高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.2 對數(shù)函數(shù) 2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算教學設計 新人教A版必修1

《高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.2 對數(shù)函數(shù) 2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算教學設計 新人教A版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.2 對數(shù)函數(shù) 2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算教學設計 新人教A版必修1（20頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2.2.1　對數(shù)與對數(shù)運算 教學內容分析 本節(jié)課是新課標高中數(shù)學A版必修1中第二章對數(shù)函數(shù)內容的第1課時，也就是對數(shù)函數(shù)的入門．對數(shù)函數(shù)對于學生來說是一個全新的函數(shù)模型，學習起來比較困難．而對數(shù)函數(shù)又是本章的重要內容，在高考中占有一定的分量，它是在指數(shù)函數(shù)的基礎上，對函數(shù)類型的拓廣，同時在解決一些日常生活問題及科研中起著十分重要的作用．通過本節(jié)課的學習，可以讓學生理解對數(shù)的概念，從而進一步深化對對數(shù)模型的認識與理解，為學習對數(shù)函數(shù)做好準備．同時，通過對對數(shù)概念的學習，對培養(yǎng)學生對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉化的思想，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力都具有重要的意義． 學生學習情況分析 現(xiàn)階段

2、大部分學生學習的自主性較差，主動性不夠，學習有依賴性，且學習的信心不足，對數(shù)學存在或多或少的恐懼感．通過對指數(shù)與指數(shù)冪的運算的學習，學生已多次體會了對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉化的思想，并且探究能力、邏輯思維能力得到了一定的鍛煉．因此，學生已具備了探索、發(fā)現(xiàn)、研究對數(shù)定義的認識基礎，故應通過指導，教會學生獨立思考、大膽探索和靈活運用類比、轉化、歸納等數(shù)學思想的學習方法． 設計思想 學生是教學的主體，本節(jié)課要給學生提供各種參與機會．為了調動學生學習的積極性，使學生化被動為主動，本節(jié)課可利用多媒體輔助教學，引導學生從實例中認識對數(shù)模型，體會引入對數(shù)的必要性．在教學重難點上，步步設問、啟發(fā)學生的思

3、維，通過課堂練習、探究活動、學生討論的方式來加深理解，更好地突破難點和提高教學效率．讓學生在教師的引導下，充分地動手、動口、動腦，掌握學習的主動權． 教學目標 1．理解對數(shù)的概念，了解對數(shù)與指數(shù)的關系；掌握對數(shù)式與指數(shù)式的互化；理解對數(shù)的性質，掌握以上知識并形成技能． 2．通過實例使學生認識對數(shù)模型，體會引入對數(shù)的必要性；通過師生觀察分析得出對數(shù)的概念及對數(shù)式與指數(shù)式的互化． 3．通過學生分組進行探究活動，掌握對數(shù)的重要性質．通過做練習，使學生感受到理論與實踐的統(tǒng)一． 4．培養(yǎng)學生的類比、分析、歸納能力，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S品質以及在學習過程中培養(yǎng)學生的探究意識． 重點難點 重點：

4、(1)對數(shù)的概念；(2)對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉化． 難點：(1)對數(shù)概念的理解；(2)對數(shù)性質的理解． 教學 環(huán)節(jié) 教學程序及設計 設計意圖 創(chuàng)設情境，引入新課 引例(3分鐘) 1．一尺之錘，日取其半，萬世不竭． (1)取5次，還有多長？ (2)取多少次，還有0.125尺？ 分析：(1)為同學們熟悉的指數(shù)函數(shù)模型，易得5＝， (2)可設取x次，則有x＝0.125， 抽象出：x＝0.125?x＝？ 2．2002年我國GDP為a億元，如果每年平均增長8%，那么經過多少年GDP是2002年的2倍？ 分析：設經過x年，則有(1＋8%)x＝2，抽象出：(1＋8%)x＝2

5、?x＝？ 讓學生根據題意，設未知數(shù)，列出方程．這兩個例子都出現(xiàn)指數(shù)是未知數(shù)x的情況，讓學生思考如何表示x，激發(fā)其對對數(shù)的學習興趣，培養(yǎng)學生的探究意識．生活及科研中還有很多這樣的例子，因此引入對數(shù)是必要的． 講授新課 一、對數(shù)的概念(3分鐘) 一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)(logarithm)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)． 注意：(1)底數(shù)的限制：a＞0且a≠1； (2)對數(shù)的書寫格式. 正確理解對數(shù)定義中底數(shù)的限制，為以后對數(shù)函數(shù)定義域的確定做準備．同時注意對數(shù)的書寫格式，避免因書寫不規(guī)范而產生的錯誤． 二、對

