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1、
正弦、余弦例題分析
例1.△ABC中已知a = 6，，A=30，求c．
我們熟知用正弦定理可得兩解．其實用余弦定理也可：
由得c的二次方程c2－18c＋72 = 0
解得c1=12或c2=6．
例2. 如圖5—43四邊形ABCD中,AB = 3，AD = 2內(nèi)角A = 60、B = D = 90．求對角線AC．
由于含AC的兩三角形都只有2個條件，不能直接求解，容易想到以下解法：
(1) 設(shè)多個未知數(shù)，建立方程組求解．如設(shè)BC = x，CD = y，則有
AC2 = 9＋x2 = 4＋y2，… ①
即有 9＋4－6 = x2＋y2＋xy … ②
聯(lián)立①、②解
2、出，．
∴
(2) 引入角未知數(shù)∠BAC = θ．則∠DAC = 60－θ．
即有關(guān)于θ的方程
即 3cos (60－θ) = 2 cos θ
求出 ,
∴
但若洞察圖形的幾何特征，則有巧法．
1 / 2
(3) A、B、C、D四點共圓：且AC為該圓直徑．
則由余弦定理求出
，再由正弦定理，．
(4) 延長AB、DC交于E如圖5—44．則易知，AE = 4，BE = 1，
立即可得．
本例凸顯幾何直覺的價值．
例3.若一扇形半徑為R，中心角為2α，這里，求此扇形圖示這種內(nèi)接矩形ABCD的最大面積．
依題意OB = OE = R ，∠AOE =∠DOE = α，要求其最大值的矩形面積S = ABBC，關(guān)鍵在選擇適當(dāng)變元來表示ABBC，由BC = 2BF．我們選x =∠BOE為變元，
立即有BC = 2R sin x，∠AOB = α－x，∠OAB = π－α，在△OAB內(nèi)由正弦定理得
于是
積化和差得
∴ 當(dāng)時,S有最大值：．
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