有限元分析中的材料性能單位1

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1、有限元分析中的材料性能單位 鄒正剛 (上海航天局第八設計部) 摘要： 本文對使用有限元軟件分析工程問題時的材料性能單位問題作了一些探討，通過實例說明了如何統(tǒng)一各物理量的單位，以保證分析結果的正確。 關鍵詞：有限元、材料性能、單位 大多數有限元計算程序都不規(guī)定所使用的物理量的單位，不同問題可以使用不同的單位，只要在一個問題中各物理量的單位統(tǒng)一就可以。但是，由于在實際工程問題中可能用到多種不同單位的物理量，如果只是按照習慣采用常用的單位，表面上看單位是統(tǒng)一的，實際上單位卻不統(tǒng)一，從而導致錯誤的計算結果。 比如，在結構分析中分別用如下單位：長度 – m；時間 – s；質量

2、– kg；力 - N；壓力、應力、彈性模量等 – Pa，此時單位是統(tǒng)一的。但是如果將壓力單位改為 MPa，保持其余單位不變，單位就是不統(tǒng)一的；或者同時將長度單位改為 mm，壓力單位改為 MPa，保持其余單位不變，單位也是不統(tǒng)一的。由此可見，對于實際工程問題，我們不能按照手工計算時的習慣來選擇各物理量的單位，而是必須遵循一定的原則。 物理量的單位與所采用的單位制有關。所有物理量可分為基本物理量和導出物理量，在結構和熱計算中的基本物理量有：質量、長度、時間和溫度。導出物理量的種類很多，如面積、體積、速度、加速度、彈性模量、壓力、應力、導熱率、比熱、熱交換系數、能量、熱量、功等等，都與基本物理量之

3、間有確定的關系?；疚锢砹康膯挝淮_定了所用的單位制，然后可根據相應的公式得到各導出物理量的單位。具體做法是：首先確定各物理量的量綱，再根據基本物理量單位制的不同得到各物理量的具體單位。 基本物理量及其量綱： n 質量 m; n 長度 L; n 時間 t; n 溫度 T。 導出物理量及其量綱： u 速度：v = L / t; u 加速度： a = L / t 2; u 面積： A = L 2; u 體積： V = L 3; u 密度：ρ= m / L 3; u 力： f = m a

4、 = m L / t 2; u 力矩、能量、熱量、焓等： e = f L = m L 2 / t 2; u 壓力、應力、彈性模量等： p = f / A = m / (t 2 L) ; u 熱流量、功率：ψ= e / t = m L 2 / t 3; u 導熱率： k =ψ/ (L T) = m L / (t 3 T); u 比熱： c = e / (m T) = L 2 / (t 2 T); u 熱交換系數： Cv = e / (L 2 T t) = m / (t 3 T) u 粘性系數： Kv = p t = m / (t L) ; u 熵：

5、S = e / T = m l 2 / (t 2 T); u 質量熵、比熵： s = S / m = l 2 / (t 2 T); 在選定基本物理量的單位后，可導出其余物理量的單位，可以選用的單位制很多，下面舉兩個常用的例子。 1 基本物理量采用如下單位制： n 質量 m – kg； n 長度 L – mm； n 時間 – S； n 溫度 – K (溫度 K與 C 等價)。 各導出物理量的單位可推導如下，同時還列出了與 kg-m-S 單位制或一些常用單位的關系： u 速度： v = L / t = mm / S = 10-3 m / S;

6、 u 加速度： a = L / t 2 = mm / S 2 = 10-3 m / S 2; u 面積：A = L 2 = mm 2 = 10-6 m 2; u 體積：V = L 3 = mm 3 = 10-9 m 3; u 密度：ρ= m / L 3 = kg / mm 3 = 10-9 kg / m 3 = 10-6 g / cm 3; u 力： f = m L / t 2 = kg mm / S 2 = 10 –3 kg m / S 2 = mN (牛); u 力矩、能量、熱量、焓等：e = m L 2 / t 2

