2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：52 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為(　　) A．相離　　　　　　 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 C　[直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(diǎn)(1，－2)， ∵12＋(－2)2－21＋4(－2)＝－5＜0， ∴點(diǎn)(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)部， 直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交．] 2．過點(diǎn)P(0,1)的直線l與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝，則該直線的斜率為(　　) A．

2、1　 B． C．　 D．2 A　[由題意設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1， 因?yàn)閳A(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心為(1,1)，半徑為r＝1，又弦長(zhǎng)|AB|＝，所以圓心到直線的距離為d＝＝＝， 所以有＝，解得k＝1.故選A.] 3．過點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為 (　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 B　[∵過點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，∴點(diǎn)(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上． ∵圓心與切點(diǎn)連線的斜率k＝＝， ∴切線的斜率為

3、－2， 則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.] 4．圓x2－4x＋y2＝0與圓x2＋y2＋4x＋3＝0的公切線共有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 D　[根據(jù)題意，圓x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2. 圓x2＋y2＋4x＋3＝0，即圓(x＋2)2＋y2＝1，其圓心坐標(biāo)為(－2,0)半徑為1. 則兩圓的圓心距為4，兩圓半徑和為3，因?yàn)?>3，所以兩圓的位置關(guān)系是外離，故兩圓的公切線共有4條．故選D.] 5．(2019福州模擬)過點(diǎn)P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別

4、為A，B，則AB所在直線的方程為(　　) A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ B　[圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1，以|PC|＝＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1， 將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－.] 二、填空題 6．(2019浙江高考)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線2x－y＋3＝0與圓相切與點(diǎn)A(－2，－1)，則m＝__________，r＝__________. －2　　[如圖，由圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直，得＝－，解得m＝－2. ∴圓心為(0，－2)， 則半徑r＝＝.

5、 ] 7．(2019唐山模擬)已知直線l：kx－y－k＋2＝0與圓C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為________． 2　[直線kx－y－k＋2＝0可化為y－2＝k(x－1)，故直線l過定點(diǎn)E(1,2)，又E(1,2)在圓x2＋y2－2y－7＝0內(nèi)，所以，當(dāng)E是AB中點(diǎn)時(shí)，|AB|最小，由x2＋y2－2y－7＝0得x2＋(y－1)2＝8，即圓心C(0,1)，半徑2，所以|AB|＝2＝2＝2.] 8．(2019昆明模擬)已知直線y＝ax與圓C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心．若△ABC為等邊三角形，則a的值為________． 　[根

6、據(jù)題意，圓C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圓心為(0,3)，半徑r＝，直線y＝ax與圓C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABC為等邊三角形，則圓心C到直線y＝ax的距離d＝，則有＝，解得a＝.] 三、解答題 9．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，和直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上． (1)求圓C的方程； (2)已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程． [解]　(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a，－2a)， 則＝. 化簡(jiǎn)，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1. 所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)， 半徑r＝|AC|＝＝. 故

7、圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2. (2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，此時(shí)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，滿足條件． ②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx， 由題意得＝1，解得k＝－， 則直線l的方程為y＝－x. 綜上所述，直線l的方程為x＝0或3x＋4y＝0. 10．圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1)． (1)若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程； (2)若圓O1與圓O2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求圓O2的方程． [解]　(1)因?yàn)閳AO1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心O1(0，－1)，半

8、徑r1＝2. 設(shè)圓O2的半徑為r2，由兩圓外切知|O1O2|＝r1＋r2. 又|O1O2|＝＝2， 所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2. 所以圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. (2)設(shè)圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r， 又圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4， 相減得AB所在的直線方程為4x＋4y＋r－8＝0. 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為H， 因?yàn)閞1＝2， 所以|O1H|＝＝. 又|O1H|＝＝， 所以＝， 解得r＝4或r＝20. 所以圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 1．若圓

9、x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是(　　) A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1) A　[計(jì)算得圓心到直線l的距離為＝＞1，如圖，直線l：x－y－2＝0與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線l2的距離＋1.] 2．一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ D　[圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圓心為(－3,2

10、)，半徑r＝1.作出點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(2，－3)．由題意可知，反射光線的反向延長(zhǎng)線一定經(jīng)過點(diǎn)(2，－3)．設(shè)反射光線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切可得＝1，即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－.故選D.] 3．(2016全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2，則|CD|＝________. 4　[由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定

11、點(diǎn)(－3，)，圓心O到 直線l的距離為 d＝. 由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直線l的斜率為－m＝，所以直線l的傾斜角α＝. 畫出符合題意的圖形如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2＝4.] 4．(2019大同模擬)已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且圓心C在直線x＋y－1＝0上． (1)求圓C的方程； (2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點(diǎn)A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程． [解]　(1)∵P(4，－2)，Q(－1,3)， ∴線段PQ的中點(diǎn)M，斜率kPQ＝－1， 則PQ的垂直

12、平分線方程為y－＝1(x－)， 即x－y－1＝0. 解方程組 得 ∴圓心C(1,0)，半徑r＝＝. 故圓C的方程為(x－1)2＋y2＝13. (2)由l∥PQ，設(shè)l的方程為y＝－x＋m. 代入圓C的方程，得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6. 故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)， 依題意知OA⊥OB，則＝0. ∴(x1，y1)(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝0， 于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝0，即m2－m－12＝0. ∴m＝4或m＝

13、－3，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足Δ>0. 故直線l的方程為y＝－x＋4或y＝－x－3. 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是(　　) A. B．[0,1] C. D． A　[因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，所以＝2， 化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上． 由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公

14、共點(diǎn)，則|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤≤3. 由≥1得5a2－12a＋8≥0， 解得a∈R； 由≤3得5a2－12a≤0， 解得0≤a≤. 所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.故選A.] 2．已知直線x＋y－k＝0(k＞0)與x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|＋|≥||，則k的取值范圍是________． [，2)　[由已知得圓心到直線的距離小于半徑，即＜2， 又k＞0， 故0＜k＜2.?、? 如圖，作平行四邊形OACB，連接OC交AB于M， 由|＋|≥||得||≥||， 即∠MBO≥，因?yàn)閨OB|＝2，所以|OM|≥1，故≥1， k≥ .　② 綜合①②得，≤k＜2.]