2019版九年級數學下冊 第二章 二次函數試題 （新版）北師大版

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1、 真誠為您提供優(yōu)質參考資料，若有不當之處，請指正。 第二章　二次函數 　　1.二次函數y=ax2+bx+c的配方步驟 (1)提:提取二次項系數,把二次項系數化為1. (2)配:把括號內配成完全平方公式. (3)化:把函數關系式化成頂點式. 【例】配方:y=4x2-8x. 【標準解答】y=4x2-8x =4(x2-2x) =4(x2-2x+1-1)=4(x-1)2-4. 1.二次函數y=-x2+2x+4的最大值為(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.將二次函數y=x2-4x+5化為y=(x-h)2+k的形式,則y=　　　　. 3.二次函數y=x2+2x

2、的頂點坐標為　　　,對稱軸是直線　　　. 　　2.確定二次函數解析式的方法 　　(1)一般式:若已知條件是圖象上的三點,則用y=ax2+bx+c,將已知三個點的坐標代入,求出a,b,c的值. 【例1】已知二次函數的圖象經過(0,1),(2,1)和(3,4),求該二次函數的解析式. 【標準解答】設函數解析式為y=ax2+bx+c, 則1=c,1=4a+2b+c,4=9a+3b+c.解得a=1,b=-2,c=1. ∴y=x2-2x+1. 　　(2)頂點式:若已知二次函數圖象的頂點坐標或對稱軸方程與最大值(或最小值),設所求二次函數為y=a(x-h)2+k,將已知條件代入,求出待定系數

3、. 【例2】根據函數圖象寫出二次函數的解析式. 【標準解答】由圖象知拋物線對稱軸x=-1,頂點坐標為(-1,2),過原點(0,0),點(-2,0). 設解析式為y=a(x+1)2+2, ∵過原點(0,0),∴a+2=0,a=-2. 故解析式為y=-2(x+1)2+2,即y=-2x2-4x. 　　(3)交點式:若已知二次函數圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1,0),(x2,0),設所求二次函數為y=a(x-x1)(x-x2),將第三點(m,n)的坐標(其中m,n為已知數)或其他已知條件代入,求出待定系數a. 【例3】已知函數y=ax2+bx+c的圖象如圖,那么函數解析式為　(　

4、　) A.y=-x2+2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=-x2-2x+3 D.y=-x2-2x-3 【標準解答】選A.運用二次函數交點式:y=a(x-x1)(x-x2),則y=a(x+1)(x-3),把(0,3)代入,則a=-1,整理,得y=-x2+2x+3. (4)根據平移確定解析式:先把拋物線化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,然后根據h值左加右減,k值上加下減來進行. 【例4】拋物線y=(x+2)2-3可以由拋物線y=x2平移得到,則下列平移過程正確的是　(　　) A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位 B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位 C

5、.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位 D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位 【標準解答】選B.y=(x+2)2-3的頂點為(-2,-3),拋物線y=x2的頂點為(0,0),所以平移的過程是先向左平移2個單位,再向下平移3個單位. 1.將拋物線y=-2x2+1向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度所得的拋物線解析式為　(　　) A.y=-2(x+1)2 B.y=-2(x+1)2+2 C.y=-2(x-1)2+2 D.y=-2(x-1)2+1 2.將拋物線y=x2的圖象向上平移1個單位,則平移后的拋物線的解析式為　　　　. 3.設拋物線y=ax2+bx+c(a

6、≠0)過A(0,2),B(4,3),C三點,其中點C在直線x=2上,且點C到拋物線的對稱軸的距離等于1,則拋物線的函數解析式為　　　　. 4.科學家為了推測最適合某種珍奇植物生長的溫度,將這種植物分別放在不同溫度的環(huán)境中,經過一定時間后,測試出這種植物高度的增長情況,部分數據如表: 溫度t/℃ -4 -2 0 1 4 植物高度增 長量l/mm 41 49 49 46 25 經過猜想、推測出l與t之間是二次函數關系.由此可以推測最適合這種植物生長的溫度為　　　　℃. 　　3.二次函數y=ax2+bx+c中的系數值對拋物線的影響 二次函數y=ax2+bx+c的

