應(yīng)用自回歸模型處理EMD方法中的邊界問題

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1、白.81外步HL展第13卷第10期2003年10丿J # 應(yīng)用自回歸模型處理EMD方法中的邊界問題關(guān) 張郁山I梁建文2“胡聿賢1 1.國家地鳶局地球物理研究所，北京100081： 2.天津大學(xué)土木工程系,天津300072 摘耍 提出了一個“邊篩分，邊延拓”的邊界處理方法，利用H回fl（AR）模型對一個給定信號 的兩端進行延拓，較好地處理了經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMI））方法中的信號?邊界問題，實現(xiàn)了準確的EMI） 分解. 白.81外步HL展第13卷第10期2003年10丿J # 白.81外步HL展第13卷第10期2003年10丿J 1055 關(guān)鍵詞 方法12003-0

2、1.16 收稿，2（M）3-05-20 收修改稿 國家門然科學(xué)基金（批準號：50278090）和教育部留學(xué)回國人員科研啟動基金資助項I：! * 聯(lián)系人? E-ituiil： jwlian&@ tj ? cnuninet. net 1 Mil l模空HHT變換 強震儀記錄到的地面運動，即地震動，是非平 穩(wěn)的，而且蘊涵了地表土層等介質(zhì)的非線性信息. 在傳統(tǒng)的處理這類非平穩(wěn)地震動記錄的方法中， Fourier變換能夠在頻域內(nèi)得到非常高的分辨率，但 Fourier譜不能反映信號的瞬態(tài)信息，因此，在時域 內(nèi)失去了分辨能力：短時Fourier變換雖然能夠在 一定程度上描述信號的瞬時頻率含量，但

3、是，受到 不確定性原理的制約，不能同時在時域和頻域內(nèi)獲 得較髙的分辨率；小波變換是-?種多分辨率的信號 處理方法，能夠同時任時域和頻域內(nèi)得到較島的分 辨率，但是其分辨率仍然受到一定的限制MF]. 皋于Hilbert變換的Hilben譜分析，在處理某些 特殊的非平穩(wěn)信號時，能夠獲得非常好的結(jié)果；但 是，Hilben譜分析所面臨的問題是：對于大部分非平 穩(wěn)的信號，Hilben譜分析失去了木來的物理意義.為 此，1998年Huang提出了一種新的信號處理技術(shù)⑴， 其基本的思路是：為了將Hilben變換應(yīng)用到任總非 平穩(wěn)信號，首先利用Huang提出的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解 （einpirical mode d

4、ecomi心iiion‘ EMI））方法，將給定信 號分解成若干個本征模函數(shù)（intrinsic mode funclov IMF）：然后，再對每個IMF進行Hilbert譜分析 （Hilben speciml analysis, HSA）,得到每個 IMF 的 Hilben譜;最后，匯總所有[MF的Hilbert譜，得到 原始非平穩(wěn)信號的Hilben譜.這種新的信號處理方 法被稱為 Hilbcrl-Huaiig transform 簡稱 HHT. 在EMD方法中，信號兩端的邊界效應(yīng)所帶來 的誤差會向內(nèi)傳播，進而“污染”整個數(shù)據(jù)序列, 使得茲后的結(jié)果失去意義，尤其對于低頻的IMF分 就來說，

5、這種邊界效應(yīng)所引起的誤差更加嚴重. Himng針對這個問題，提出用“特征波”對原始信 號進行延拓的方法⑴，但并未公開具體的處理方 法，并且已將該方法在美國申請了專利.此外, Huang指出〔小，EMI）方法所而臨的邊界延拓問題 還沒有完全解決.因此，解決邊界延拓問題對于 HHT理論、以致對其他信號處理，都具有理論和 實際意義. 鄧擁軍等⑷提出了使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對原始信 號進行延拓來解決EMI）中的邊界問題.木文針對 同一問題，應(yīng)用傳統(tǒng)的IH回歸（auto-regressive，AR） 模熨對原始數(shù)據(jù)進行延拓，提出了 “邊篩分，邊延 拓”的邊界處理方法，計算結(jié)果表明，該方法對于 EMD的準確分

