遼寧省沈陽市高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題 理(含解析)新人教A版

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1、 遼寧省沈陽市2013年高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(5分)(2013?沈陽二模)復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點在( ?。?   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考點: 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算;復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.. 專題: 計算題. 分析: 利用復(fù)數(shù)的運算法則和幾何意義即可得出. 解答: 解:∵復(fù)數(shù)===1﹣(i﹣1)=2﹣i,所對應(yīng)的點為(2,﹣1)位于第四象限. 故選D. 點評: 熟練掌握復(fù)數(shù)的

2、運算法則和幾何意義是解題的關(guān)鍵.   2.(5分)(2013?沈陽二模)已知非空集合A,B,全集U=A∪B,集合M=A∩B,集合N=(CUB)∩(CUA),則(  )   A. M∪N=M B. M∩N=? C. M=N D. M?N 考點: 交、并、補集的混合運算.. 專題: 計算題. 分析: 根據(jù)題目給出的全集是U,M,N是全集的子集,由圖形表示出三個集合間的關(guān)系,從而看出M∩N是空集的選項. 解答: 解:集合M,N (N=(CUB)∩(CUA)是圖中陰影部分表示的集合)的關(guān)系如圖, 由圖形看出,M∩N是空集. 故選B. 點評: 本題考

3、查了交、并、補集的混合運算,考查了集合的圖形表示法,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想,是基礎(chǔ)題.   3.(5分)(2013?沈陽二模)已知{an}是等差數(shù)列,a4=15,S5=55,則過點P(3,a3),Q(4,a4)的直線斜率為( ?。?   A. 4 B. C. ﹣4 D. ﹣ 考點: 等差數(shù)列的性質(zhì);直線的斜率.. 專題: 綜合題. 分析: 由S5=55,求出a3的值,即可求出a4﹣a3的值,利用兩點求斜率的方法表示出直線的斜率,然后把a4﹣a3的值代入即可求出直線的斜率. 解答: 解:∵{an}是等差數(shù)列, ∴S5=5a3=55,∴a3=11.

4、∴a4﹣a3=15﹣11=4, ∴kPQ===4. 故選A 點評: 此題考查學(xué)生運用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡求值,會根據(jù)兩點的坐標(biāo)求過兩點直線的斜率,是一道基礎(chǔ)題.   4.(5分)(2013?沈陽二模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入a=2,則輸出的結(jié)果為( ?。?   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 考點: 程序框圖.. 專題: 圖表型. 分析: 當(dāng)S=0+2=2,a=1﹣2=﹣1,i=1+1=2,滿足n≤5,執(zhí)行循環(huán)體,依此類推,i=1+5=6,不滿足n≤5,退出循環(huán)體,輸出此時的S的值. 解答: 解:當(dāng)S=0+2=2,a=1﹣2=﹣1

5、,i=1+1=2,滿足n≤5,執(zhí)行循環(huán)體; 當(dāng)S=2﹣1=1,a=1+1=2,i=2+1=3,滿足n≤5,執(zhí)行循環(huán)體; 當(dāng)S=1+2=3,a=1﹣2=﹣1,i=3+1=4,滿足n≤5,執(zhí)行循環(huán)體; 當(dāng)S=3﹣1=2,a=1+1=2,i=4+1=5,滿足n≤5,執(zhí)行循環(huán)體; 當(dāng)S=2+2=4,a=1﹣2=﹣1,i=5+1=6,不滿足n≤5,退出循環(huán)體, 輸出此時的S=4. 故選B. 點評: 本題主要考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu),循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式:當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu),當(dāng)型循環(huán)是先判斷后循環(huán),直到型循環(huán)是先循環(huán)后判斷,屬于基礎(chǔ)題之列.   5.(5分)(2013?沈陽二模)橢

