高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意的三角函數(shù) 1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 1.2.2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用．(重點(diǎn))2.會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．平方關(guān)系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝1. (2)語言敘述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1. 2．商數(shù)關(guān)系 (1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)． (2)語言敘述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 思考：對(duì)任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？ [提示]　成立．平方關(guān)系中強(qiáng)調(diào)的同一個(gè)角且是任意的，與角的表達(dá)形式無關(guān)．

2、 [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)對(duì)任意角α，＝tan 都成立．(　　) (2)因?yàn)閟in2 π＋cos2 ＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β為任意角．(　　) (3)對(duì)任意角α，sin α＝cos αtan α都成立．(　　) [解析]　由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知(2)錯(cuò)，由正切函數(shù)的定義域知α不能取任意角，所以(1)錯(cuò)，(3)錯(cuò)． [答案]　(1)　(2)　(3) 2．化簡的結(jié)果是(　　) A．cos B．sin C．－cos D．－sin C　[因?yàn)槭堑诙笙藿牵? 所以cos＜0， 所以＝＝＝－cos.] 3．若cos α＝，且α為第四

3、象限角，則tan α＝________. －　[因?yàn)棣翞榈谒南笙藿?，且cos α＝， 所以sin α＝－＝－＝－， 所以tan α＝＝－.] [合 作 探 究攻 重 難] 直接應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值 　(1)已知α∈，tan α＝2，則cos α＝________. (2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352041】 [思路探究]　(1)根據(jù)tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程組求cos α. (2)先由已知條件判斷角α是第幾象限角，再分類討論求sin α，tan α. (1)－　[(1)由已知得 由①得sin α＝2

4、cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝，又α∈，所以cos α＜0， 所以cos α＝－.] (2)∵cos α＝－＜0， ∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝＝＝， tan α＝＝＝－. 如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－＝－，tan α＝. [規(guī)律方法]　利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決給值求值問題的方法： (1)已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值，要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系． (2)若角α所在的象限已經(jīng)確定，求另兩種三角函數(shù)值時(shí)，只有一組結(jié)果；若角α所在

5、的象限不確定，應(yīng)分類討論，一般有兩組結(jié)果． 提醒：應(yīng)用平方關(guān)系求三角函數(shù)值時(shí)，要注意有關(guān)角終邊位置的判斷，確定所求值的符號(hào)． [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． [解]　∵sin α＋3cos α＝0， ∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1， ∴(－3cos α)2＋cos2α＝1， 即10cos2α＝1， ∴cos α＝. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α與cos α異號(hào)， ∴角α的終邊在第二或第四象限． 當(dāng)角α的終邊在第二象限時(shí)，cos α＝－，sin α＝； 當(dāng)角α的終邊在第四

6、象限時(shí)，cos α＝，sin α＝－. 靈活應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值 　(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，則tan α＝________. (2)已知＝2，計(jì)算下列各式的值． ①； ②sin2α－2sin αcos α＋1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352042】 [思路探究]　(1)法一→→→ 法二→→ (2)→ (1)－　[法一：(構(gòu)建方程組) 因?yàn)閟in α＋cos α＝，① 所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝， 即2sin αcos α＝－. 因?yàn)棣痢?0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0. 所以sin α－c

7、os α＝＝＝.② 由①②解得sin α＝，cos α＝－， 所以tan α＝＝－. 法二：(弦化切) 同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－， 整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－. 由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－. (2)由＝2，化簡， 得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3. ①法一(換元)原式＝＝＝. 法二(弦化切)原式＝＝＝. ②原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝.] 母題探究：1.將本例(1)條件“α∈(0，π)”改為“α∈(－π，0)”其他條件不

8、變，結(jié)果又如何？ [解]　由例(1)求出2sin αcos α＝－， 因?yàn)棣痢?－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0， 所以sin α－cos α＝－ ＝－＝－. 與sin α＋cos α＝聯(lián)立解得sin α＝－，cos α＝， 所以tan α＝＝－. 2．將本例(1)的條件“sin α＋cos α＝”改為“sin αcos α＝－”其他條件不變，求cos α－sin α. [解]　因?yàn)閟in αcos α＝－＜0，所以α∈，所以cos α－sin α＜0， cos α－sin α＝－＝－＝－. [規(guī)律方法]　1.sin α＋cos α，sin α－cos α，s

9、in αcos α三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sin αcos α)2＝12sin αcos α. 2．已知tan α＝m，求關(guān)于sin α，cos α的齊次式的值 解決這類問題需注意以下兩點(diǎn)：(1)一定是關(guān)于sin α，cos α的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式；(2)因?yàn)閏os α≠0，所以可除以cos α，這樣可將被求式化為關(guān)于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，從而完成被求式的求值． 提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根據(jù)角的終邊位置，利用三角函數(shù)線判斷它們的符號(hào). 應(yīng)用同角