6、解非常有效，對于低頻IMF分帚也 得到了很好的結(jié)果. 1 EMD方法及其邊界問題 在EMD方法中，Huang將具有如下性質(zhì)的信 號定義為本征模函數(shù)：（1）該信號的極值點的數(shù)目 與零交點的數(shù)目和等或至多相差一個：（2）該信號 的極人值點與極小值點關(guān)丁?零軸對稱.HimndJ認 為Hilben變換作用到具有上述性質(zhì)的信號上時，便 能給出物理意義明確的結(jié)果來，即能將IMF中所縊 涵的波內(nèi)調(diào)解機制（inlra-wavc modulation）提取出 來，所得到的Hilbert譜與小波譜以及其他基丁? Fouri- 3變換時變頻譜相比，具有非常高的時頻分辨率. EMI）方法通過一種被Huang成為

7、“篩分” （sifting）的過程，對數(shù)據(jù)逐步進行分解，最后得到 一系列IMF分量.具體處理方法是：給定實信號 工（J，找出龍（J所有的極人值點并將其用三次樣 條函數(shù)擬合成原始信號的上包絡(luò)線；找出?t（（）所 有的極小值點并將其用三次樣條兩數(shù)擬合成原始信 號的下包絡(luò)線：上下包絡(luò)線的均值為原始信號的平 均包絡(luò)線7?71 （r）：將原始信號“（r）減去〃?］（［）后 即可得到一個新的信號w J（Z）— 7?7|（Z）= /2j（Z）> （ 1 ） 這個過程稱為篩分，原始信號（/）經(jīng)過一次篩分 后變?yōu)? j般說來，/x（z）仍然不是一個IMF，為此需 要對它重復(fù)上述篩分處理.重復(fù)處理怡次后，若最

8、 后所得到的信號滿足IMF條件，就得到了原始信號 的第1個IMF分量c/z）： 力i（「i）（r） 一 〃心（/）=力以（f）， ci（/） = h u（ t）, （2） 出門代表原始信號中最高頻的IMF分農(nóng) 將原始 信號工（t）減去c,（/）就可以得到去除髙頻成分的殘 余信號n（/）；對n（z）進行上述篩分處理后可以得 到第2個IMF分屋“&），然后將； !（/）減去c2（z） 后可以得到r3（z）；如此重復(fù)下去直到最后一個殘 余信號廠”（門不可再分解為止. 廣1（ /）一 C2（ /）=廣2（ /人…， ???_//） - c?（/） = rM（z）, （3） 最后，原始信號川

9、門可以表示成 工（（）= c；（ i）+ 心（/）. （4） i=i 通常，原始信號工（門經(jīng)過上述EM1）方法分解 后所得到的IMF分量的數(shù)目是很少的，這說明 EMI）方法的效率是很高的. 原始信號工（/）經(jīng)過EMI）分解后，分別對每個 IMF分磺進行Hilbert譜分析（HSA）得到每個IMF 分量的Hilbert譜，匯總所有IMF分量的Hilbert譜 就得到了原始信號的Hilbert譜.即給立任恿 一個IMF，c（C，其Hilbert變換定義為 其屮P表小Cauchy主值.c（ t ）與y（ t ）可以合成解 析信號Z（Z）： z（ f ） = c（ f ） + （y

10、（ f ）, （6） 從而，可以怎義時變的幅值a（t）和相位0（ Z）如下： （z）= 5/c2（z） + J>2-i 綜上所述，HHT對信號的處理可用下面的流 程圖來表示： 式中 HS（ r, 3）表示