6、圓C:與動直線l:2mx﹣2y﹣2m+1=0(m∈R),則直線l與橢圓C交點的個數(shù)為( ?。?   A. 0 B. 1 C. 2 D. 不確定 考點: 球的體積和表面積.. 專題: 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: 先整理直線方程判斷出直線恒過的點,然后把此點代入橢圓方程判斷此點是在橢圓內(nèi)部還是外部,在內(nèi)部過此點的直線與橢圓一定有兩個交點. 解答: 解:整理直線方程得2m(x﹣1)+1﹣2y=0, ∴直線恒過(1,)點, 把點(1,)代入橢圓方程求得 ,可知此點在橢圓的內(nèi)部, ∴過此點的直線與橢圓有兩個交點 故選C. 點評: 本題主要考查了直

7、線與圓錐曲線的關(guān)系.考查了學(xué)生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合思想的運用.   6.(5分)(2013?沈陽二模)“a=1”是“(1+ax)6的展開式的各項系數(shù)之和為64”的( ?。?   A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件   C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 考點: 必要條件、充分條件與充要條件的判斷.. 專題: 計算題. 分析: 先通過觀察,令二項式中的x=1得到展開式的各項系數(shù)和.再由充要條件的定義直接判斷“a=1”?“(1+ax)6的展開式的各項系數(shù)之和為64”和“(1+ax)6的展開式的各項系數(shù)之和為64”?“a=1”是否正確即可.

8、 解答: 解:令二項式中的x=1得到展開式中各項系數(shù)之和為 (1+a)6=64,得1+a=2或1+a=﹣2,∴a=1或a=﹣3. “a=1”?“a=1或a=﹣3”,反之,“a=1或a=﹣3”不能?“a=1”, ∴“a=1”是“(1+ax)6的展開式的各項系數(shù)之和為64”的充分不必要條件. 故選B. 點評: 本題考查充要條件的判斷,考查求二項展開式的 系數(shù)和問題,一般通過觀察,通過給二項式中未知數(shù)賦值,求出展開式的各項系數(shù)和.   7.(5分)(2013?懷化三模)一個錐體的主視圖和左視圖如圖所示,下面選項中,不可能是該錐體的俯視圖的是(  )   A. B.

9、 C. D. 考點: 簡單空間圖形的三視圖. 專題: 作圖題. 分析: 由三視圖的作法規(guī)則,長對正,寬相等,對四個選項進行比對,找出錯誤選項. 解答: 解:本題中給出了正視圖與左視圖,故可以根據(jù)正視圖與俯視圖長對正,左視圖與俯視圖寬相等來找出正確選項 A中的視圖滿足三視圖的作法規(guī)則; B中的視圖滿足三視圖的作法規(guī)則; C中的視圖不滿足三視圖的作法規(guī)則中的寬相等,故其為錯誤選項; D中的視圖滿足三視圖的作法規(guī)則; 故選C 點評: 本題考查三視圖的作法,解題的關(guān)鍵是掌握住三視圖的作法規(guī)則即長對正,寬相等,高平齊,利用這些規(guī)則即可選出正確選項.  

10、8.(5分)(2013?沈陽二模)在等比數(shù)列{an}中,有,則a1a2…a6=( ?。?   A. B. C. 35 D. 36 考點: 等比數(shù)列的通項公式;等差數(shù)列的前n項和.. 專題: 計算題;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 由已知遞推公式,令n=2可求a3?a4,然后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得,a1a2…a6=即可求解 解答: 解:∵, ∴a3?a4=32 則由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,a1a2…a6==36 故選D 點評: 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)試題   9.(5分)(2013?沈陽二模)已知關(guān)于x的方程有正根,則實數(shù)

