,
又m>T10+1 013,所以整數m的最小值為1 024,故選C.]
4.已知數列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,則|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( )
A.445 B.765
C.1 080 D.3 105
B [∵an+1=an+3,∴an+1-an=3,∴{an}是以-60為首項,3為公差的等差數列,
∴an=-60+3(n-1)=3n-63.
令an≤0
11、,得n≤21,∴前20項都為負值.
∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30=-2S20+S30.
∵Sn=n=n,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765,故選B.]
二、填空題
5.(20xx山西四校聯(lián)考)已知數列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),則S2 016=__________.
【導學號:04024066】
321 008-3 [∵數列{an}滿足a1=1,an+1an=2n①,
∴n=1時,a2=2,n≥2時,anan-1=2n-1②,∵①②得=2,∴數列{an}的奇數項、偶
12、數項分別成等比數列,∴S2 016=+=321 008-3.]
6.(20xx合肥二模)已知數列{an}中,a1=2,且=4(an+1-an)(n∈N*),則其前9項的和S9=________.
1 022 [由=4(an+1-an)可得a-4an+1an+4a=0,則(an+1-2an)2=0,即an+1=2an,又a1=2,所以數列{an}是首項和公比都是2的等比數列,則其前9項的和S9==210-2=1 022.]
三、解答題
7.(20xx福州一模)已知等差數列{an}的各項均為正數,其公差為2,a2a4=4a3+1.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求a1+a3+a9
13、+…+a3n.
[解](1)依題意,an=a1+2(n-1),an>0. 2分
因為a2a4=4a3+1,
所以(a1+2)(a1+6)=4(a1+4)+1, 4分
所以a+4a1-5=0,
解得a1=1或a1=-5(舍去), 5分
所以an=2n-1. 6分
(2)由(1)知,a1+a3+a9+…+a3n
=(21-1)+(23-1)+(232-1)+…+(23n-1)7分
=2(1+3+32+…+3n)-(n+1) 9分
=2-(n+1)11分
=3n+1-n-2. 12分
8.已知首項都是1的兩個數列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)滿足anbn+1
14、-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=,求數列{cn}的通項公式;
(2)若bn=3n-1,求數列{an}的前n項和Sn.
[解](1)因為anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0,n∈N*),
所以-=2, 2分
即cn+1-cn=2.3分
又c1==1,
所以數列{cn}是以首項c1=1,公差d=2的等差數列,故cn=2n-1. 5分
(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1, 7分
于是數列{an}的前n項和
Sn=130+331+532+…+(2n-1)3n-1, 8分
3Sn=131+332+…+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n, 9分
相減得-2Sn=1+2(31+32+…+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n,11分
所以Sn=(n-1)3n+1. 12分