7、 = kg mm 2 / S 2 = 10 –6 kg m 2 / S 2 = J (焦耳); u 壓力、應力、彈性模量等：p = m / (t 2 L) = kg / (S 2 mm) = 10 3 kg / (S 2 m) = kPa (帕); u 熱流量、功率：ψ= m L 2 / t 3 = kg mm 2 / S 3 = 10 –6 kg m 2 / S 3 = w (瓦); u 導熱率：k = m L / (t 3 T) = kg mm / (S 3 K) = 10 –3 kg m / (S 3 K); u 比熱：c = L 2

8、/ (t 2 T) = mm 2 / (S 2 K) = 10 –6 m 2 / (S 2 K); u 熱交換系數：Cv = m / (t 3 T) = kg / (S 3 K); u 粘性系數：Kv = m / (t L) = kg / (S mm) = 10 3 kg / (S mm); u 熵：S = m L 2 / (t 2 T) = kg mm 2 / (S 2 K ) = 10 -6 kg m 2 / (S 2 K ); u 質量熵、比熵：s= L2 / (t 2 T) = mm 2 / (S 2 K ) = 10 -6 m 2 /

9、 (S 2 K ); 2 基本物理量采用如下單位制： n 質量 m – g； n 長度 L – m (10 6 m)； n 時間 – mS (10 –3 S)； n 溫度 – K (K與 C 等價)。 各導出物理量的單位可推導如下，同時還列出了與 kg-m-S 單位制或一些常用單位的關系： u 速度：v = L / t = m / mS = 10-3 m / S; u 加速度：a = L / t 2 = m / mS 2 = m / S 2; u 面積：A = L 2 = m 2 = 10-12 m 2;

10、 u 體積：V = L 3 = m 3 = 10-18 m 3; u 密度：ρ= m / L 3 = g / m 3 = 10-21 kg / m 3 = 10-12 g / cm 3; u 力： f = m L / t 2 = g m / mS 2 = 10 –3 kg m / S 2 = mN (牛); u 力矩、能量、熱量、焓等：e = m L 2 / t 2 = g m 2 / mS 2 = 10 –9 kg m 2 / S 2 = 10 –9 J (焦耳); u 壓力、應力、彈性模量等： p = m / (t 2 L) = g / (mS 2 m

11、) = 10 9 kg / (S 2 m) = 10 9 Pa (帕) = GPa; u 熱流量、功率：ψ= m L 2 / t 3 = g m 2 / mS 3 = 10 –6 kg m 2 / S 3 = 10 –6 w (瓦); u 導熱率：k = m L / (t 3 T) = g m / (mS 3 K) = kg m / (S 3 K); u 比熱：c = L 2 / (t 2 T) = m 2 / (mS 2 K) = 10 –6 m 2 / (S 2 K); u 熱交換系數： Cv = m / (t 3 T) = g / (mS 3

12、 K) = 10 3 kg / (S 3 K); u 粘性系數： Kv = m / (t L) = g / (mS m) = 10 6 kg / (S mm); u 熵： S = m L 2 / (t 2 T) = g m 2 / (mS 2 K ) = 10 -9 kg m 2 / (S 2 K ); u 質量熵、比熵： s = L2 / (t 2 T) = m 2 / (mS 2 K ) = 10 -6 m 2 / (S 2 K ); 由此可見，掌握了單位之間變換的方法，就可以根據自己的需要來選擇合適的單位制。更多的例子見表1。表2給出了幾種單

13、位制與 kg-m-S 單位制之間的換算因子 1 不同單位制的物理量單位 序號 參數名 單位量綱 Kg-m-s 單 位 制 Kg-mm-s 單 位 制 T-mm-s 單 位 制 g-mm-s 單 位 制 1 長度L L m Mm (10 -3 m) Mm (10 -3 m) Mm (10 -3 m) 2 質量M M Kg Kg T (10 3 Kg) g (10 -3 Kg) 3 時間t t s s s s 4 溫度T T K K K K 5 面積A