6、數(shù)式與指數(shù)式的互化：(5分鐘) 冪底數(shù)←a→對數(shù)底數(shù) 指數(shù)←b→對數(shù) 冪←N→真數(shù) 思考： (1)為什么對數(shù)的定義中要求底數(shù)a＞0且a≠1? (2)是否是所有的實數(shù)都有對數(shù)呢？ 負數(shù)和零沒有對數(shù) 讓學生了解對數(shù)與指數(shù)的關系，明確對數(shù)式與指數(shù)式形式的區(qū)別，a，b和N位置的不同，及它們的含義．互化體現(xiàn)了等價轉化這個重要的數(shù)學思想. 三、兩個重要對數(shù)(2分鐘) (1)常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)log10N，簡記為lg N； (2)自然對數(shù)：以無理數(shù)e＝2.718 28…為底的對數(shù)logeN，簡記為lnN.(在科學技術中，常常使用以e為底的對數(shù)) 注意：兩個重要對數(shù)的書寫

7、 這兩個重要對數(shù)一定要掌握，為以后的解題以及換底公式作準備． 課堂練習(7分鐘) 1．將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式： (1)24＝16；(2)3－3＝；(3)5a＝20；(4)b＝0.45. 2．將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式： (1)log5125＝3；(2)＝－2；(3)log10a＝－1.069. 3．求下列各式的值： (1)log264；(2)log927. 本練習讓學生獨立閱讀課本例1和例2后思考完成，從而熟悉對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉化，加深對對數(shù)概念的理解．并要求學生指出對數(shù)式與指數(shù)式互化時應注意哪些問題，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S品質． 四、對數(shù)的性質(12分鐘) 探究活動1 求下

8、列各式的值： (1)log31＝0；(2)lg 1＝0； (3)log0.51＝0；(4)ln1＝0. 思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？ “1”的對數(shù)等于零，即loga1＝0(a＞0且a≠1)，類比：a0＝1(a＞0且a≠1)． 探究活動由學生獨立完成后，通過思考，然后分小組進行討論，最后得出結論．通過練習與討論的方式，讓學生自己得出結論，從而能更好地理解和掌握對數(shù)的性質．培養(yǎng)學生類比、分析、歸納的能力. 探究活動2 求下列各式的值： (1)log33＝1；(2)lg 10＝1；(3)log0.50.5＝1；(4)lne＝1. 思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？ 底數(shù)的對數(shù)等于“1”，即logaa＝

9、1(a＞0且a≠1)，類比：a1＝a(a＞0且a≠1)． 探究活動3 求下列各式的值： (1)＝3；(2)＝0.6；(3)＝89. 思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？ 對數(shù)恒等式：＝N(a＞0且a≠1)． 探究活動4 求下列各式的值： (1)log334＝4；(2)log0.90.95＝5；(3)lne8＝8. 思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？ 對數(shù)恒等式：logaan＝n(a＞0且a≠1). 講 授 新 課 小結 負數(shù)和零沒有對數(shù)； “1”的對數(shù)等于零，即loga1＝0； 底數(shù)的對數(shù)等于“1”，即logaa＝1； 對數(shù)恒等式：＝N； 對數(shù)恒等式：logaan＝n.(a＞0且a≠

10、1) 將學生歸納的結論進行小結，從而得到對數(shù)的基本性質． 歸納小結，強化思想 (3分鐘) 1．引入對數(shù)的必要性——對數(shù)的概念 一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)(logarithm)，記作x＝logaN. 2．指數(shù)與對數(shù)的關系 3．對數(shù)的基本性質 負數(shù)和零沒有對數(shù)；loga1＝0；logaa＝1； 對數(shù)恒等式：＝N；logaan＝n. 總結是一堂課內容的概括，有利于學生系統(tǒng)地掌握所學內容．同時，將本節(jié)內容納入已有的知識體系中，發(fā)揮承上啟下的作用．為下一課時對數(shù)的運算打下扎實的基礎． 作業(yè) 布置 一、課本習題2.2A組第1,2