11、a的取值范圍是(  )   A. (0,1) B. (0.1,10) C. (0.1,1) D. (10,+∞) 考點: 函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 由指數(shù)函數(shù)y=()x的單調(diào)性可知,當(dāng)x>0時,0<()x<1,關(guān)于x的方程()x=有正根,?0<<1,解對數(shù)不等式可求得答案. 解答: 解:當(dāng)x>0時,0<()x<1 ∵關(guān)于x的方程()x=有正根 ∴0<<1 即﹣1<lga<0 ∴0.1<a<1 故選C. 點評: 本題主要考查了利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域,對數(shù)不等式的求解,及對數(shù)函數(shù)的特殊點的應(yīng)用.屬

12、于知識的簡單綜合.   10.(5分)(2013?沈陽二模)已知點O為△ABC外接圓的圓心,且由,則△ABC的內(nèi)角A等于(  )   A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 考點: 向量加減混合運算及其幾何意義;圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定.. 專題: 計算題. 分析: 根據(jù)三個向量之和是零向量,把移項,得到兩個向量的和等于,由O為△ABC外接圓的圓心結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形,得到要求的角. 解答: 解:由 ∴, 如圖由O為△ABC外接圓的圓心 結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形, ∴∠CAO=60,

13、∴△ABC的內(nèi)角A等于30 故選A. 點評: 本題考查向量加減混合運算及其幾何意義,考查三角形的外接圓的圓心的性質(zhì),是一個平面向量與平面幾何的綜合題目,題目的運算量比較小,是一個基礎(chǔ)題.   11.(5分)(2013?沈陽二模)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0,ω>0)的圖象在[﹣,﹣]上單調(diào)遞增,則ω的最大值是( ?。?   A. B. C. 1 D. 2 考點: y=Asin(ωx+φ)中參數(shù)的物理意義;正弦函數(shù)的單調(diào)性.. 專題: 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 分析: 先畫出函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0,ω>0)的圖

14、象,如圖,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0,ω>0)的圖象在[﹣,﹣]上單調(diào)遞增,就是在y軸左側(cè)的最低點必須在直線x=﹣的左側(cè),利用不等關(guān)系,求出ω的范圍,然后得到ω的最大值. 解答: 解:畫出函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0,ω>0)的圖象,如圖, 令A(yù)sin(ωx+ωπ)=﹣A,得ωx+ωπ=﹣,解得x=﹣π﹣, ∵函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0,ω>0)在[﹣,﹣]上單調(diào)遞增, 故﹣π﹣≤﹣, ∴ω≤1, ∴ωmax=1. 故選C. 點評: 本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性,考查計算能力和數(shù)形結(jié)合思想,是基礎(chǔ)題.   12.(5分

15、)(2013?沈陽二模)定義在(0,)上的函數(shù)f(x),f′(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有f(x)<f′(x)tanx成立,則( ?。?   A. B. C. D. 考點: 導(dǎo)數(shù)的運算.. 專題: 計算題;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: 把給出的等式變形得到f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0,由此聯(lián)想構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=,由其導(dǎo)函數(shù)的符號得到其在 (0,)上為增函數(shù),則,整理后即可得到答案. 解答: 解:因為x∈(0,),所以sinx>0,cosx>0. 由f(x)<f′(x)tanx,得f(x)cosx<f′(x)sinx. 即f′(x)sin

16、x﹣f(x)cosx>0. 令g(x)=x∈(0,),則. 所以函數(shù)g(x)=在x∈(0,)上為增函數(shù), 則,即,所以, 即. 故選D. 點評: 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則,考查了利用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,考查了函數(shù)構(gòu)造法,屬中檔題型.   二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題紙上. 13.(5分)(2013?沈陽二模)= 0?。? 考點: 定積分.. 專題: 計算題. 分析: 利用導(dǎo)數(shù)的運算法則和微積分基本定理,結(jié)合三角函數(shù)的二倍角公式,即可得出答案. 解答: 解:定積分 = = =(sinx+cosx)|0{