14、 L 2 m 2 mm 2 (10 -6 m 2) mm 2 (10 -6 m 2) mm 2 (10 -6 m 2) 6 體積V L 3 m 3 mm 3 (10 -9 m 3) mm 3 (10 -9 m 3) mm 3 (10 -9 m 3) 7 力F M L / t 2 N (牛) =Kg m / s 2 Kg mm / s 2 (10 -3 N) T mm / s 2 (N) g mm / s 2 (10 -6 N) 8 密度r M / L 3 Kg / m 3 (10 -3 g / cm 3) Kg /

15、mm 3 (10 6 g / cm 3) T / mm 3 (10 9 g / cm 3) g / mm 3 (10 3 g / cm 3) 9 能量、焓、 熱量 M L 2 / t 2 J (焦耳) = N m = Kg m 2 / S 2 Kg mm 2 / S 2 (10 -6 J) T mm 2 / S 2 (10 -3 J) g mm 2 / S 2 (10 -9 J) 10 功率、熱流量 m L 2 / t 3 w (瓦) = J / S = kg m 2 / S 3 kg mm 2 / S 3 (10 –6 w)

16、 T mm 2 / S 3 (10 –3 w) g mm 2 / S 3 (10 –9 w) 11 壓力、應力、模量 M / (t 2 L) Pa = N / m 2 = Kg / (s 2 m) Kg / (s 2 mm) (kPa) T / (s 2 mm) (MPa) g / (s 2 mm) (Pa) 12 導熱率k M L / (t 3 K) J / (m s K) = (Kg m / (s 3 K)) Kg mm / (s 3 K) (10 -3 Kg m / (s 3 K)) T mm /

17、 (s 3 K) (Kg m / (s 3 K)) g mm / (s 3 K) (10 -6 Kg m / (s 3 K)) 13 比熱c L 2 / (t 2 K) J / (Kg K) = (m 2 / (s 2 K)) mm 2 / (s 2 K ) (10 -6 m 2 / (s 2 K ) ) mm 2 / (s 2 K ) (10 -6 m 2 / (s 2 K ) ) mm 2 / (s 2 K ) (10 -6 m 2 / (s 2 K ) ) 14 體熱源h M / (t 2 L) J / m

18、3 = (Kg / (s 2 m)) Kg / (s 2 mm) (10 3 Kg / (s 2 m) ) T / (s 2 mm) (10 6 Kg / (s 2 m) ) g / (s 2 mm) (1.0 Kg / (s 2 m) ) 15 換熱系數 Cv M / (t 3 K) J / (m 2 s K) = (Kg / (s 3 K)) Kg / (s 3 K) (Kg / (s 3 K)) T / (s 3 K) (10 3 Kg / (s 3 K)) g / (s 3 K) (10 -3 Kg / (s 3

19、K)) 16 粘性系數 Kv M / (L t) Kg / (m s) Kg/(mm s) (10 3 Kg /(m s) ) T / (mm s) (10 6 g / (m s) ) g / (mm s) (1.0 g / (m s) ) 17 熵S M L 2 / (t 2 K) J / K = (Kg m 2 / S 2 K) Kg mm 2 / S 2 K (10 -6 Kg m 2 / S 2 K) T mm 2 / S 2 K (10 -3 Kg m 2 / S 2 K) g mm 2/S

20、 2 K (10 -9 Kg m 2 / S 2 K) 18 比熵s 質量熵 L 2 / (t 2 K) J / (Kg K ) = (m 2 / S 2 K) mm 2 / S 2 K (10 -6 m 2 / S 2 K) mm 2 / S 2 K (10 -6 m 2 / S 2 K) mm 2 / S 2 K (10 -6 m 2 / S 2 K) 表2 不同單位制的物理量與Kg-m-s單位制的換算因子[注] 序號 參數名 公制單位 (Kg-m-s單位) 其它單位轉換到Kg-m-s 單位制 kg-m-s單位轉換到K