11、題． 二、已知loga2＝x，loga3＝y(tǒng)，求a3x＋2y的值． 三、求下列各式的值： ；； ；. 作業(yè)是學生信息的反饋，教師可以在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)學生在學習中存在的問題，彌補教學中的不足． 板書 設計 2.2.1　對數(shù)與對數(shù)運算 第1課時 引例1 引例2 一、對數(shù)的定義 二、對數(shù)式與指數(shù)式的 互化練習 三、對數(shù)的基本性質 四、小結 五、作業(yè)布置 本教學設計先由引例出發(fā)，創(chuàng)設情境，激發(fā)學生對對數(shù)的學習興趣；在講授新課部分，通過結合多媒體教學以及一系列的課堂探究活動，加深學生對對數(shù)的認識；最后通過課堂練習來鞏固學生對對數(shù)的掌握． 第2課時 教學

12、目標 1．知識與技能 (1)通過實例推導對數(shù)的運算性質，準確地運用對數(shù)的運算性質進行運算、求值、化簡，并掌握化簡求值的技能． (2)運用對數(shù)的運算性質解決有關問題． (3)培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力． 培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和科學分析問題的精神和態(tài)度． 2．過程與方法 (1)讓學生經歷并推導出對數(shù)的運算性質． (2)讓學生歸納整理本節(jié)所學的知識． 3．情感態(tài)度與價值觀 讓學生感覺對數(shù)運算性質的重要性，增加學生的成功感，增強學習的積極性． 重點難點 重點：對數(shù)運算的性質與對數(shù)知識的應用． 難點：正確使用對數(shù)的運算性質． 導入新課 思路1．上節(jié)課我們學習了以下內

13、容： 1．對數(shù)的定義． 2．指數(shù)式與對數(shù)式的互化． ab＝N?logaN＝b. 3．重要性質： (1)負數(shù)與零沒有對數(shù)；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)對數(shù)恒等式＝N. 下面我們接著講對數(shù)的運算性質〔教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算(2)〕． 思路2.我們在學習指數(shù)的時候，知道指數(shù)有相應的運算法則，即指數(shù)運算法則： am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；＝.(a＞0且a≠1) 從上節(jié)課我們還知道指數(shù)與對數(shù)都是一種運算，而且它們互為逆運算，對數(shù)是否也有和指數(shù)相類似的運算法則呢？答案是肯定的，這就是本堂課的主要內容，點出課題：

14、對數(shù)與對數(shù)運算(2)． 推進新課 (1)在上節(jié)課中，我們知道，對數(shù)運算可看作指數(shù)運算的逆運算，你能從指數(shù)與對數(shù)的關系以及指數(shù)運算的性質，得出相應的對數(shù)運算的性質嗎？ (2)如我們知道am＝M，an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用對數(shù)式運算嗎？ (3)在上述(2)的條件下，類比指數(shù)運算性質能得出其他對數(shù)運算性質嗎？ (4)你能否用最簡練的語言描述上述結論？如果能，請描述. (5)上述運算性質中的字母的取值有什么限制嗎？ (6)上述結論能否推廣呢？ (7)學習這些性質能對我們進行對數(shù)運算帶來哪些方便呢？ 討論結果：(1)通過問題(2)來說明．

15、 (2)若am·an＝am＋n，M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由對數(shù)的定義得到M＝am?m＝logaM，N＝an?n＝logaN，MN＝am＋n?m＋n＝logaMN，logaMN＝logaM＋logaN. 因此m＋n可以用對數(shù)式表示． (3)令M＝am，N＝an，則＝am÷an＝am－n，所以m－n＝loga. 又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN. 所以logaM－logaN＝m－n＝loga，即loga＝logaM－logaN. 設M＝am，則Mn＝(am)n＝amn.由對數(shù)的定義， 所以logaM＝m，logaMn＝mn.

