高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.2 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算學案 新人教A版選修12

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1、 3.2.2 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 學習目標:1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算.(重點、難點)2.理解復數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律.(易混點)3.了解共軛復數(shù)的概念.(難點) [自 主 預 習探 新 知] 1.復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則 (1)復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則 已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 思考1:復數(shù)的乘法與多項式的乘法有何不同? [提示]復數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的,有一點不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成-1,再把實部、虛部分別合并. (2)復數(shù)乘

2、法的運算律 對于任意z1,z2,z3∈C,有 交換律 z1z2=z2z1 結(jié)合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法對加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 思考2:|z|2=z2,正確嗎? [提示]不正確.例如,|i|2=1,而i2=-1. 2.共軛復數(shù) 如果兩個復數(shù)滿足實部相等,虛部互為相反數(shù)時,稱這兩個復數(shù)為共軛復數(shù),z的共軛復數(shù)用表示.即z=a+bi,則=a-bi. 3.復數(shù)代數(shù)形式的除法法則 (a+bi)(c+di)=+i(c+di≠0) [基礎(chǔ)自測] 1.思考辨析 (1)實數(shù)不存在共軛復數(shù). (  ) (2)兩個共軛復數(shù)的差為

3、純虛數(shù). (  ) (3)若z1,z2∈C,且z+z=0,則z1=z2=0. (  ) [答案] (1) (2)√ (3) 2.復數(shù)(3+2i)i等于(  ) 【導學號:48662149】 A.-2-3i       B.-2+3i C.2-3i D.2+3i B [(3+2i)i=3i+2ii=-2+3i,選B.] 3. 已知復數(shù)z=2-i,則z的值為(  ) A.5 B. C.3 D. A [z=(2-i)(2+i)=22-i2=4+1=5,故選A.] 4. (2-i)i=________. 【導學號:48662150】 -1-2i [(2-i)i=

4、==-1-2i.] [合 作 探 究攻 重 難] 復數(shù)乘法的運算  (1)若復數(shù)(1-i)(a+i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,1)    B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) (2)計算: ①(1-2i)(3+4i)(-2+i); ②(3+4i)(3-4i); ③(1+i)2. (1)[解析] z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因為對應的點在第二象限,所以,解得a<-1 ,故選B [答案] B (2)①(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i

5、; ②(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25; ③(1+i)2=1+2i+i2=2i. [規(guī)律方法]  1.兩個復數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法 復數(shù)的乘法可以按多項式的乘法法則進行,注意選用恰當?shù)某朔ü竭M行簡便運算,例如平方差公式、完全平方公式等 2.常用公式 (1)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R); (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); (3)(1i)2=2i. [跟蹤訓練] 1.(1)下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是(  ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)

6、 (2)復數(shù)z=(1+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位,則z的實部是________. 【導學號:48662151】 (1)C (2)5 [(1)A項,i(1+i)2=i(1+2i+i2)=i2i=-2,不是純虛數(shù). B項,i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是純虛數(shù). C項,(1+i)2=1+2i+i2=2i,是純虛數(shù). D項,i(1+i)=i+i2=-1+i,不是純虛數(shù). 故選C. (2)(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i2=5+5i, 所以z的實部是5.] 復數(shù)除法的運算  (1)如圖,在復平面內(nèi),復數(shù)z1,z2對應的向量分別是,,則復數(shù)對應的

7、點位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)計算:+-. (1)[解析] 由復數(shù)的幾何意義知,z1=-2-i,z2=i,所以==-1+2i,對應的點在第二象限. [答案] B (2)原式=[(1+i)2]3+[(1-i)2]3-=(2i)3i+(-2i)3(-i)-=8+8-16-16i=-16i. [規(guī)律方法]  1.兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法運算步驟 (1)首先將除式寫為分式; (2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù); (3)然后將分子、分母分別進行乘法運算,并將其化為復數(shù)的代數(shù)形式. 2.常用公式 (1)=-i;(2)=i;(

8、3)=-i. [跟蹤訓練] 2.(1)設(shè)復數(shù)z滿足=i,則|z|=(  ) A.1 B. C. D.2 (2)計算: ①;② (1)A [由=i得1+z=i(1-z), 即z=,z===i, |z|=1,選A.] (2)①===1-i. ②===-1-3i. 共軛復數(shù)及其應用 [探究問題] 1.若z=,則z是什么數(shù)?這個性質(zhì)有什么作用? 提示:z=?z∈R,利用這個性質(zhì)可證明一個復數(shù)為實數(shù). 2.若z≠0且z+=0,則z 是什么數(shù)?這個性質(zhì)有什么作用? 提示:z≠0且z+=0,則z為純虛數(shù),利用這個性質(zhì),可證明一個復數(shù)為純虛數(shù). 3.三個實數(shù)|z|,

9、||,z具有怎樣的關(guān)系? 提示:設(shè)z=a+bi,則=a-bi,所以|z|=,||==,z=(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2,所以|z|2=||2=z.  (1)已知復數(shù)z=,是z的共軛復數(shù),則z等于(  ) A.    B.    C.1    D.2 (2)已知復數(shù)z滿足|z|=,且(1-2i)z是實數(shù),求. 【導學號:48662152】 思路探究:可以先設(shè)復數(shù)的代數(shù)形式,再利用復數(shù)的運算性質(zhì)求解;也可以利用共軛復數(shù)的性質(zhì)求解. (1)[解析] 法一:∵z======-+, ∴=--,∴z=. 法二:∵z=, ∴|z|====, ∴z=. [答

10、案] A (2)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則(1-2i)z=(1-2i)(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i.又因為(1-2i)z是實數(shù),所以b-2a=0,即b=2a,又|z|=,所以a2+b2=5.解得a=1,b=2.所以z=1+2i或-1-2i,所以=1-2i或-1+2i,即=(1-2i). 母題探究:1.在題設(shè)(1)條件不變的情況下,求. [解] 由例題(1)的解析可知z=-+,=--,z=,∴===-i. 2.把題設(shè)(2)的條件“(1-2i)z是實數(shù)”換成“(1-2i)z是純虛數(shù)”,求. [解] 設(shè)z=a+bi,則=a-bi,由例題(2)的解可知a=-2b,由|z|

11、===,得b=1,a=-2;或b=-1,a=2.所以=-2-i,或=2+i. [規(guī)律方法]  1.由比較復雜的復數(shù)運算給出的復數(shù),求其共軛復數(shù),可先按復數(shù)的四則運算法則進行運算,將復數(shù)寫成代數(shù)形式,再寫出其共軛復數(shù). 2.注意共軛復數(shù)的簡單性質(zhì)的運用. [當 堂 達 標固 雙 基] 1.設(shè)復數(shù)z滿足iz=1,其中i為虛數(shù)單位,則z等于(  ) 【導學號:48662153】 A.-i       B.i C.-1 D.1 A [z==-i.] 2.若復數(shù)z=i(3-2i)(i是虛數(shù)單位),則=(  ) A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.3-2i

12、A [∵z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,∴=2-3i.] 3.復數(shù)(為虛數(shù)單位)的實部等于________. 【導學號:48662154】 -3 [由題可得=-3-i,-3-i的實部為-3.] 4.(1+i)2-=________. -+i [∵(1+i)2-=2i-=-+i.] 5.已知復數(shù)z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R.若z1與z2互為共軛復數(shù),求a,b的值. 【導學號:48662155】 [解] z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i, z2====+i. 由于z1和z2互為共軛復數(shù),所以有 解得 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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