【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第3篇 第7講 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第7講 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、選擇題 1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站北偏東40,燈塔B在觀察站南偏東60,則燈塔A在燈塔B的 (  ). A.北偏東10   B.北偏西10 C.南偏東10   D.南偏西10 解析 燈塔A,B的相對(duì)位置如圖所示,由已知得∠ACB=80,∠CAB= ∠CBA=50,則α=60-50=10,即北偏西10. 答案 B 2.在某個(gè)位

2、置測(cè)得某山峰仰角為α,對(duì)著山峰在水平地面上前進(jìn)900 m后測(cè)得仰角為2α,繼續(xù)在水平地面上前進(jìn)300 m后,測(cè)得山峰的仰角為4α,則該山峰的高度為 (  ). A.300 m   B.450 m   C.300 m   D.600 m 解析 如圖所示,易知,在△ADE中,∠DAE=2α,∠ADE=180-4α, AD=300 m,由正弦定理,得 =, 解得cos 2α=, 則sin 2α=,sin 4α=, 所以在Rt△ABC中山峰的高度h=300sin 4α=300=450(m). 答案 B 3.要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度,在黃浦江西岸選擇甲

3、、乙兩觀測(cè)點(diǎn),在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45,30,在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120,甲、乙兩地相距500 m,則電視塔的高度是 (  ). A.100 m   B.400 m   C.200 m   D.500 m 解析 由題意畫出示意圖,設(shè)塔高AB=h m,在Rt△ABC中,由已知得BC=h m,在Rt△ABD中,由已知得BD=h m,在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BCCDcos∠BCD,得3h2=h2+5002+h500,解得h=500(m). 答案 D 4.(20xx白鷺洲中學(xué)模擬)如圖所示,長(zhǎng)為3.5 m

4、的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tan α等于 (  ). A.   B.   C.   D. 解析 由題意,可得在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α+∠ACB=π. 由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(π-α),解得cos α=,所以sin α=,所以 tan α==. 答案 A 5.(20xx長(zhǎng)安一中模擬)如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,C

5、D的高度分別為20 m,50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 (  ). A.30   B.45   C.60   D.75 解析 依題意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在 △ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD====,又0<∠CAD<180,所以∠CAD=45,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45. 答案 B 二、填空題 6.在相距2千米的A,B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75,∠C

6、BA=60,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為________千米. 解析 由已知條件∠CAB=75,∠CBA=60,得∠ACB=45.結(jié)合正弦定理,得=,即=,解得AC=(千米). 答案  7.(20xx杭州一中測(cè)試)如圖,一艘船上午9:30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30處,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75處,且與它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h. 解析 設(shè)航速為v n mile/h, 在△ABS中,AB=v,BS=8 n mile,∠BSA=45,由正弦定理,得=,∴v=32 n

7、mile/h. 答案 32 8.某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為45,沿傾斜角為30的斜坡前進(jìn) 1 000 m后到達(dá)D處,又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?0,則山的高度BC為________m. 解析 過點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E,因?yàn)椤螪AC=30,故∠ADE=150.于是∠ADB=360-150-60=150.又∠BAD=45-30=15, 故∠ABD=15,由正弦定理得AB= ==500(+)(m). 所以在Rt△ABC中,BC=ABsin 45=500(+1)(m). 答案 500(+1) 三、解答題 9.如圖所示,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面

8、內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB. 解 在△BCD中,∠CBD=π-α-β, 由正弦定理得=, 所以BC==, 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=. 10.(20xx石家莊模擬)已知島A南偏西38方向,距島A 3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島北偏西22方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船? 解 如圖,設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上一點(diǎn),緝私艇的速度為每小時(shí)x海里,則BC=0.5 x,AC=5海里

9、,依題意,∠BAC=180-38-22=120, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120, 所以BC2=49,BC=0.5 x=7,解得x=14. 又由正弦定理得sin∠ABC===, 所以∠ABC=38,又∠BAD=38,所以BC∥AD, 故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛,恰好用0.5小時(shí)截住該走私船. 能力提升題組 (建議用時(shí):25分鐘) 一、選擇題 1.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱,為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45,沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂

10、端的仰角為30,則水柱的高度是 (  ). A.50 m   B.100 m   C.120 m   D.150 m 解析 設(shè)水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=60,AC=h,AB=100,BC=h,根據(jù)余弦定理得,(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m. 答案 A 2.如圖,在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30,測(cè)得湖中之影的俯角為45,

11、則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) (  ). A.2.7 m   B.17.3 m   C.37.3 m   D.373 m 解析 在△ACE中, tan 30==.∴AE=(m). 在△AED中,tan 45==, ∴AE=(m),∴=, ∴CM==10(2+)≈37.3(m). 答案 C 二、填空題 3.如圖所示,福建省福清石竹山原有一條筆直的山路BC,現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道A C.小明在山腳B處看索道AC,此時(shí)張角∠ABC=120;從B處攀登200米到達(dá)D處,回頭看索道AC,此時(shí)張角∠ADC=150;從D處再攀登300米

12、到達(dá)C處.則石竹山這條索道AC長(zhǎng)為________米. 解析 在△ABD中,BD=200米,∠ABD=120. 因?yàn)椤螦DB=30,所以∠DAB=30. 由正弦定理,得=, 所以=. 所以AD==200(米). 在△ADC中,DC=300米,∠ADC=150, 所以AC2=AD2+DC2-2ADDCcos∠ADC=(200)2+3002-2200300cos 150=390 000,所以AC=100(米).故石竹山這條索道AC長(zhǎng)為100 米. 答案 100 三、解答題 4.(20xx武漢二模)如圖所示,一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50千米/時(shí)的速度勻速行駛(圖中的

13、箭頭方向?yàn)槠囆旭偡较?,汽車開動(dòng)的同時(shí),在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的距離為5千米、距離公路線的垂直距離為3千米的M點(diǎn)的地方有一個(gè)人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī).問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望,此時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少千米? 解 作MI垂直公路所在直線于點(diǎn)I,則MI=3千米, ∵OM=5千米,∴OI=4千米,∴cos∠MOI=.設(shè)騎摩托車的人的速度為v千米/時(shí),追上汽車的時(shí)間為t小時(shí). 由余弦定理,得(vt)2=52+(50t)2-2550t, 即v2=-+2 500=252+900≥900, ∴當(dāng)t=時(shí),v取得最小值為30, ∴其行駛距離為vt==千米. 故騎摩托車的人至少以30千米/時(shí)的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望,此時(shí)他駕駛摩托車行駛了千米.

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