16、所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM. 這樣我們得到對數(shù)的三個運算性質： 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則有 loga(MN)＝logaM＋logaN；① loga＝logaM－logaN；② logaMn＝nlogaM(n∈R)．③ (4)以上三個性質可以歸納為： 性質①：兩數(shù)積的對數(shù)，等于各數(shù)的對數(shù)的和； 性質②：兩數(shù)商的對數(shù)，等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)； 性質③：冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù)． (5)利用對數(shù)運算性質進行運算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0. (6)性質①可以推廣到n個數(shù)的情形： 即loga(M1

17、M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1，M2，M3，…，Mn均大于0)． (7)縱觀這三個性質我們知道， 性質①的等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個降級運算． 性質②的等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運算． 性質③從左往右仍然是降級運算． 利用對數(shù)的性質①②可以使兩正數(shù)的積、商的對數(shù)轉化為兩正數(shù)的各自的對數(shù)的和、差運算，方便了對數(shù)式的化簡和求值． 例1 用logax，logay，logaz表示下列各式： (1)loga；(2)loga. 活動：學

18、生思考觀察，教師巡視，檢查學生解題情況，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正． 利用對數(shù)的運算性質，把整體分解成部分． 對(1)loga，可先利用性質②，轉化為兩數(shù)對數(shù)的差，再利用性質①，把積的對數(shù)轉化為兩數(shù)對數(shù)的和． 對(2)loga，可先利用性質②，轉化為兩數(shù)對數(shù)的差，再利用性質①，把積的對數(shù)轉化為兩數(shù)對數(shù)的和，最后利用性質③，轉化為冪指數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的積． 解：(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz； (2)loga＝loga(x2)－loga ＝logax2＋loga－loga＝2logax＋logay－logaz. 點評：對數(shù)的運算性質實質上是把積

19、、商、冪的對數(shù)運算分別轉化為對數(shù)的加、減、乘的運算． 變式訓練 1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正確的個數(shù)為(　　) ①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，下列式子正確的個數(shù)為(　　) ①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga； ④

20、＝loga；⑤＝logax；⑥logax＝loga； ⑦logaxn＝nlogax；⑧l(xiāng)oga＝－loga. A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 例2 求值：(1)；(2)log3. 解：(1)解法一：設，則()x＝3＝()3，所以x＝3. 解法二：. (2)解法一：令x＝log3，則3x＝，即3x＝3－3，所以x＝－3. 解法二：log3＝log33－3＝－3. 例3 計算： (1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；(2)；(3). 解：(1)解法一：lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7

21、－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 解法二：lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg2＋lg 7－lg 18＝lg＝lg 1＝0. (2)＝＝＝. (3)＝＝＝. 點評：此例題體現(xiàn)對數(shù)運算性質的綜合運用，應注意掌握變形技巧，如(3)題各部分變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系；(2)題要避免錯用對數(shù)的運算性質．對數(shù)運算性質的靈活運用、運算性質的逆用常被學生所忽視． 例4 設x＝log23，求的值． 活動：學生思考觀察，教師引導，學生有困難及時提示并評價學生的思

22、考過程．本題主要考查對數(shù)的定義及其運算性質．先利用對數(shù)的定義求2x，再求23x，從而可求，或先化簡再代入求值． 解法一：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝，所以＝＝32＋3×＋2＝. 解法二：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝，所以＝＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋2＝. 課本本節(jié)練習第1,2,3題． 【補充練習】 1．用logax，logay，logaz，loga(x＋y)，loga(x－y)表示下列各式： (1)loga；(2)loga；(3)；(4)loga； (5)loga；(6)loga3. 解：(1)loga＝loga－logay2z＝log

23、ax－(2logay＋logaz)＝logax－2logay－logaz； (2)loga＝logax＋loga＝logax＋(logaz3－logay2) ＝logax－logay＋logaz＝logax－logay＋logaz； (3)＝logax＋＋＝logax＋logay－logaz； (4)loga＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga(x＋y)(x－y) ＝logax＋logay－loga(x＋y)－loga(x－y)； (5)loga＝loga＋logay＝loga(x＋y)－loga(x－y)＋logay； (6)loga3＝3[

24、logay－logax－loga(x－y)]＝3logay－3logax－3loga(x－y)． 2．已知f(x6)＝log2x，則f(8)等于(　　) A． B．8 C．18 D． 解析：因為f(x6)＝log2x，x＞0，令x6＝8，得，所以f(8)＝＝. 另解：因為f(x6)＝log2x＝log2x6，所以f(x)＝log2x. 所以f(8)＝log28＝log223＝. 答案：D 已知x，y，z＞0，且lg x＋lg y＋lg z＝0，求的值． 活動：學生討論、交流、思考，教師可以引導．大膽設想，運用對數(shù)的運算性質．由于所求的式子是三項積的