21、g-mm-s單位制 kg-m-s單位轉換到T-mm-s單位制 kg-m-s單位轉換到g-mm-s單位制 1 長度 L m Kg-mm-s數值 10 -3 Kg-m-s數值 10 3 Kg-m-s數值 10 3 Kg-m-s數值 10 3 2 質量 M Kg g-cm-s數值 10 3 Kg-m-s數值 1.0 Kg-m-s數值 10 -3 Kg-m-s數值 10 3 3 時間 t s Kg-mm-s數值 1.0 Kg-m-s數值 1.0 Kg-m-s數值 1.0 Kg-m-s數值 1.0 4

22、 溫度 T K Kg-mm-s數值 1.0 Kg-m-s數值 1.0 Kg-m-s數值 1.0 Kg-m-s數值 1.0 5 面積 L 2 m 2 Kg-mm-s數值 10 -6 Kg-m-s數值 10 6 Kg-m-s數值 10 6 Kg-m-s數值 10 6 6 體積 L 3 m 3 Kg-mm-s數值 10 -9 Kg-m-s數值 10 9 Kg-m-s數值 10 9 Kg-m-s數值 10 9 7 力 M L / t 2 N=Kg m / s 2 Kg-mm-s數值 10 -3

23、 Kg-m-s數值 10 3 Kg-m-s數值 1.0 Kg-m-s數值 10 6 8 密度 M / L 3 Kg / m 3 g-cm-s數值 10 3 g-cm-s數值 10 -6 g-cm-s數值 10 -9 g-cm-s數值 10 -3 9 能量、焓 熱流 M L 2 / t 2 J=Kg m 2 / s 2 Kg-mm-s數值 10 -6 Kg-m-s數值 10 6 Kg-m-s數值 10 3 Kg-m-s數值 10 9 10 功率、熱流量 m L 2 / t 3 w = kg m 2

24、 /S 3 Kg-mm-s數值 10 -6 Kg-m-s數值 10 6 Kg-m-s數值 10 3 Kg-m-s數值 10 9 11 壓力、應力、模量 M / (t 2 L) Pa=Kg/(s 2 m) Kg-mm-s數值 10 6 Kg-m-s數值 10 -3 Kg-m-s數值 10 -6 Kg-m-s數值 1.0 12 導熱率 M L / (t 3 K) Kg m/ (s 3 K) Kg-m-s數值 10 -3 Kg-m-s數值 10 3 Kg-m-s數值 1.0 Kg-m-s數值 1

25、0 6 13 比熱 L 2 / (t 2 K) m 2 / (s 2 K) Kg-mm-s數值 10 -6 Kg-m-s數值 10 6 Kg-m-s數值 10 6 Kg-m-s數值 10 6 14 體熱源 M / (t 2 L) Kg / (s 2 m) Kg-mm-s數值 10 3 Kg-m-s數值 10 -3 Kg-m-s數值 10 -6 Kg-m-s數值 1.0 15 換熱 系數 M / (t 3 K) Kg / (s 2 K) Kg-mm-s數值 1.0 Kg-m-s數值 1.0 Kg

26、-m-s數值 10 -3 Kg-m-s數值 10 3 16 粘性 系數 M / (L t) Kg / (m s) Kg-mm-s數值 10 3 Kg-m-s數值 10 -3 Kg-m-s數值 10 -6 Kg-m-s數值 1.0 17 熵 M L 2 / (K t 2) Kgm2 / (K s 2) Kg-mm-s數值 10 -6 Kg-m-s數值 10 6 Kg-m-s數值 10 3 Kg-m-s數值 10 9 18 比熵、 質量熵 L 2 / (t 2 T) m2 / (s2 K) Kg-mm-s數值 10 -6 Kg-m-s數值 10 6 Kg-m-s數值 10 6 Kg-m-s數值 10 6 注：后三列中給出的是將kg-m-S 單位制中的數值轉換到其它單位制時 (在準備輸入數據時) 所乘的因子；如果需要將其它單位制中的數值轉換到kg-m-S 單位制 (在分析計算結果時)，則應該除以該因子。