7、圖象特征與a,b,c的符號有密切聯(lián)系,它們的關系如下: 　　(1)二次項系數a決定拋物線的開口方向、函數最值情況. 　?、賏>0?開口向上,函數有最小值; 　?、赼<0?開口向下,函數有最大值. 　 　(2)常數項c決定拋物線與y軸的交點,交點坐標為(0,c). 　　 ①c>0?交點在y軸正半軸上; 　　 ②c=0?拋物線過原點; 　　 ③c<0?交點在y軸負半軸上. 　　 (3)代數式-b2a決定拋物線對稱軸的位置 　　 ①ab>0?對稱軸在y軸的左側; 　 ?、赽=0?對稱軸是y軸; 　　 ③ab<0?對稱軸

8、在y軸的右側. 　　 (4)代數式b2-4ac決定拋物線與x軸交點的情況 　 ?、賐2-4ac>0?拋物線與x軸有兩個交點; 　　 ②b2-4ac=0?拋物線與x軸有一個交點; 　　 ③b2-4ac<0?拋物線與x軸沒有交點. 【例】如圖所示的二次函數y=ax2+bx+c的圖象中,劉星同學觀察得出了下面四條信息:(1)b2-4ac>0;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你認為其中錯誤的有　(　　) A.2個　　 B.3個　 　C.4個　　 D.1個 【標準解答】選D.圖象與x軸有兩個交點,得(1)正確; 圖象與y軸交點在點(

9、0,1)下方得c<1,所以(2)錯誤; 對稱軸x=-b2a在點(-1,0)右側,得-b2a>-1并考慮a<0,去分母得-b<-2a,2a-b<0,所以(3)正確; a+b+c是x=1時的函數值,從圖象上看,橫坐標為1時圖象上的點在x軸下方,故a+b+c<0,所以(4)正確.綜上只有一條信息錯誤. 1.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列敘述正確的是　(　　) A.abc<0 B.-3a+c<0 C.b2-4ac≥0 D.將該函數圖象向左平移2個單位后所得拋物線的解析式為y=ax2+c 1題圖 2題圖 2.如圖,已知經過原點的拋物線y=ax2+b

10、x+c(a≠0)的對稱軸是直線x=-1,下列結論中: ①ab>0, ②a+b+c>0, ③當-20?拋物線與x軸相交; 　?、谟幸粋€交點(頂點在x軸上)?b2-4ac=0?拋物線與x軸相切; 　?、蹧]有交點?b2-4ac<0?拋

11、物線與x軸相離. 【例】已知拋物線y=-x2+mx-m+2. (1)若拋物線與x軸的兩個交點A,B分別在原點的兩側,并且AB=5,試求m的值. (2)設C為拋物線與y軸的交點,若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M,N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值. 【標準解答】(1)設A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2是方程x2-mx+m-2=0的兩根. ∴x1+x2=m,x1x2=m-2<0即m<2; 又AB=∣x1-x2∣=(x1+x2)2-4x1x2 =5,∴m2-4m+3=0. 解得:m=1或m=3(舍去), ∴m的值為1. (2)設M(a,b),則N(-a,

12、-b). ∵M,N是拋物線上的兩點, ∴-a2+ma-m+2=b,①-a2-ma-m+2=-b.② ①+②得:-2a2-2m+4=0. ∴a2=-m+2. ∴當m<2時,才存在滿足條件中的兩點M,N.∴a=2-m. 這時M,N到y(tǒng)軸的距離均為2-m, 又點C坐標為(0,2-m),而S△MNC=27, ∴212(2-m)2-m=27. ∴解得m=-7. 1.如圖是二次函數y=ax2+bx+c的圖象,下列結論: ①二次三項式ax2+bx+c的最大值為4; ②4a+2b+c<0; ③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為-2; ④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0.

13、 其中正確的個數有　(　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 1題圖 2題圖 2.如圖,二次函數y=ax2+bx+3的圖象經過點A(-1,0),B(3,0),那么一元二次方程ax2+bx=0的根是　　　　. 3.已知拋物線的表達式為y=-x2+6x+c. (1)若拋物線與x軸有交點,求c的取值范圍. (2)設拋物線與x軸兩個交點的橫坐標分別為x1,x2,若x12+x22=26,求c的值. (3)若P,Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點,PA,QB都垂直于x軸,垂足分別為A,B,且△OPA與△OQB全等,求證:c>-214. 　　5.二次

14、函數解決實際問題時的方法 思考問題的基本思路是: 　　(1)理解問題. 　　(2)分析問題中的變量和常量. 　　(3)用函數表達式表示出它們之間的關系. 　　(4)利用二次函數的有關性質進行求解. 　　(5)檢驗結果的合理性,對問題加以拓展等. 【例】利達經銷店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供貨源,待貨物售出后再進行結算,未售出的由廠家負責處理).當每噸售價為260元時,月銷售量為45噸.該經銷店為提高經營利潤,準備采取降價的方式進行促銷.經市場調查發(fā)現:當每噸售價每下降10元時,月銷售量就會增加7.5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其