25、形式，每一項都有指數(shù)，指數(shù)中又有對數(shù)，因此想到用對數(shù)的運算性質，如果能對所求式子取對數(shù)，那可能會好解決些，故想到用參數(shù)法，設所求式子的值為t. 解：令，則lg t＝lg x＋lg y＋lg z＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝－3，所以t＝10－3＝即為所求． 1．對數(shù)的運算性質． 2．對數(shù)的運算性質的綜合應用，特別是性質的逆向使用． 3．對數(shù)與指數(shù)形式比較： 式子 ab＝N logaN＝b 名稱 a——冪的底數(shù) b——冪的指數(shù) N——冪值 a——對數(shù)的底數(shù) b——以a為底的N的對數(shù) N——真數(shù) 運算 性質 am·an＝am＋n； am÷an

26、＝am－n； (am)n＝amn； (a＞0，a≠1，m，n∈R) loga(MN)＝logaM＋logaN； loga＝logaM－logaN； logaMn＝nlogaM(n∈R)； (a＞0，a≠1，M＞0，N＞0) 課本習題2.2A組　3,4,5. 在前面研究了對數(shù)概念的基礎上，為了運算的方便，本節(jié)課我們借助指數(shù)的運算性質，推出了對數(shù)的運算性質，引導學生自己完成推導過程，加深對公式的理解和記憶，對運算性質的認識類比指數(shù)的運算性質來理解記憶，強化性質的使用條件，注意對數(shù)式中每一個字母的取值范圍，由于它是以后學習對數(shù)函數(shù)的基礎，所以安排教學時，要反復練習，加大練習的

27、量，多結合信息化的教學手段，順利完成本堂課的任務． 第3課時 作者：劉菲 教學目標 1．知識與技能 推導對數(shù)的換底公式，培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和科學分析問題的精神和態(tài)度． 2．過程與方法 讓學生經歷推導對數(shù)的換底公式的過程，歸納整理本節(jié)所學知識． 3．情感態(tài)度與價值觀 通過對數(shù)的運算性質、對數(shù)換底公式的學習，培養(yǎng)學生的探究意識，培養(yǎng)學生的嚴謹?shù)乃季S品質；感受對數(shù)的廣泛應用． 重點難點 重點：對數(shù)的運算性質、換底公式及其應用． 難點：正確使用對數(shù)的運算性質和換底公式． 導入新課 思路1．問題：你能根據對數(shù)的定義推導出下面的換底公式

28、嗎？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝.教師直接點出課題：對數(shù)與對數(shù)運算(3)——對數(shù)的換底公式及其應用． 思路2．前兩節(jié)課我們學習了以下內容：1．對數(shù)的定義及性質；2．對數(shù)恒等式；3．對數(shù)的運算性質，用對數(shù)的運算性質我們能就同底數(shù)的對數(shù)進行運算，那么不同底數(shù)的對數(shù)集中在一起，如何解決呢？這就是本堂課的主要內容．教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算(3)——對數(shù)的換底公式及其應用． 思路3．從對數(shù)的定義可以知道，任意不等于1的正數(shù)都可作為對數(shù)的底，數(shù)學史上，人們經過大量的努力，制作了常用對數(shù)表和自然對數(shù)表，只要通過查表就能求出任意正數(shù)的常用對數(shù)或自然對數(shù)，這樣，如果能將其他底

29、的對數(shù)轉換為以10為底或以e為底的對數(shù)就能方便地求出任意不等于1的正數(shù)為底的對數(shù)，那么，怎么轉化呢？這就需要一個公式，即對數(shù)的換底公式，從而引出課題：對數(shù)與對數(shù)運算(3)——對數(shù)的換底公式及其應用． 推進新課 (1)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log23的值； (2)根據(1)，如a＞0，a≠1，你能用含a的對數(shù)式來表示log23嗎？ (3)更一般地，我們有l(wèi)ogab＝，如何證明？ (4)證明logab＝的依據是什么？ (5)你能用自己的話概括出換底公式嗎？ (6)換底公式的意義是什么？有什么作用？ 活動：學生針對提出的問題，交流討論，回顧

30、所學，力求轉化，教師適時指導，必要時提示學生解題的思路，給學生創(chuàng)造一個互動的學習環(huán)境，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力．對(1)目前還沒有學習對數(shù)的換底公式，它們又不是同底，因此可考慮對數(shù)的定義，轉化成方程來解；對(2)參考(1)的思路和結果的形式，借助對數(shù)的定義可以表示；對(3)借助(1)(2)的思路，利用對數(shù)的定義來證明；對(4)根據證明的過程來說明；對(5)抓住問題的實質，用準確的語言描述出來，一般是按照從左到右的形式；對(6)換底公式的意義就在于對數(shù)的底數(shù)變了，與我們的要求接近了． 討論結果：(1)因為lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根據對數(shù)的定義，所以100.301 0