11、時變 Hilbert 譜（Hilbert spectrum）. 上述壟于Hilbert變換及經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的HHT 方法在處理非平穩(wěn)信號時，得到的Hilbert譜由于不 受不確定性原理的制約，它能h 0時在時域和頻域內(nèi) 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 獲得很髙的分辨率.但是，困擾EMD方法的一個 人問題就足數(shù)字信號的邊界問題.下而舉一個簡單 的例子說明. 通常我們所處理的信號都局限在有限區(qū)間.為 此，考慮下式給出的模擬信號： t）= cos（37v/）+ 1.5cos（9tv/）f €〔0.3,1.0］ （13） 圖1給出了限定在指定區(qū)間的原始模擬信

12、號. 可以看出，在區(qū)間［0.3，1.0］內(nèi)，信號工（門存在3 個極大值點、3個極小值點；利用三次樣條插值分 別連接極人值點和極小值點，所得到的樣條1山線『I 然延拓到信號的邊界處就得到了如圖所示的上下包 絡(luò)線. 圖1原始信號及利用三次樣條西數(shù)得到的 組上下包絡(luò)線 圖2中的貞?實包絡(luò)線是按照如下方式得出的： 首先，根據(jù)（13）式求出原始信號在區(qū)間［0.3, 1.01 之外的部分；然后，利用三次樣條插值分別連接所 有極人值點和極小值點；最后取所得樣條曲線在區(qū) 間［0.3，1.0］內(nèi)的部分.從圖2中可以看出，如 果事先不知道信號在所給立區(qū)間之外的部分，只是 利用給肚區(qū)間內(nèi)的極人值和極小

13、值通過三次樣條插 們來擬合信號的上下包絡(luò)線，所得的三次樣條包絡(luò) 線與冀實樣條包絡(luò)線相比會出現(xiàn)嚴巫失冀.在本例 中，上下包絡(luò)線都出現(xiàn)了失冀，尤其是上包絡(luò)線, 在信號兩端出現(xiàn)了嚴$：的失真. 這種包絡(luò)線失真引起的誤差故初只會影響信號 兩端，但隨著篩分過程的進行，邊界處的誤差會向 內(nèi)傳播，進而“污染”到內(nèi)部的數(shù)據(jù)，使得般后的 結(jié)果失去意義.而我們實際處理的信號都是有限長 度的離散信號/（〃），（〃 = 1，???N）,而且,我們事 圖2樣條曲線延拓所得上卜包絡(luò)線及真實樣 條上下包絡(luò)線 先無法知道給定數(shù)據(jù)之外的信號.因此，在進行 EMD處理時，我們就需耍根據(jù)己知數(shù)據(jù)，按照一 定規(guī)則加以延拓，進而

14、在信號兩端分別獲得附加的 極大值和極小值；然后根據(jù)信號門少的所有極大值 點和兩個附加的極人值點構(gòu)造三次樣條上包絡(luò)線; 根據(jù)信號11身的所有極小值點和兩個附加的極小值 點構(gòu)造三次樣條下包絡(luò)線：這兩條包絡(luò)線如果與冀 實樣條包絡(luò)線接近，則我們就能有效地控制數(shù)據(jù)邊 界所帶來的誤差. 本文提出“邊篩分、邊延拓”的邊界處理方 法，利用自回歸模型（AR模型），通過線性預(yù)測對 數(shù)據(jù)進行延拓?由于自回歸模型最后所得到的線性 方程組的系數(shù)矩陣是對稱的Tocplitz矩陣，采用 Levins-Durbin遞推算法能夠快速地求得AR模型 的系數(shù)，因此，在篩分的過程中，采用此算法對數(shù) 據(jù)加以延拓，即“邊篩分、邊延拓”