10、三角函數(shù)關(guān)系式化簡 　(1)化簡＝________. (2)化簡.(其中α是第三象限角) [思路探究]　(1)將cos2α＝1－sin2α代入即可化簡． (2)首先將tan α化為，然后化簡根式，最后約分． (1)1　[(1)原式＝＝＝1. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝. 又因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所以sin α＜0. 所以原式＝＝－1.] [規(guī)律方法]　三角函數(shù)式化簡的常用方法 (1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的. (2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡的目的. (3)對(duì)于化簡含高次的三角

11、函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的. 提醒：在應(yīng)用平方關(guān)系式求sin α或cos α?xí)r，其正負(fù)號(hào)是由角α所在的象限決定，不可憑空想象. [跟蹤訓(xùn)練] 2．化簡tan α，其中α是第二象限角． [解]　因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α＝tan α＝tan α＝＝＝－1. 應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明 [探究問題] 1．證明三角恒等式常用哪些方法？ 提示：(1)從右證到左． (2)從左證到右． (3)證明左右歸一． (4)變更命題法．如：欲證明＝，則可證MQ＝NP，或證＝等．

12、 2．在證明＝sin α＋cos α?xí)r如何巧用“1”的代換． 提示：在求證＝sin α＋cos α?xí)r，觀察等式左邊有2sin αcos α，它和1相加應(yīng)該想到“1”的代換，即1＝sin2α＋cos2α， 所以等式左邊＝ ＝ ＝ ＝sin α＋cos α＝右邊． 　求證：＝. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352043】 [思路探究]　解答本題可由關(guān)系式tan α＝將兩邊“切”化“弦”來證明，也可由右至左或由左至右直接證明． [證明]　法一：(切化弦) 左邊＝＝， 右邊＝＝. 因?yàn)閟in2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)， 所以＝，所以左邊＝

13、右邊． 所以原等式成立． 法二：(由右至左) 因?yàn)橛疫叄? ＝ ＝ ＝＝ ＝左邊， 所以原等式成立． [規(guī)律方法]　1.證明恒等式常用的思路是：(1)從一邊證到另一邊，一般由繁到簡；(2)左右開弓，即證左邊、右邊都等于第三者；(3)比較法(作差，作比法)． 2．技巧感悟：朝目標(biāo)奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代換；(2)化切為弦；(3)多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(分解因式)． 提醒：解決此類問題要有整體代換思想． [跟蹤訓(xùn)練] 3．求證：(1)＝； (2)2(sin6 θ＋cos6 θ)－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1＝0. [證明]　(1)左邊 ＝

14、 ＝ ＝ ＝ ＝＝＝右邊， ∴原等式成立． (2)左邊＝2[(sin2 θ)3＋(cos2 θ)3]－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1 ＝2(sin2 θ＋cos2 θ)(sin4 θ－sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)－3(sin4 θ ＋cos4 θ)＋1 ＝(2sin4 θ－2sin2 θcos2 θ＋2cos4 θ)－(3sin4 θ＋3cos4 θ)＋1 ＝－(sin4 θ＋2sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)＋1 ＝－(sin2 θ＋cos2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右邊， ∴原等式成立． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．如果α是第二象

15、限的角，下列各式中成立的是(　　) A．tan α＝－ B．cos α＝－ C．sin α＝－ D．tan α＝ B　[由商數(shù)關(guān)系可知A，D均不正確．當(dāng)α為第二象限角時(shí)，cos α＜0，sin α＞0，故B正確．] 2．sin α＝，則sin2α－2cos2α的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352044】 A．－　　 B．－ C． D． B　[因?yàn)閟in α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝， 所以sin2α－2cos2α＝－2＝－.] 3．已知tan α＝－，則的值是(　　) A．　　　　 B．3 C．－　　　　 D．－3 A　[因?yàn)閠an α＝－，

16、 所以＝＝＝.] 4．已知α是第二象限角，tan α＝－，則cos α＝________. －　[因?yàn)椋剑?，且sin2α＋cos2α＝1，又因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以cos α＜0，所以cos α＝－.] 5．(1)化簡，其中α是第二象限角． (2)求證：1＋tan2α＝. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352045】 [解]　(1)因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以sin α＞0，cos α＜0， 所以sin αcos α＜0， 所以＝ ＝＝－sin αcos α. (2)證明：1＋tan2α＝1＋＝＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375