31、＝2,100.477 1＝3. 不妨設log23＝x，則2x＝3，所以(100.301 0)x＝100.477 1,100.301 0×x＝100.477 1， 即0.301 0x＝0.477 1，x＝＝.因此log23＝＝≈1.585 0. (2)根據(1)我們看到，最后的結果是log23用lg 2與lg 3表示，是通過對數(shù)的定義轉化的，這就給我們以啟發(fā)，本來是以2為底的對數(shù)轉換成了以10為底的對數(shù)， 不妨設log23＝x，由對數(shù)定義知道，2x＝3， 兩邊都取以a為底的對數(shù)，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝， 也就是log23＝. 這樣log

32、23就表示成了以a為底的3的對數(shù)與以a為底的2的對數(shù)的商． (3)證明logab＝. 證明：設logab＝x，由對數(shù)定義知道，ax＝b； 兩邊取以c為底的對數(shù)，得logcax＝logcb?xlogca＝logcb； 所以x＝，即logab＝. 一般地，logab＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)稱為對數(shù)的換底公式． (4)由(3)的證明過程來看，換底公式的證明要緊扣對數(shù)的定義，證明的依據是：若M＞0，N＞0，M＝N，則logaM＝logaN. (5)一個數(shù)的對數(shù)，等于同一底數(shù)的真數(shù)的對數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的商，這樣就把一個對數(shù)變成了與原來對數(shù)的底數(shù)不同的兩個對數(shù)的商． (6

33、)換底公式的意義就在于把對數(shù)式的底數(shù)改變，把不同底問題轉化為同底問題，為使用運算性質創(chuàng)造條件，更方便化簡求值． 說明：我們使用的計算器中，“l(fā)og”通常是常用對數(shù)，因此要使用計算器計算對數(shù)，一定要先用換底公式轉化為常用對數(shù)．如log23＝， 即計算log23的值的按鍵順序為：“l(fā)og”→“3”→“÷”→“l(fā)og”→“2”→“＝”． 再如：在前面要求我國人口達到18億的年份，就是要計算x＝log1.01， 所以x＝log1.01＝＝≈＝32.883 7≈33(年)． 可以看到運用對數(shù)換底公式，有時要方便得多． 例1 求log89·log2732的值． 活動：

34、學生觀察題目，思考討論，互相交流，教師適時提示，學生板演，利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)；根據題目的特點，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，可以化成常用對數(shù)或以2為底的對數(shù)，以3為底的對數(shù)也可． 解法一：log89·log2732＝·＝·＝. 解法二：log89·log2732＝·＝·＝. 解法三：log89·log2732＝·＝·＝. 點評：靈活運用對數(shù)的換底公式是解決問題的關鍵． 例2 計算：(1)；(2)log43·log92－. 活動：學生積極交流，教師引導，學生展示自己的思維過程，教

35、師對學生的表現(xiàn)及時評價．先利用對數(shù)運算性質和換底公式進行化簡，然后再求值；對(1)根據題目的特點，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，再利用對數(shù)的運算性質化簡．對(2)利用換底公式把底數(shù)統(tǒng)一起來，再化簡求值． 解：(1)原式＝＝＝－3. (2)log43·log92－＝·－＝log23·log32＋log22 ＝＋＝. 點評：在利用對數(shù)的換底公式進行化簡求值時，一般情況是根據題中所給的對數(shù)式的具體特點選擇恰當?shù)牡讛?shù)進行換底，如果題目中所給的真數(shù)和底數(shù)互不相同，我們常選擇以10為底的對數(shù)進行換底． 例3 (1)證明＝1＋logab； (2)已知＝＝…＝＝λ

36、，求證：. 活動：學生思考、討論，教師適當提示：(1)運用對數(shù)換底公式，統(tǒng)一成以a為底的對數(shù)可直接得解，或利用對數(shù)的定義，分別把三個式子設出，再由定義轉化成指數(shù)形式，利用指數(shù)冪的性質得解；(2)這是條件證明問題，應在現(xiàn)有條件下利用換底公式，轉化成積的形式，從題目的結論來看，真數(shù)是積的形式，因此要創(chuàng)造對數(shù)的和的形式，這就想到先換底，再利用等比性質來解． (1)證法一：設logax＝p，logabx＝q，logab＝r，則x＝ap，x＝(ab)q＝aqbq，b＝ar. 所以ap＝(ab)q＝aq(1＋r)，從而p＝q(1＋r)． 因為q≠0，所以＝1＋r，即＝1＋logab. 證法二：顯

