專題09如何求空間坐標系中非特殊點的坐標高人一籌之高三數(shù)學理二輪復習特色專題訓練Word版含解析

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1、 一、解答題 1．長方形中， ， 是中點（圖1）．將△沿折起，使得（圖2）在圖2中： （1）求證：平面 平面； （2）在線段上是否存點，使得二面角為大小為，說明理由． 【答案】（1）見解析（2）見解析． 【解析】試題分析：（1）長方形中，連結，因為， 是中點，所以，從而，所以,再根據(jù)，可得線面垂直，從而證明平面 平面（2）建立空間直角坐標系，計算平面的法向量，取面的一個法向量是，利用其夾角為，即可得出. （2）因為平面 平面，交線是，所以在面過垂直于的直線必然垂直平面．以為坐標原點， 為軸， 為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系．

2、 依題意，即，解方程得，或，取，因此在線段上存點，使得二面角為大小為． 點睛：立體幾何問題對于第一問，要注意結合圖形，特別是中點，尋求垂直或平行關系，對于第二問關鍵是建系寫點的坐標，利用求得的法向量來求二面角的余弦，注意對角是銳角鈍角的分析. 2．如圖所示，在底面為正方形的四棱柱中， . （1）證明：平面平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（1）見解析（2） 【解析】試題分析： （1）連交于,由條件可得，又由得到 ，從而可得平面．由四邊形為平行四邊形可得，所以平面，因此平面平面．（2）由條件可得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面

3、的法向量和直線的法向量，根據(jù)兩向量的夾角的余弦值可求得線面角的正弦值． 由題意得，故四邊形為平行四邊形． ∴， ∴平面， 又平面內， ∴ 平面平面． （2）由題意得兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系， ∵， ∴為等邊三角形， ∴． 又， ∴． 則． ∴， ， ． 3．如圖，在直三棱柱中， 、分別為、的中點， ， . （1）求證：平面平面； （2）若直線和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】試題分析：（1）要證面面垂直，先證線面垂直， 平面，再由面面垂直的判定得到面面垂

4、直；（2）建系得到面的法向量和直線的方向向量，根據(jù)公式得到線面角的正弦值。. （2）由（1）可知 以點為坐標原點， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向，建立坐標系.設 ， ， ， ， ， ， ， 直線的方向向量，平面的法向量 可知∴ ， ， 設平面的法向量 ∴∴ 設平面的法向量 ∴∴ 記二面角的平面角為 ∴ 二面角的平面角的正弦值為. 4．如圖,在幾何體中，四邊形為矩形，四邊形為梯形, ,平面與平面垂直，且. （1）求證： 平面； （2）若,且平面與平面所成銳二面角的余弦值為,求的長. 【答案】(1)證明見解析；(2)1. 試題解析： （1

5、)證明：因為平面與平面垂直 且，平面與平面的交線為 所以面， 又面 所以， 在矩形中， 又四邊形為梯形， 所以與相交， 故平面 （2）由（1）知， 垂直， 垂直，又垂直， 平行，所以垂直，如圖，以為坐標原點， 分別為軸建立空間坐標系 所以平面的法向量為 易知，平面的法向量為， 因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則， 即，解得，即 5．如圖，四棱錐，側面是邊長為2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形， 為棱上的動點，且. （Ⅰ）求證： ； （Ⅱ）試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為. 【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) . 試

6、題解析： （Ⅰ）取的中點，連結，由題意可得， 均為正三角形， 所以， ， 又， 所以平面， 又平面， 所以. 因為， 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知. 又平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 故可得兩兩垂直，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則， ， ， ， 所以 ， 由，可得點的坐標為， 所以， ， 所以當時，二面角的余弦值為. 點睛：解決立體幾何中探索性問題的基本策略 通常假定題中的數(shù)學對象存在（或結論成立），然后在這個前提下進行邏輯推理，若能導出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，說明假設成立，即存在，并可進一步證明；若導出與條件或實際情況相矛

7、盾的結果，則說明假設不成立，即不存在． 6．如下圖，在空間直角坐標系中，正四面體（各條棱均相等的三棱錐）的頂點分別在軸， 軸， 軸上. （Ⅰ）求證： 平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）. 試題解析： （Ⅰ）由，易知. 設，則， ， ， , 設點的坐標為，則由， 可得 ， 解得， 所以. 又平面的一個法向量為， 所以，所以平面. 點睛：立體幾何中求直線與平面成的角和二面角，有兩種方法：第一種是根據(jù)“空間角”的定義作出反應這個“空間角”的“平面角”，然后在三角形中求解，這種方法有三個步驟：一作二證三計算；第二種是根據(jù)圖形建立適