15、他費用100元.設每噸材料售價為x(元),該經銷店的月利潤為y(元). (1)當每噸售價是240元時,計算此時的月銷售量. (2)求出y與x的函數關系式(不要求寫出x的取值范圍). (3)該經銷店要獲得最大月利潤,售價應定為每噸多少元? (4)小靜說:“當月利潤最大時,月銷售額也最大.”你認為對嗎?請說明理由. 【標準解答】(1)45+260-240107.5=60(噸). (2)y=(x-100)45+260-x107.5,化簡得:y=-34x2+315x-24000. (3)y=-34x2+315x-24000=-34(x-210)2+9075. 利達經銷店要獲得最大月利潤

16、,材料的售價應定為每噸210元. (4)小靜說的不對.理由:當月利潤最大時,x為210元,而對于月銷售額W=x45+260-x107.5=-34(x-160)2+19200來說,當x為160元時,月銷售額W最大. ∴當x為210元時,月銷售額W不是最大.∴小靜說的不對. 1.某廣告公司要為客戶設計一幅周長為12m的矩形廣告牌,廣告牌的設計費為每平方米1000元. 請你設計一個廣告牌邊長的方案,使得根據這個方案所確定的廣告牌的長和寬能使獲得的設計費最多,設計費最多為多少元? 2.九年級數學興趣小組經過市場調查,得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如表: 售價(元/件) 100

17、 110 120 130 … 月銷量(件) 200 180 160 140 … 已知該運動服的進價為每件60元,設售價為x元. (1)請用含x的式子表示:①銷售該運動服每件的利潤是　　　　元;②月銷量是　　　　件.(直接寫出結果) (2)設銷售該運動服的月利潤為y元,那么售價為多少時,當月的利潤最大,最大利潤是多少? 　　6.拋物線上是否存在點的探究方法 　　(1)虛擬檢驗法:欲探究拋物線是否存在滿足條件A,B的點,先虛擬出符合條件A的點,然后再檢驗點是否滿足條件B.滿足即存在,反之不存在. 　　(2)分類探究法:欲探究拋物線上符合某條件的P點是否存在,可借助圖形

18、特殊點位置進行分類討論. 　　(3)求解探索法:欲探索拋物線上滿足條件A,B的點P是否存在,根據條件A,B列出關于P點坐標的方程(組),有解則存在,反之則不存在. 【例】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點M(-2,3),頂點坐標為N-1,433,且與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點. (1)求拋物線的解析式. (2)點P為拋物線對稱軸上的動點,當△PBC為等腰三角形時,求點P的坐標. (3)在直線AC上是否存在一點Q,使△QBM的周長最小?若存在,求出Q點坐標;若不存在,請說明理由. 【標準解答】(1)由拋物線頂點坐標為N-1,433,可設其解析式為y=a(

19、x+1)2+433, 將M(-2,3)代入,得3=a(-2+1)2+433,解得a=-33, 故所求拋物線的解析式為 y=-33x2-233x+3. (2)∵y=-33x2-233x+3, ∴x=0時,y=3,∴C(0,3). y=0時,-33x2-233x+3=0,解得x=1或x=-3, ∴A(1,0),B(-3,0), ∴BC=OB2+OC2=23. 設P(-1,m),顯然PB≠PC,所以 當CP=CB時,有CP=1+(m-3)2=23,解得m=311; 當BP=BC時,有BP=(-1+3)2+m2=23,解得m=22. 綜上,當△PBC為等腰三角形時,點P的坐標為

20、(-1,3+11),(-1,3-11),(-1,22),(-1,-22). (3)由(2)知BC=23,AC=2,AB=4, 所以BC2+AC2=AB2,即BC⊥AC. 連接BC并延長至B,使BC=BC,連接BM,交直線AC于點Q, ∵B,B關于直線AC對稱, ∴QB=QB, ∴QB+QM=QB+QM=MB, 又BM=2,所以此時△QBM的周長最小. 由B(-3,0),C(0,3),易得B(3,23). 設直線MB的解析式為y=kx+n, 將M(-2,3),B(3,23)代入,得-2k+n=3,3k+n=23.解得k=35,n=735. 即直線MB的解析式為y=35x+7