17、\;}^{\frac{π}{2}}=1﹣1=0. 故答案為:0. 點評: 本題考查定積分,解題的關(guān)鍵是掌握住定積分的定義及其公式,本題是基本概念題.   14.(5分)(2013?沈陽二模)將7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中,每個筆筒中至少放兩支筆,有 112 種放法.(用數(shù)字作答) 考點: 排列、組合及簡單計數(shù)問題.. 專題: 常規(guī)題型. 分析: 7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中,每個筆筒中至少放兩支筆,有2、5和3、4兩種數(shù)字組合,其中一個筆筒2個另一筆筒5個,有種放法,一個筆筒3個另一筆筒4個,有種放法,兩種組合的分法加起來,即可得解. 解答: 解:

18、7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中,每個筆筒中至少放兩支筆,有2、5和3、4兩種數(shù)字組合, ①一個筆筒2個另一筆筒5個,有種放法, ②一個筆筒3個另一筆筒4個,有種放法, 答:將7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中,每個筆筒中至少放兩支筆,有+=112種放法; 故答案為:112. 點評: 本題考查排列組合及簡單計數(shù)問題,考查分類計數(shù)原理,屬于基礎(chǔ)題.   15.(5分)(2013?沈陽二模)已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點,焦點在x軸上,左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且它們在第一象限的交點為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,雙曲線的離心率的取

19、值范圍為(1,2).則該橢圓的離心率的取值范圍是?。ǎ。? 考點: 雙曲線的簡單性質(zhì);橢圓的簡單性質(zhì).. 專題: 壓軸題;數(shù)形結(jié)合法. 分析: 作出圖象,結(jié)合圖象把問題轉(zhuǎn)化為1<<2,求的取值范圍. 解答: 解:如圖,設(shè)M(xM,yM), 雙曲線的半實軸長,半焦距分別為a2,c,|PF1|=m,|PF2|=n, 則?, 問題轉(zhuǎn)化為已知1<<2,求的取值范圍. 設(shè)=x,則c=,==﹣. ∵1<x<2,∴﹣<﹣<﹣,即<﹣<. 故答案為:(). 點評: 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,作出圖象,數(shù)形結(jié)合,事半功倍.   16.(5分)(2013?沈陽二模)

20、三棱錐A﹣BCD的外接球為球O,△ABC與△ACD都是以AC為斜邊的直角三角形,△BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形,且BD=,向量與的夾角為,則球O的表面積為 3π?。? 考點: 球的體積和表面積;球內(nèi)接多面體.. 專題: 空間位置關(guān)系與距離. 分析: 三棱錐A﹣BCD的各條側(cè)棱長都可以求出來,如圖,所以它的棱AC的中點即為球的球心,AC的長為球的直徑,然后解答即可. 解答: 解:∵向量與的夾角為,∴∠BAD=, 因△ABC與△ACD都是以AC為斜邊的直角三角形,且AC=DC, ∴△ABC≌△ACD, ∴AB=DA, ∴△ABD是等邊三角形, ∴有AB=AD=A

21、D=, 又棱AC的中點即為球的球心,AC的長為球的直徑, ∴它的外接球半徑是 AC= 外接球的表面積是 4π()2=3π 故答案為:3π 點評: 本題是基礎(chǔ)題,考查球的內(nèi)接體,球的表面積,考查計算能力,空間想象能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.   三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟,解答過程書寫在答題紙的對應(yīng)位置. 17.(12分)(2013?沈陽二模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且. (1)求角A; (2)若a=1,求△ABC的面積S的最大值. 考點: 正弦定理;余弦定理.. 專題: 計算題;解三角形. 分析: (1)根

22、據(jù)余弦定理關(guān)于cosA、cosC的式子代入已知等式,化簡整理可得(b+c)(b2+c2﹣a2)=0,從而得到b2+c2=a2,可得△ABC是以A為直角的直角三角形,所以A=; (2)根據(jù)(1)的結(jié)論,得到b2+c2=a2=1,利用基本不等式得到bc≤b2+c2=,結(jié)合△ABC的面積S=bc可得當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時,△ABC的面積的最大值為. 解答: 解:(1)由余弦定理,可得cosA=,cosC=, 代入已知等式,得,…(2分) 即=b+,去分母化簡得c(a2+b2﹣c2)=2b2c+b(b2+c2﹣a2), 整理,得(b+c)(b2+c2﹣a2)=0, ∵b+c>0,∴b2+c2