37、然x＞0且x≠1，x可作為底數(shù)，左邊＝＝＝logaab＝1＋logab＝右邊． (2)證明：因為loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，所以由換底公式得＝＝…＝＝λ.由等比定理，所以＝λ.所以＝λ. 所以＝＝λ. 點評：在解題過程中，根據題目的需要，把底數(shù)轉化，換底公式可完成不同底數(shù)的對數(shù)式之間的轉化，該公式既可正用，又可逆用，使用時的關鍵是選擇底數(shù)，換底的目的是實現(xiàn)對數(shù)式的化簡． 例4 20世紀30年代，里克特(C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里

38、氏震級M，其計算公式為M＝lg A－lg A0，其中，A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅(使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差)． (1)假設在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標準地震的振幅是0.001，計算這次地震的震級(精確到0.1)； (2)5級地震給人的震感已比較明顯，計算7.6級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍(精確到1)? 活動：學生審題，教師引導，學生交流，展示自己的思維過程，教師強調實際問題的注意事項．根據題目給出的數(shù)學模型及其含義來解決．這是實際問題，但題目給出了數(shù)學模型即關系式，關系

39、式是以常用對數(shù)的形式給出，因此要利用對數(shù)的定義和運算性質，同時注意要使實際問題有意義． 解：(1)M＝lg 20－lg 0.001＝lg＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3. 因此，這是一次約為里氏4.3級的地震． (2)由M＝lg A－lg A0可得M＝lg，即＝10M，所以A＝A0·10M. 當M＝7.6時，地震的最大振幅為A1＝A0·107.6； 當M＝5時，地震的最大振幅為A2＝A0·105. 所以，兩次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398. 答：7.6級地震的最大振幅大約是5級地震的最大振幅的398倍．

40、 點評：利用所學知識解決實際問題，是教學的一個難點． 課本本節(jié)練習4. 【補充練習】 (1)已知lg 2＝a，lg 3＝b，則等于(　　) A． B． C． D． (2)已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，則的值為(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．4或－1 (3)若3a＝2，則log38－2log36＝__________. (4)lg 12.5－lg＋lg 0.5＝__________. 答案：(1)C　(2)B　(3)a－2　(4)1 探究換底公式的其他證明方法： 活動：學生討論、交流、思考，教

41、師可以引導，大膽設想，運用對數(shù)的定義及運算性質和指數(shù)冪的運算性質． 證法一：設logaN＝x，則ax＝N，兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對數(shù)，得logcax＝logcN，所以xlogca＝logcN，即x＝.故logaN＝. 證法二：由對數(shù)恒等式，得，兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對數(shù)，得logcN＝logaN·logca，所以logaN＝. 證法三：令logca＝m，logaN＝n，則a＝cm，N＝an，所以N＝(cm)n＝cmn. 兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對數(shù)，得mn＝logcN，所以n＝，即logaN＝. 對數(shù)換底公式的應用：換底公式logaN＝(c

42、＞0且c≠1，a＞0且a≠1，N＞0)的應用包括兩個方面，即由左端到右端的應用和由右端到左端的應用，前者較為容易，而后者則易被學生忽視，因此，教學時應重視后者的用法，下面僅就后者舉例說明： 例：化簡：＋＋＋. 解：原式＝logNM＋logNM＋logNM＋logNM＝4logNM. 1．對數(shù)換底公式； 2．換底公式可用于對數(shù)式的化簡、求值或證明．若對數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)可轉化成同底數(shù)的冪的形式，則該冪底數(shù)可被選作換底公式的底數(shù)，也可把對數(shù)式轉化成以10為底的常用對數(shù)或以任意數(shù)a(a＞0且a≠1)為底的對數(shù)式的形式． 課本習題2.2A組　6,11,12. 【補充作業(yè)】 1．已知