21、35. 同理可求得直線AC的解析式為 y=-3x+3. 由y=35x+735,y=-3x+3解得x=-13,y=433. 即Q-13,433, 所以在直線AC上存在一點 Q-13,433,使△QBM的周長最小. 1.如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A12,52和B(4,m),點P是線段AB上異于A,B的動點,過點P作PC⊥x軸于點D,交拋物線于點C. (1)求拋物線的解析式. (2)是否存在這樣的P點,使線段PC的長有最大值,若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由. (3)求△PAC為直角三角形時點P的坐標. 2.如圖1,關于

22、x的二次函數y=-x2+bx+c經過點A(-3,0),點C(0,3),點D為二次函數的頂點,DE為二次函數的對稱軸,E在x軸上. (1)求拋物線的解析式. (2)DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等,若存在求出點P,若不存在,請說明理由. (3)如圖2,DE的左側拋物線上是否存在點F,使2S△FBC=3S△EBC,若存在,求出點F的坐標,若不存在,請說明理由. 跟蹤訓練答案解析 1.二次函數y=ax2+bx+c的配方步驟 【跟蹤訓練】 1.【解析】選C.y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,所以當x=1時,取得最大值5. 2.【解析】y=x2-4x+5=x2

23、-4x+4-4+5=(x-2)2+1. 答案:(x-2)2+1 3.【解析】∵y=x2+2x=(x+1)2-1, ∴二次函數y=x2+2x的頂點坐標是:(-1,-1),對稱軸是直線x=-1. 答案:(-1,-1)　x=-1 2.確定二次函數解析式的方法 【跟蹤訓練】 1.【解析】選C.因為此拋物線的頂點為(0,1),向右平移1個單位,再向上平移1個單位長度后的頂點為(1,2),所以所得拋物線為y=-2(x-1)2+2. 2.【解析】因為拋物線y=x2的圖象向上平移1個單位,根據圖象移動與關系式的變化規(guī)律可得y=x2+1. 答案:y=x2+1 3.【解析】∵點C在直線x=2上

24、,且到拋物線的對稱軸的距離等于1, ∴拋物線的對稱軸為直線x=1或x=3, 當對稱軸為直線x=1時,設拋物線解析式為y=a(x-1)2+k, 則a+k=2,9a+k=3,解得a=18,k=158. 所以,y=18(x-1)2+158=18x2-14x+2, 當對稱軸為直線x=3時,設拋物線解析式為y=a(x-3)2+k, 則9a+k=2,a+k=3,解得a=-18,k=258. 所以,y=-18(x-3)2+258=-18x2+34x+2, 綜上所述,拋物線的函數解析式為 y=18x2-14x+2或y=-18x2+34x+2. 答案:y=18x2-14x+2或y=-18x2

25、+34x+2 4.【解析】設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c,把(0,49),(1,46),(4,25)代入函數解析式可得c=49,a+b+c=46,16a+4b+c=25.解得a=-1,b=-2,c=49. ∴函數的解析式為y=-x2-2x+49. 此函數的解析式的頂點橫坐標-1即為最適合的溫度. 答案:-1 3.二次函數y=ax2+bx+c中的系數值對拋物線的影響 【跟蹤訓練】 1.【解析】選B.A.由開口向下,可得a<0;又由拋物線與y軸交于負半軸,可得c<0,然后由對稱軸在y軸右側,得到b與a異號,則可得b>0,故得abc>0,故本選項錯誤;B.根據圖知對稱軸為直線

26、x=2,即-b2a=2,得b=-4a,再根據圖象知當x=1時,y=a+b+c=a-4a+c=-3a+c<0,故本選項正確;C.由拋物線與x軸有兩個交點,可得b2-4ac>0,故本選項錯誤;D.y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac-b24a, ∵-b2a=2,∴原式=a(x-2)2+4ac-b24a,向左平移2個單位后所得到拋物線的解析式為y=ax2+4ac-b24a,故本選項錯誤. 2.【解析】選D.①∵拋物線的開口向上, ∴a>0, ∵對稱軸在y軸的左側,∴b>0 ∴ab>0,故①正確; ②∵觀察圖象知, 當x=1時y=a+b+c>0,∴②正確; ③∵拋物線的對稱軸為

27、x=-1,與x軸交于(0,0),∴另一個交點為(-2,0), ∴當-2

28、1,b=2. 所以一元二次方程ax2+bx=0為-x2+2x=0.解得x1=0,x2=2. 答案:x1=0,x2=2 3.【解析】(1)利用二次函數與一元二次方程的關系,直接用判別式解答. ∵y=-x2+6x+c與x軸有交點, ∴-x2+6x+c=0有實數根, ∴Δ=b2-4ac≥0, 即62-4(-1)c≥0,解得c≥-9. (2)∵-x2+6x+c=0有解, 且x12+x22=26, ∴c≥-9,(x1+x2)2-2x1x2=26, 即-6-12-2c-1=26,解得c=-5. (3)設P的坐標為(m,n),則Q點坐標為(n,m),且m>0,n>0,m≠n, 將這

