《高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.2 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算學案 新人教A版選修22》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.2 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算學案 新人教A版選修22(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
3.2.2 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算
學習目標:1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算.(重點、難點)2.理解復數(shù)乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律.(易混點)3.了解共軛復數(shù)的概念.(難點)
[自 主 預 習探 新 知]
1.復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則
(1)復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則
已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
思考1:復數(shù)的乘法與多項式的乘法有何不同?
[提示]復數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的,有一點不同即必須在所得結果中把i2換成-1,再把實部、虛部分別合并.
(2)復數(shù)乘
2、法的運算律
對于任意z1,z2,z3∈C,有
交換律
z1z2=z2z1
結合律
(z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法對加法的分配律
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
思考2:|z|2=z2,正確嗎?
[提示]不正確.例如,|i|2=1,而i2=-1.
2.共軛復數(shù)
如果兩個復數(shù)滿足實部相等,虛部互為相反數(shù)時,稱這兩個復數(shù)為共軛復數(shù),z的共軛復數(shù)用表示.即z=a+bi,則=a-bi.
3.復數(shù)代數(shù)形式的除法法則
(a+bi)(c+di)=+i(c+di≠0).
[基礎自測]
1.思考辨析
(1)實數(shù)不存在共軛復數(shù).( )
(2) 兩個共軛復數(shù)的差為
3、純虛數(shù).( )
(3) 若z1,z2∈C,且z+z=0,則z1=z2=0.( )
[答案] (1) (2)√ (3)
2.復數(shù)(3+2i)i等于( )
A.-2-3i B.-2+3i
C.2-3i D.2+3i
B [(3+2i)i=3i+2ii=-2+3i,選B.]
3.已知復數(shù)z=2-i,則z的值為( )
【導學號:31062220】
A.5 B.
C.3 D.
A [z=(2-i)(2+i)=22-i2=4+1=5,故選A.]
4.(2-i)i=________.
[解析] (2-i)i===-1-2i.
[答案]?。?-2i
[合 作 探
4、 究攻 重 難]
復數(shù)乘法的運算
(1)若復數(shù)(1-i)(a+i)在復平面內對應的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
(2)計算:
①(1-2i)(3+4i)(-2+i);
②(3+4i)(3-4i);
③(1+i)2.
(1)B [z==+i,因為對應的點在第二象限,所以 ,解得a<-1,故選B.]
(2)①(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i;
②(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;
③(1+i)
5、2=1+2i+i2=2i.
[規(guī)律方法] 1.兩個復數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法
復數(shù)的乘法可以按多項式的乘法法則進行,注意選用恰當?shù)某朔ü竭M行簡便運算,例如平方差公式、完全平方公式等
2.常用公式
(1)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
(3)(1i)2=2i.
[跟蹤訓練]
1.(1)下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是( )
【導學號:31062221】
A.i(1+i)2 B.i2(1-i)
C.(1+i)2 D.i(1+i)
(2)復數(shù)z=(1+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)
6、單位,則z的實部是________.
[解析] (1)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i,故選C
(2)(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i2=5+5i,
所以z的實部是5.
[答案] (1)C (2)5
復數(shù)除法的運算
(1)如圖323,在復平面內,復數(shù)z1,z2對應的向量分別是,,則復數(shù)對應的點位于( )
圖323
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)計算:+-.
(1)B [由復數(shù)的幾何意義知,z1=-2-i,z2=i,
所以==-1+2i,
對應的點在第二象限.]
(2)原式=[(1+i)2]3
7、+[(1-i)2]3-=(2i)3i+(-2i)3(-i)-=8+8-16-16i=-16i.
[規(guī)律方法] 1.兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法運算步驟
(1)首先將除式寫為分式;
(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù);
(3)然后將分子、分母分別進行乘法運算,并將其化為復數(shù)的代數(shù)形式.
2.常用公式
(1)=-i;(2)=i;(3)=-i.
[跟蹤訓練]
2.(1)設復數(shù)z滿足=i,則|z|=( )
A.1 B.
C. D.2
(2)計算:①;②.
(1)A [由=i得1+z=i(1-z),即z=,z===i,|z|=1,選A.]
(2)①===1-i
8、.
②===-1-3i.
共軛復數(shù)及其應用
[探究問題]
1.若z=,則z是什么數(shù)?這個性質有什么作用?
提示:z=?z∈R,利用這個性質可證明一個復數(shù)為實數(shù).
2.若z≠0且z+=0,則z是什么數(shù)?這個性質有什么作用?
提示:z≠0且z+=0,則z為純虛數(shù),利用這個性質,可證明一個復數(shù)為純虛數(shù).
3.三個實數(shù)|z|,||,z具有怎樣的關系?
提示:設z=a+bi,則=a-bi,所以|z|=,||==,z=(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2,所以|z|2=||2=z.
(1)已知復數(shù)z=,是z的共軛復數(shù),則z等于( )
【導學號:310622
9、22】
A. B.
C.1 D.2
(2)已知復數(shù)z滿足|z|=,且(1-2i)z是實數(shù),求.
[思路探究] 可以先設復數(shù)的代數(shù)形式,再利用復數(shù)的運算性質求解;也可以利用共軛復數(shù)的性質求解.
(1)A [法一:∵z======-+,
∴=--,∴z=.
法二:∵z=,
∴|z|====,∴z=.]
(2)法一:設z=a+bi(a,b∈R),則(1-2i)z=(1-2i)(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i,又因為(1-2i)z是實數(shù),所以b-2a=0,即b=2a,又|z|=,所以a2+b2=5.解得a=1,b=2,所以z=1+2i或-1-2i,所以=1-
10、2i或-1+2i,即=(1-2i).
法二:因為(1-2i)z是實數(shù),故可設z=b(1+2i),b∈R,由|z|=可知|b|=,所以b=1,
即=(1-2i).
母題探究:1.(變結論)在題設(1)條件不變的情況下,把題設(1)的結論改為求.
[解] 由例題(1)的解析可知z=-+,=--,z=,∴===-i.
2.(變條件)把題設(2)的條件“(1-2i)z是實數(shù)”換成“(1-2i)z是純虛數(shù)”,求.
[解] 設z=a+bi,則=a-bi,由例題(2)的解可知a=-2b,由|z|== =,得b=1,a=-2;或 b=-1,a=2.所以=-2-i,或=2+i.
[規(guī)律方法] 1.
11、由比較復雜的復數(shù)運算給出的復數(shù),求其共軛復數(shù),可先按復數(shù)的四則運算法則進行運算,將復數(shù)寫成代數(shù)形式,再寫出其共軛復數(shù).
2.注意共軛復數(shù)的簡單性質的運用.
[當 堂 達 標固 雙 基]
1.設復數(shù)z滿足iz=1,其中i為虛數(shù)單位,則z等于( )
【導學號:31062223】
A.-i B.i
C.-1 D.1
A [z==-i.]
2.若復數(shù)z=i(3-2i)(i是虛數(shù)單位),則=( )
A.2-3i B.2+3i
C.3+2i D.3-2i
A [∵z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,∴=2-3i.]
3.復數(shù)(為虛數(shù)單位)的實部等于_______
12、_.
[解析] 由題可得=-3-i,-3-i的實部為-3.
[答案] -3
4.(1+i)2-=________.
[解析] ∵(1+i)2-=2i-
=-+i.
[答案]?。玦
5.已知復數(shù)z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R.若z1與z2互為共軛復數(shù),求a,b的值.
【導學號:31062224】
[解] z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i, z2====+i.由于z1和z2互為共軛復數(shù),所以有
解得
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375