23、﹣a2=0,…(6分) 因此,b2+c2=a2可得△ABC是以A為直角的直角三角形,得A=.…(8分) (2)由(1)知b2+c2=a2=1, 又∵b2+c2≥2bc,∴bc≤b2+c2,可得bc≤(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取“=”),…(10分) ∵△ABC的面積S=bc,∴S=, 即當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時,△ABC的面積的最大值為.…(12分) 點評: 本題給出△ABC的邊角關(guān)系式,求角A的大小并求△ABC的面積的最大值.著重考查了利用正余弦定理解三角形、基本不等式求最值和勾股定理等知識,屬于中檔題.   18.(12分)如圖1,已知ABCD是上.下底邊長分別為2和6,高為的等腰梯形

24、,將它沿對稱軸OO1折成直二面角,如圖2. (Ⅰ)證明:AC⊥BO1; (Ⅱ)求二面角O﹣AC﹣O1的大?。? 考點: 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系;與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題.. 專題: 計算題;證明題. 分析: 本題可用兩種方法來解答: (解法一)(I)利用幾何體中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,求?=0來證明垂直; (II)求平面OAC和平面O1AC的法向量,再求二面角O﹣AC﹣O1的平面角的余弦值. (解法二)(I)由題意知證出AO⊥平面OBCO1,再由給出的長度求出OC⊥BO1,由三垂線定理AC⊥BO1; (II)由(I)證出BO1⊥平面AOC,利用其

25、垂直關(guān)系作出二面角O﹣AC﹣O1的平面角,在直角 三角形中解. 解答: 解:解法一(I)證明:由題設(shè)知OA⊥OO1,OB⊥OO1. ∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB. 故可以O(shè)為原點,OA、OB、OO1, 所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 如圖3,則相關(guān)各點的坐標(biāo)是A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,) O1(0,0,). ∴=(﹣3,1,),=(0,﹣3,),?=﹣3+?=0. ∴AC⊥BO1. (II)解:∵?=﹣3+?=0,∴BO1⊥OC, 由(I)AC⊥BO1,∴BO1⊥平面OAC,是平面OAC的一個法向量.

26、 設(shè)=(x,y,z)是平面O1AC的一個法向量, 由?,取z=,得=(1,0,). 設(shè)二面角O﹣AC﹣O1的大小為θ,由、的方向知, cosθ=cos<,>== 即二面角O﹣AC﹣O1的大小是arccos. 解法二(I)證明:由題設(shè)知OA⊥OO1,OB⊥OO1, ∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角, 即OA⊥OB.則AO⊥平面OBCO1,OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影. ∵tan∠OO1B==,tan∠O1OC==, ∴∠OO1B=60,∠O1OC=30,則OC⊥BO1 由三垂線定理得AC⊥BO1. (II)解:由(I)AC⊥BO1,OC⊥BO1,知BO1⊥平

27、面AOC. 設(shè)OC∩O1B=E,過點E作EF⊥AC于F,連接O1F(如圖4), 則EF是O1F在平面AOC內(nèi)的射影,由三垂線定理得O1F⊥AC. ∴∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角. 由題設(shè)知OA=3,OO1=,O1C=1, ∴O1A==2,AC==, ∴O1F==,又O1E=OO1?sin30=, ∴sin∠O1FE==即二面角O﹣AC﹣O1的大小是arcsin. 點評: 本題為一題多解的情況,一種是向量法,需要利用已有的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,向量的數(shù)量積來證垂直,求平面的法向量來求二面角的余弦值;另一種用垂直關(guān)系的定義和定理,三垂線定理來證明垂直,作