15、，能夠有效地 對數(shù)據(jù)進行篩分，而且也能獲得較髙的計算速度. 2利用自回歸模型對信號進行延拓 & n）之前的”個數(shù)據(jù) tr（ ??-/?） j：（ n — /） + 1），…，- 1）｝已知，我們希望利用這“個 數(shù)據(jù)的線性組合來預(yù)測工（和）的值.記H H ）是對真 實值工（“）的預(yù)測，則有 （14） 根據(jù)線性預(yù)測方法，通過使紂預(yù)測值/（ ”）與真實 值工（”）之間總的預(yù)測誤差功率最小，系數(shù)可 以求出. 系數(shù)4 ｝求出后，根據(jù)（14）式求出（〃）的預(yù)測值H ”），然后根據(jù)新的數(shù)據(jù)序列6（ ” + 1）, …，工（〃一 1），龍（刃））來預(yù)測n + 1 HJ刻j-（ n + 1 ） 的值

16、2（〃+ 1）,依次類推,可以求出工（刃-1）以后 任總時刻離散信號的預(yù)測值.當然，距離T（ 2/ - 1） 越遠的預(yù)測值與真實值Z間的誤差也就越人，但是 我們所耍預(yù)測的是已知數(shù)據(jù)外雖近的極人值和極小 值，I人I此需要預(yù)測的數(shù)據(jù)點不會離已知數(shù)據(jù)的邊界 太遠，從而預(yù)測的樣條包絡(luò)線能夠具有較好的將 度. 利用同樣的方法可以對同一數(shù)據(jù)序列進行反向 預(yù)測.圖3給出了利用線性預(yù)測得出的（13）式信號 的樣條上下包絡(luò)線及真實的包絡(luò)線，從中可以看 出，兩者Z間誤差非常小.圖4給出了相應(yīng)的預(yù)測 半均包絡(luò)線與其實平均包紹線，同樣可以看出，兩 者非常接近?圖4所給出的平均包絡(luò)線參加最后的 圖3貞實樣條卜?

17、下包絡(luò)線與預(yù)測樣條上下包絡(luò)線 圖4真實樣條半均包絡(luò)線與預(yù)測樣條平均包絡(luò)線 在對一個給定信號（它可以為原始信號久（/）, 也可以為前一次篩分處理所得的殘余信號W 見（2）式）進行篩分處理之前，首先利用AR模型對 其進行線性預(yù)測，得出上下三次樣條包絡(luò)，然后再 對其進行篩分，這種計算方法即為“邊篩分，邊延 拓”的算法.按照此算法，對（13）式所給出的模擬 信號進行經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解，所得結(jié)果與原始的兩個簡 諧波信號如圖5所示.從中可以看出，對丁?高頻分 星來說，按照本文所建議的算法，利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分 解所得的結(jié)果與真實分量相差不人，邊界效應(yīng)僅在 信號兩端引起微小的誤差，對屮間人部分數(shù)據(jù)沒有

18、影響；對丁?低頻分量來說，盡管數(shù)據(jù)邊端所引起的 誤差傳播到了數(shù)據(jù)內(nèi)部，但是，按照本文算法所得 的低頻分屋與冀實分量Z間非常接近，而且，此分 量只有半個波存在，這種分解效果非常令人滿意. 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 圖5 EMD分解所得本征模函數(shù)號頁?實簡諧波分戢 （a）I

19、MF|： 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 通過上而模擬信號的結(jié)果可以看出：數(shù)據(jù)邊端 所引起的誤差對低頻分応的影響較人，對高頻分量 影響較??；按照“邊篩分、邊延拓”的算法，利用 AR模型，通過線性預(yù)測對數(shù)據(jù)進行延拓，可以有 效地抑制數(shù)據(jù)邊端誤差對EMI）分解結(jié)果屮低頻分 量的影響. 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J 1059 圖6 El Centro地底波記錄 下而，利用上述方法對

20、一實際地震動記錄E1 Centro波的分解為例加以說明. 圖6給出了原始El Centro波的加速度記錄.在 此，苗先使用Huang的EMI）程序⑸，對此地震波 加以分解，得到8個IMF分最：然后使用本文提出 的“邊篩分，邊延拓”的計笄方法對同一地震波加 以分解，同樣可以得到8個IMF分量：瑕后將兩種 結(jié)果加以比較，以驗證本文方法的有效性.比較結(jié) 果示丁?圖7中,由丁?數(shù)據(jù)邊端所引起的誤差對高頻 分量影響不大，主耍是影響低頻分量,所以圖中只 給出了故后4個IMF分量的比較結(jié)果，對丁?前4個 較高頻【MF分就來說，兩者兒乎完全一致，在此不 再給出. 白.81外步ilL展第13卷第10期200

