《【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機變量及其分布 方法技巧5 離散型隨機變量的應(yīng)用教案 理 新人教版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機變量及其分布 方法技巧5 離散型隨機變量的應(yīng)用教案 理 新人教版(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
方法技巧5 離散型隨機變量的應(yīng)用
【考情快遞】 主要考查離散型隨機變量的分布列、期望與方差的應(yīng)用,常以解答題形式出現(xiàn).
方法1:公式法
解題步驟
直接用公式計算離散型隨機變量的分布列、期望與方差.
適用情況
適用于可直接用公式求解的問題.
【例1】?(2012黃岡中學(xué)月考)某社區(qū)舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動,并進(jìn)行現(xiàn)場抽獎,抽獎規(guī)則是:盒中裝有10張大小相同的精美卡片,卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”(世博會吉祥物)圖案,參加者每次從盒中抽取兩張卡片,若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎.
(1)活動開始后,一位參加者問:盒中有幾張“海寶”卡?主持人笑說:我只
2、知道若從盒中抽兩張都不是“海寶”卡的概率是.求抽獎?wù)攉@獎的概率;
(2)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個人依次抽獎,抽后放回,另一個人再抽,用ξ表示獲獎的人數(shù),求ξ的分布列及E(ξ),D(ξ).
解 (1)設(shè)“世博會會徽”卡有n張,
由=,得n=6,故“海寶”卡有4張,
抽獎?wù)攉@獎的概率為=.
(2)由題意知,符合二項分布,且ξ~B,故ξ的分布列為P(ξ=k)=Ck4-k(k=0,1,2,3,4)或
ξ
0
1
2
3
4
P
4
C3
C22
C3
4
由ξ的分布列知,E(ξ)=4=,
D(ξ)=4=.
方法2:方程法
解題步驟
① 利用題干條件列方程;
3、②利用方程計算概率問題.
適用情況
適用于基本事件的個數(shù)可以用集合理論來說明的問題.
【例2】?某工廠在試驗階段生產(chǎn)出了一種零件,該零件有A、B兩項技術(shù)指標(biāo)需要檢測,設(shè)各項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響.若有且僅有一項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為,至少一項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為.按質(zhì)量檢驗規(guī)定:兩項技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品.
(1)求一個零件經(jīng)過檢測,為合格品的概率是多少?
(2)依次任意抽出5個零件進(jìn)行檢測,求其中至多3個零件是合格品的概率是多少?
(3)依次任意抽取該零件4個,設(shè)ξ表示其中合格品的個數(shù),求Eξ與Dξ.
解 (1)設(shè)A、B兩項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為P1、P2,由題意得
4、:
解得或所以P=P1P2=,
即一個零件經(jīng)過檢測,為合格品的概率為.
(2)任意抽出5個零件進(jìn)行檢測,其中至多3個零件是合格品的概率為1-C5-C5=.
(3)依題意知ξ~B,
故E(ξ)=4=2,D(ξ)=4=1.
方法運用訓(xùn)練5
1.(2011雅禮中學(xué)英特班質(zhì)檢)A、B兩位同學(xué)各有五張卡片,現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲,當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片,否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達(dá)9次時,或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設(shè)X表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù).
(1)求X的取值范圍;
(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).
解 (1)設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m,反面出現(xiàn)
5、的次數(shù)為n,
則可得:
當(dāng)m=5,n=0或m=0,n=5時,x=5.
當(dāng)m=6,n=1或m=1,n=6時,X=7.
當(dāng)m=7,n=2或m=2,n=7時,X=9.
所以X的所有可能取值為:5,7,9.
(2)P(X=5)=25==;
P(X=7)=2C7=;
P(X=9)=1--=;
E(X)=5+7+9=.
2.甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽:第一局由甲、乙參加而丙輪空,以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽,而前一局的失敗者輪空,比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止,設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為,且各局勝負(fù)相互獨立,求:
(1)打滿3
6、局比賽還未停止的概率;
(2)比賽停止時已打局?jǐn)?shù)ξ的分布列與期望E(ξ).
解 令A(yù)k,Bk,Ck分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.
(1)由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知,打滿3局比賽還未停止的概率為
P(A1C2B3)+P(B1C2A3)=+=.
(2)ξ的所有可能值為2,3,4,5,6,且
P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=+=,
P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=+=,
P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)
=+=,
P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)
7、=+=,
P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)
=+=,
故有分布列
ξ
2
3
4
5
6
P
從而E(ξ)=2+3+4+5+6=(局).
3.在某校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中,規(guī)定每人最多投3次;在A處每投進(jìn)一球得3分,在B處每投進(jìn)一球得2分;如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃,否則投第三次,某同學(xué)在A處的命中率q1為0.25,在B處的命中率為q2,該同學(xué)選擇先在A處投一球,以后都在B處投,用ξ表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分,其分布列為
ξ
0
2
3
4
5
P
0.03
P
8、1
P2
P3
P4
(1)求q2的值;
(2)求隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ);
(3)試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大?。?
解 (1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,
在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨立,
且P(A)=0.25,P()=0.75,P(B)=q2,P()=1-q2.
根據(jù)分布列知ξ=0時,P( )=P()P()P()
=0.75(1-q2)2=0.03,所以1-q2=0.2,q2=0.8.
(2)當(dāng)ξ=2時,P1=P(B+ B)=P(B)+P( B)
=P()P(B)P()+P()P()P(B)
=
9、0.75q2(1-q2)2=1.5q2(1-q2)=0.24.
當(dāng)ξ=3時,P2=P(A )=P(A)P()P()=0.25(1-q2)2=0.01,
當(dāng)ξ=4時,P3=P(BB)=P()P(B)P(B)=0.75q=0.48,
當(dāng)ξ=5時,P4=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)
=P(A)P()P(B)+P(A)P(B)=0.25q2(1-q2)+0.25q2=0.24,
所以隨機變量ξ的分布列為
ξ
0
2
3
4
5
P
0.03
0.24
0.01
0.48
0.24
隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望
E(ξ)=00.03+20.24+30.01+40
10、.48+50.24=3.63.
(3)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為
P(BB+BB+BB)=P(BB)+P(BB)+P(BB)
=2(1-q2)q+q=0.896;
該同學(xué)選擇(1)中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.
由此看來該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.
4.(2011效實中學(xué)1次月考)一個袋中裝有若干個大小相同的黑球,白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個球,得到黑球的概率是;從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球的概率是.
(1)若袋中共有10個球,①求白球的個數(shù);②從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的
11、數(shù)學(xué)期望E(ξ).
(2)求證:從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于.并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少.
(1)解?、儆洝皬拇腥我饷鰞蓚€球,至少得到一個白球”為事件A,設(shè)袋中白球的個數(shù)為x,
則P(A)=1-=,得到x=5.故白球有5個.
②隨機變量ξ的取值為0,1,2,3,
由于P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)=,
ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0+1+2+3=.
(2)證明 設(shè)袋中有n個球,其中y個黑球,
由題意得y=n,由2y<n,2y≤n-1,所以≤.
記“從袋中任意摸出兩個球,至少有1個黑球”為事件B,則P(B)==+=+≤+=.
所以白球的個數(shù)比黑球多,白球個數(shù)多于n,紅球的個數(shù)少于.故袋中紅球個數(shù)最少.
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