43、，，求log81175的值． 解：因為＝log277＝log37＝a，所以log37＝3a. 又因為＝log35＝b， 所以log81175＝log3(25×7)＝(log325＋log37)＝(2log35＋log37)＝. 2．求證：(log23＋log49＋log827＋…＋)log9＝. 證明：左邊＝(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9 ＝()·log932 ＝nlog23·log3＝log23·log32＝＝右邊． 本堂課主要是學習對數(shù)的換底公式，它在以后的學習中有著非常重要的應用，由于對數(shù)的

44、運算性質是在同底的基礎上，因此利用對數(shù)換底公式把不同底數(shù)的對數(shù)轉化為同底顯得非常重要，有時也可以逆用對數(shù)的換底公式達到我們的目的，特別是實際問題的應用十分廣泛，因此要反復訓練，強化記憶，所以設計了大量的例題與練習，授課時要加快速度，激發(fā)學生學習的興趣，多運用多媒體的教學手段． 【備選例題】 【例1】化簡：···. 解：原式＝···＝logNM·logNM·logNM·logNM＝(logNM)4. 【例2】求證：logab＝(a＞0，b＞0且a≠1，b≠1)． 證法一：logab＝＝. 證

45、法二：＝＝logab. 【例3】試證：＋＋＋…＋＝. 證明：＋＋＋…＋＝logx(2×3×4×…×n) ＝logx(1×2×3×4×…×n)＝logxn?。? 【知識拓展】 對數(shù)的創(chuàng)立 對數(shù)是中學初等數(shù)學中的重要內容，那么當初是誰首創(chuàng)“對數(shù)”這種高級運算的呢？在數(shù)學史上，一般認為對數(shù)的發(fā)明者是16世紀末到17世紀初的蘇格蘭數(shù)學家——納皮爾(J.Napier，1550—1617)男爵．在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科．可是由于當時常量數(shù)學的局

46、限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的“天文數(shù)字”，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間．納皮爾也是當時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數(shù)字的計算技術，終于獨立發(fā)明了對數(shù)． 當然，納皮爾所發(fā)明的對數(shù)，在形式上與現(xiàn)代數(shù)學中的對數(shù)理論并不完全一樣．在納皮爾那個時代，“指數(shù)”這個概念還尚未形成，因此納皮爾并不是像現(xiàn)行代數(shù)課本中那樣，通過指數(shù)來引出對數(shù)，而是通過研究直線運動得出對數(shù)概念的．那么，當時納皮爾所發(fā)明的對數(shù)運算，是怎么一回事呢？在那個時代，計算多位數(shù)之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計算特殊多位數(shù)之間乘積的方法．讓我們來看看下面這個例子：

47、 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、… 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1 024、2 048、4 096、8 192、16 384、… 這兩行數(shù)字之間的關系是極為明確的：第一行表示2的指數(shù)，第二行表示2的對應冪．如果我們要計算第二行中兩個數(shù)的乘積，可以通過第一行對應數(shù)字的和來實現(xiàn)． 比如，計算64×256的值，就可以先查詢第一行的對應數(shù)字：64對應6,256對應8；然后再把第一行中的對應數(shù)字加起來：6＋8＝14；第一行中的14，對應第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.納皮爾的這種計算

48、方法，實際上已經完全是現(xiàn)代數(shù)學中“對數(shù)運算”的思想了．回憶一下，我們在中學學習“運用對數(shù)簡化計算”的時候，采用的不正是這種思路嗎？計算兩個復雜數(shù)的乘積，先查《常用對數(shù)表》，找到這兩個復雜數(shù)的常用對數(shù)，再把這兩個常用對數(shù)值相加，再通過《常用對數(shù)的反對數(shù)表》查出值的反對數(shù)值，就是原先那兩個復雜數(shù)的乘積了．這種“化乘除為加減”，從而達到簡化計算的思路，不正是對數(shù)運算的明顯特征嗎？ 經過多年的探索，納皮爾男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的對數(shù)定律說明書》，向世人公布了他的這項發(fā)明，并且解釋了這項發(fā)明的特點．所以，納皮爾是當之無愧的“對數(shù)締造者”，理應在數(shù)學史上享有這份殊榮．偉大的導師恩格斯在他的

49、著作《自然辯證法》中，曾經把笛卡兒的坐標、納皮爾的對數(shù)、牛頓和萊布尼茨的微積分共同稱為17世紀的三大數(shù)學發(fā)明．法國著名的數(shù)學家、天文學家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾說：“對數(shù)，可以縮短計算時間，在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375