28、出二面角O﹣AC﹣O1的平面角.向量法簡單.   19.(12分)(2013?沈陽二模)在一次數(shù)學(xué)測驗后,班級學(xué)委對選答題的選題情況進行統(tǒng)計,如下表: 平面幾何選講 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 不等式選講 合計 男同學(xué)(人數(shù)) 12 4 6 22 女同學(xué)(人數(shù)) 0 8 12 20 合計 12 12 18 42 (1)在統(tǒng)計結(jié)果中,如果把平面幾何選講和極坐標(biāo)與參數(shù)方程稱為幾何類,把不等式選講稱為代數(shù)類,我們可以得到如下22列聯(lián)表: 幾何類 代數(shù)類 合計 男同學(xué)(人數(shù)) 16 6 22 女同學(xué)(人數(shù)) 8 12 20 合計 24

29、 18 42 據(jù)此統(tǒng)計你是否認(rèn)為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān),若有關(guān),你有多大的把握? (2)在原統(tǒng)計結(jié)果中,如果不考慮性別因素,按分層抽樣的方法從選做不同選做題的同學(xué)中隨機選出7名同學(xué)進行座談.已知這名學(xué)委和兩名數(shù)學(xué)科代表都在選做“不等式選講”的同學(xué)中. ①求在這名學(xué)委被選中的條件下,兩名數(shù)學(xué)科代表也被選中的概率; ②記抽取到數(shù)學(xué)科代表的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). 下面臨界值表僅供參考: P(x2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.02

30、4 6.635 7.879 10.828 考點: 離散型隨機變量的期望與方差;獨立性檢驗;離散型隨機變量及其分布列.. 專題: 概率與統(tǒng)計. 分析: (1)根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測值所用的數(shù)據(jù),把數(shù)據(jù)代入觀測值公式中,做出觀測值,同所給的臨界值表進行比較,得到所求的值所處的位置,得到百分?jǐn)?shù). (2)①令事件A為“這名學(xué)委被抽取到”;事件B為“兩名數(shù)學(xué)科代表被抽到”,利用條件概率求得兩名數(shù)學(xué)科代表也被選中的概率, ②記抽取到數(shù)學(xué)科代表的人數(shù)為X,由題X的可能值有0,1,2.依次求出相應(yīng)的概率求分布列,再求期望即可. 解答: 解:(1)由題X2==≈4.582>3.

31、841. 所以,據(jù)此統(tǒng)計有95%的把握認(rèn)為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān).…4 分 (2)由題可知在“不等式選講”的18位同學(xué)中,要選取3位同學(xué).…(6分) ①令事件A為“這名學(xué)委被抽取到”;事件B為“兩名數(shù)學(xué)科代表被抽到”, 則P(A∩B)=,P(A)=. 所以P(B|A)===.…(8分) ②由題X的可能值有0,1,2.依題P(X=0)==;P(X=1)==; P(X=0)==.…(10分) 從而X的分布列為: X 0 1 2 P …(11分) 于是EX=0+1+2=.…(12分) 點評: 本題考查離散型隨機變量及其分布列、獨立性檢驗的應(yīng)

32、用,考查根據(jù)列聯(lián)表做出觀測值,根據(jù)所給的臨界值表進行比較,本題是一個基礎(chǔ)題.   20.(12分)(2013?沈陽二模)已知拋物線C:y2=x,過定點A(x0,0),作直線l交拋物線于P,Q(點P在第一象限). (Ⅰ)當(dāng)點A是拋物線C的焦點,且弦長|PQ|=2時,求直線l的方程; (Ⅱ)設(shè)點Q關(guān)于x軸的對稱點為M,直線PM交x軸于點B,且BP⊥BQ.求證:點B的坐標(biāo)是(﹣x0,0)并求點B到直線l的距離d的取值范圍. 考點: 拋物線的簡單性質(zhì).. 專題: 綜合題. 分析: (1)先求出拋物線的焦點坐標(biāo),然后假設(shè)直線l的方程為:,將P,Q的坐標(biāo)設(shè)出,聯(lián)立直線和拋物線方程消