29、兩個點的坐標代入函數表達式得-m2+6m+c=n①,-n2+6n+c=m②. ①-②得:n2-m2+7(m-n)=0, (n-m)(m+n-7)=0, 故可得:m+n=7,故可得n=7-m, 代入方程②得:-m2+7m+(c-7)=0. 因為存在這樣的點,所以上述方程有解,所以判別式b2-4ac≥0, 即72-4(-1)(c-7)≥0,故c≥-214. 而當c=-214時,m=72,此時n=72, 故c>-214. 5.二次函數解決實際問題時的方法 【跟蹤訓練】 1.【解析】設矩形一邊長為xm,面積為Sm2,則另一邊長為12-2x2m, 則其面積S=x12-2x2=x(

30、6-x)=-x2+6x,∵0<2x<12,∴0

31、30元時,當月的利潤最大,最大利潤是9800元. 6.拋物線上是否存在點的探究方法 【跟蹤訓練】 1.【解析】(1)∵B(4,m)在直線y=x+2上, ∴m=4+2=6,∴B(4,6), ∵A12,52,B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上, ∴52=122a+12b+6,6=42a+4b+6. ∴a=2,b=-8,∴y=2x2-8x+6. (2)設動點P的坐標為(n,n+2),則C點的坐標為(n,2n2-8n+6), ∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6), =-2n2+9n-4=-2n-942+498, ∵PC>0,∴當n=94時,線段PC最大且為498.

32、(3)∵△PAC為直角三角形, (i)若點P為直角頂點,則∠APC=90, 由題意易知,PC∥y軸,∠APC=45,因此這種情形不存在; (ii)若點A為直角頂點,則∠PAC=90, 如圖1,過點A12,52作AN⊥x軸于點N,則ON=12,AN=52,過點A作AM⊥直線AB,交x軸于點M,則由題意易知,△AMN為等腰直角三角形, ∴MN=AN=52,∴OM=ON+MN=12+52=3,∴M(3,0), 設直線AM的解析式為:y=kx+b, 則:12k+b=52,3k+b=0,解得k=-1,b=3. ∴直線AM的解析式為:y=-x+3①, 又拋物線的解析式為:y=2x2-8x

33、+6②, 聯(lián)立①②式,解得:x=3或x=12(與點A重合,舍去),∴C(3,0),即點C,M重合. 當x=3時,y=x+2=5.∴P1(3,5). (ⅲ)若點C為直角頂點,則∠ACP=90. ∵y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2, ∴拋物線的對稱軸為直線x=2, 如圖2,作點A12,52關于對稱軸x=2的對稱點C, 則點C在拋物線上,且C72,52. 當x=72時,y=x+2=112,∴P272,112. ∵點P1(3,5),P272,112均在線段AB上, ∴綜上所述,△PAC為直角三角形時,點P的坐標為(3,5)或72,112. 2.【解析】(1)將A(-3

34、,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c得:c=3,-9-3b+c=0. 解得:b=-2,c=3.∴y=-x2-2x+3. (2)存在. 當點P在∠DAB的角平分線上時,作PM⊥AD,設P(-1,y0),則PM=PDsin∠ADE=55(4-y0),PE=y0, ∵PM=PE,∴55(4-y0)=y0, 解得:y0=5-1, 當點P在∠DAB的外角平分線上時,作PN⊥AD,設P(-1,y0), 則PN=PDsin∠ADE=55(4-y0), PE=-y0, ∵PN=PE,∴55(4-y0)=-y0, 解得:y0=-5-1, ∴點P的坐標為P1(-1,5-1),P2(-1,-5-1). (3)S△EBC=3又2S△BCF=3S△EBC, ∴S△BCF=92, 過F作FQ⊥x軸交BC的延長線于Q, 則S△FBC=S△FBQ-S△FCQ=12FQOB=92 ∵BC的解析式為:y=-3x+3, 設F(x0,-x02-2x0+3)則Q(x0,-3x0+3) ∴-3x0+3+x02+2x0-3=9, ∴x02-x0-9=0, ∴x0=1-372,x0=1+372舍去, ∴點F的坐標為1-372,337-152. 20 / 20