21、3年10丿J # 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # (7S&M2U 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 圖7本文方法與EMI）程序⑸所得低頻IMF分晝的比較 （a＞分顯：5： （b）分雖6：（c＞分昴7： ＜d）分雖8 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 白.81外步ilL展第13

22、卷第10期2003年10丿J # 圖7中，實線為本文所得結(jié)果；虛線為Himng 的EMI）軟件計算所得結(jié)果.從圖中可以看出，對 丁較髙頻分量,兩者符合程度非常好：對于較低頻 分磺，盡管兩者存在一定誤差，但相差不是很人; 雖然最后一個分鹹在邊界處相差較人，但是與高頻 分量相比，它的尺度非常小，它的誤差可以忽略. 3結(jié)論 本文提出一個EMI）方法中邊界處理的“邊篩 分、邊延拓”方法，利用AR模型，通過線性預(yù)測 對信號兩端加以延拓，分別獲得附加的極人值點和 極小值點，然后利用三次樣條插值將附加的極值點 與信號本身的極值點連接起來，從而擬合出原始信 號的上下包絡(luò)線，垠后，通過篩分處理，將原始

23、數(shù) 據(jù)分解成一系列本征模函數(shù). 本文的“邊篩分、邊延拓”方法充分利用了H 回歸線性預(yù)測模型算法簡單、計算效率高、有限幾 步內(nèi)預(yù)測精度高的特點，避免了對原始信號一次性 延拓而需要延拓多個極值點導(dǎo)致的梢度下降問題: 同時，“邊篩分、邊延拓”方法還充分利用了低頻 信號門回！H線性預(yù)測精度高的特點，可以有效地抑 制信號邊端謀差劉EMD分解結(jié)果中低頻分駅的影 響. 致謝 本文部分研究內(nèi)容得到了美國Colorado School of Mines的I3y Zhang教授的幫助，在此表 示感謝. 參考文獻 1 Huang N E et al? The empirical mode decomposi

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26、 New Jersey* 2000 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J # 國家自然科學(xué)基金研究專著 《逐段決定馬爾可夫骨架過程》劉國欣 侯振挺 鄒捷中 苦 湖南科學(xué)技術(shù)出版社定價:30.00元 本書是研究逐段決定馬爾可夫骨架過程的專著.逐段決定馬爾 可夫骨架過程，簡稱逐段決定過程（PDP）,是侯振挺教授T 1996年 提出的馬爾可夫骨架過程中應(yīng)用最廣泛的一類過程. 逐段決定馬爾可夫骨架過程是指具有一列隨機時刻作為跳躍點, 而在兩相鄰跳躍點之間為決定性軌道的隨機過程，在系統(tǒng)科學(xué)、1‘1 動控制、風(fēng)險理論等渚多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.全書共分為五章, 系統(tǒng)地介紹了逐段決定馬爾可夫骨架過程的基本概念和性質(zhì)，特別 對逐段決定馬爾可夫骨架過程中垠亜要的過程類，逐段決定馬爾可 夫過程（PI）MI〉），進行了深入地探討，內(nèi)容包括準備知識，一般跳過 程的鞅表示，逐段決定馬爾可夫骨架過程，逐段決定馬爾可夫過程 及其在風(fēng)險理論中的應(yīng)用，其中許多屬「?作者近年來在這方浙的研 究成果. 本書的讀者對象為概率統(tǒng)計、系統(tǒng)科學(xué)、H動控制、風(fēng)險理論等專業(yè)的人學(xué)髙年級學(xué)生、研究生、教 師與有關(guān)科研人員.