8、當?shù)目臻g直角坐標系（充分利用圖形中的垂直關系），寫出各點坐標，求出平面的法向量，直線的方程向量，利用向量的夾角來求“空間角”，這種方法重在計算，解題步驟固定． 7．如圖，三棱柱中， 平面， ， .過的平面交于點，交于點. (l)求證： 平面； (Ⅱ)求證：四邊形為平行四邊形； (Ⅲ)若是，求二面角的大?。? 【答案】(1)見解析(2) 見解析(3) 【解析】試題分析：（Ⅰ）由線面垂直的性質 可得，由菱形的性質可得．從而由線面垂直的判定定理可得平面；（Ⅱ）先證明平面，再根據(jù)線面平行的性質可得，根據(jù)面面平行的性質可得，從而得四邊形為平行四邊形；（Ⅲ）在平面內，過作．因為 平面，所以

9、，以 為軸建立空間直角坐標系，可知平面的法向量為，根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果. （Ⅱ）因為 ， 平面，所以 平面． 因為 平面平面，所以． 因為 平面平面， 平面平面，平面平面， 所以 ． 所以 四邊形為平行四邊形． 由（Ⅰ）得平面的法向量為． 設平面的法向量為， 則 即 令，則， ，所以 ． 所以 ． 由圖知 二面角的平面角是銳角， 所以 二面角的大小為． 【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理、線面平行的性質、面面平行的直線以

10、及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離. 8．在等腰梯形中， ，將梯形沿著翻折至（如圖），使得平面與平面垂直． （Ⅰ）求證： ； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）. 試題解析： （Ⅰ）證明，不妨設，過作垂線交于， 則， ， 所以，所以，又因為平面與平面垂直， 所以平面,所

11、以 （Ⅱ）建立如圖坐標系， 9．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，∠DAB=60． （1）求證：直線AM∥平面PNC； （2）求二面角D﹣PC﹣N的余弦值． 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】試題分析：（1）在上取一點，使，連接， ，可得， ， 為平行四邊形，即，即可得直線平面． （2）取中點，可得， ， 相互垂直，以為原點，如圖建立空間直角坐標系，易知平面的法向量，求出面的法向量，計算出兩向量夾角即可. 試題解析：（1）在上取一點，使，連接， ， （2）取中點，

12、底面是菱形， ，∴，∵，∴，即，又平面，∴，又，∴直線平面，故， ， 相互垂直，以為原點，如圖建立空間直角坐標系． 10．如圖，在四棱錐中， 為等邊三角形，平面平面， ， ， 為的中點. （1）求二面角的正弦值； （2）若平面，求的值. 【答案】（1）（2）. 【解析】試題分析： (1)由題意可知， ， ，據(jù)此建立空間直角坐標系，計算可得平面的法向量為，且平面的一個法向量為，據(jù)此計算可得二面角的正弦值為. (2)結合(1)中的空間直角坐標系有，據(jù)此得到關于實數(shù)a的方程： ，解方程有： . 則， ， 設平面的法向量為， 則 ,即 令，則，于

13、是， 又平面的一個法向量為，設二面角為， 所以， ， 所以二面角的正弦值為. 11．已知正四棱錐的各條棱長都相等，且點分別是的中點. （1）求證: ； （2）若平面，且，求的值. 【答案】（1）見解析（2） 【解析】試題分析：(1)由題意易證： . , 所以平面 ，從而證得結果； (2)建立空間直角坐標系，平面的法向量為，因為平面，所以，從而得到的值. 試題解析： （1）設,則為底面正方形中心，連接, 因為為正四梭錐.所以平面,所以. 又,且,所以平面; 因為平面,故. 因為平面，所以， 即.解得,所以. 12．如圖1 ,在△ABC中，A

14、B=BC=2, ∠B=90,D為BC邊上一點，以邊AC為對角線做平行四邊形ADCE，沿AC將△ACE折起，使得平面ACE ⊥平面ABC,如圖2. (1)在圖 2中，設M為AC的中點，求證:BM丄AE； (2)在圖2中，當DE最小時，求二面角A -DE-C的平面角. 【答案】（1）證明見解析；（2） 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設條件推出，再由平面平面推出平面，即可得證；（2）分別以射線， 的方向為， 軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出當最小時，點和的坐標，分別求出平面和平面的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的平面角. （2）如圖，分別以射線， 的方向為， 軸的正方向

15、，建立空間直角坐標系 設，則， ， ， ∵， ，平面平面 ∴ ∴ 當且僅當時， 最小，此時， 設， 平面，則，即 ∴ 令，可得， ，則有 ∴ ∴觀察可得二面角的平面角 13．（本題分） 如圖， 和所在的平面互相垂直，且， ． （Ⅰ）求證： ． （Ⅱ）求直線與面所成角的大小的正弦值． （Ⅲ）求二面角的大小的余弦值． 【答案】(1)詳見解析(2) （3） 【解析】試題分析：（1）建立空間直角坐標系，即證；（2）求出平面的一個法向量，利用公式即可得到直線與面所成角的大小的正弦值，（3）求出平面的法向量，結合（2），利用公式求出二面角的大小的余弦值． 試

16、題解析： （Ⅰ）設，作于，連結，以點為原點， ， ， 的方向分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則， ， ， ， ，所以， ， ∴． ∴． （Ⅲ）解：設平面的法向量， 則，即， 令，則， ， ∴． ． 又二面角為鈍角， ∴二面角的余弦值為． 點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”. 14．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60，為正三角形，且側面P

17、AB⊥底面ABCD， 為線段的中點， 在線段上. （I）當是線段的中點時，求證：PB // 平面ACM； （II）求證： ； （III）是否存在點，使二面角的大小為60，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；(Ⅲ)當時，二面角的大小為60. 試題解析：（I）證明：連接BD交AC于H點，連接MH， 因為四邊形ABCD是菱形， 所以點H為BD的中點. 又因為M為PD的中點， 所以MH // BP. 又因為 BP 平面ACM, 平面ACM. 所以 PB // 平面ACM. 則， ，

18、 ， ， ． 假設棱上存在點，設點坐標為， ， 則， 所以， 所以， ， 設平面的法向量為，則 ，解得． 點睛：(1)探索性問題通常用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法. 15．如圖，四棱柱的底面是菱形， ， ， ． （Ⅰ）證明：平面平面； （Ⅱ）若，直線上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為.若存在，求的值；若不存在

19、，請說明理由． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 或. 【解析】試題分析：（Ⅰ）用幾何法證明，先證得平面，再證平面平面. （Ⅱ）由條件可得兩兩相互垂直，故可建立坐標系，轉化為代數(shù)運算求解。 （Ⅱ）在菱形中，由，可得， 由，可得. 在三角形中，由，可得. 故得兩兩相互垂直. 以為原點， 方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系. 則， ， ， ， 由，可得， ， 設， ， 所以. 設平面的法向量為， 點睛：（1）用向量法解立體幾何問題時，在建立坐標系的基礎上，關鍵是如何確定點的坐標，對于不容易確定坐標的點，可通過向量的運算、相等向量等方法去確定點的坐標。

20、 （2）由于本題（Ⅱ）中，要求是“直線上是否存在點”，故求出的點應有兩個，解題時要注意對題意的理解。 16．如圖所示，三棱柱中，已知側面. （1）求證： 平面； （2）是棱長上的一點，若二面角的正弦值為，求的長. 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】試題分析：（Ⅰ）證明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后證明BC⊥BC1，利用直線與平面垂直的判定定理證明C1B⊥平面ABC． （Ⅱ）通過AB，BC，BC1兩兩垂直．以B為原點，BC，BA，BC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．求出相關點的坐標，求出平面AB1E的一個法向量，平面的一個法向量通過向

21、量的數(shù)量積，推出λ的方程，求解即可． 由可以知道， ， ，兩兩垂直，以為原點， ， ，所在直線為， ， 軸建立空間直角坐標系. 則， ， ， ， ， ， . 令，∴， . 設平面的一個法向量為， ， 令，則， ， ∴， 平面，∴是平面的一個法向量， ，兩邊平方并化簡得，所以或. ∴或. 點睛：本題考查面面垂直，線面垂直，線線垂直的判定及性質以及二面角的余弦，屬于中檔題。對于第一問，要注意結合圖形，特別是中點，尋求垂直或平行關系，本題利用了余弦定理，求邊長，再利用勾股定理得到線線垂直，對于第二問關鍵是建系寫點的坐標，利用求得的法向量來求二面角的余弦，注意對角是銳角鈍角的分析.