33、去x得到兩根之和,然后根據(jù)|PQ|的長度得到n的值. (2)先設(shè)l:x=my+x0(m≠0),再根據(jù)對稱性得到點M的坐標(biāo),聯(lián)立l與拋物線的方程消去x得到兩根之和、兩根之積,表示出和根據(jù)∥,得到關(guān)系式x2y1﹣y1xB=﹣x1y2+xBy2.再代入兩根之和、兩根之積可證明點B的坐標(biāo)是(﹣x0,0).先確定△BMQ為等腰直角三角形,得到kPB=1,再表示出點B到直線l的距離d即可求范圍. 解答: 解:(Ⅰ)由拋物線C:y2=x得拋物線的焦點坐標(biāo)為, 設(shè)直線l的方程為:,P(x1,y1),Q(x2,y2). 由得. 所以△=n2+1>0,y1+y2=n.因為, 所以. 所以n2=1.

34、即n=1. 所以直線l的方程為:或. (Ⅱ)設(shè)l:x=my+x0(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),則M(x2,﹣y2). 由得y2﹣my﹣x0=0. 因為,所以△=m2+4x0>0,y1+y2=m,y1y2=﹣x0. (ⅰ)設(shè)B(xB,0),則. 由題意知:∥,∴x2y1﹣y1xB=﹣x1y2+xBy2. 即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=y12y2+y22y1=(y1+y2)y1y2. 顯然y1+y2=m≠0,∴xB=y1y2=﹣x0.∴B(﹣x0,0). (ⅱ)由題意知:△BMQ為等腰直角三角形,∴kPB=1, 即,即.∴y1﹣y2=1. ∴(y

35、1+y2)2﹣4y1y2=1.∴m2+4x0=1.∴m2=1﹣4x0>0. ∴.∵,∴. ∴. 即d的取值范圍是. 點評: 本題主要考查拋物線和直線的綜合題.圓錐曲線和直線的綜合題是高考的熱點問題,每年必考,要給予重視.   21.(12分)(2013?沈陽二模)已知函數(shù)f(x)=,a∈R且a≠0. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng)a<0時,若,證明:. 考點: 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;不等式的證明.. 專題: 計算題;綜合題;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: (1)對f(x)求導(dǎo)數(shù),得f(x)=,再分a的正負(fù)討論a、a+a2和a2的大小關(guān)系,即可得到f(

36、x)單調(diào)性的兩種情況,得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)原不等式進行化簡,等價變形得f(x2)﹣()x2<f(x1)﹣()x1.因此轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)h(x)=f(x)﹣()x在區(qū)間(a2+a,a2﹣a)內(nèi)單調(diào)遞減,而h(x)=,通過研究分子對應(yīng)二次函數(shù)在區(qū)間[a2+a,a2﹣a]上的取值,可得h(x)<0在x∈[a2+a,a2﹣a]上恒成立,因此h(x)=f(x)﹣()x在區(qū)間(a2+a,a2﹣a)內(nèi)是減函數(shù),從而得到原不等式成立. 解答: 解:(1)由題意,可得f(x)=x+==.…(2分) 令f(x)>0,因為x﹣a﹣a2>0故(x﹣a)(x﹣a2)>0. 當(dāng)a>0時,因為a+a

37、2>a且a+a2>a2,所以上不等式的解為(a+a2,+∞), 因此,此時函數(shù)f(x)在(a+a2,+∞)上單調(diào)遞增.…(4分) 當(dāng)a<0時,因為a<a+a2<a2,所以上不等式的解為(a2,+∞), 從而此時函數(shù)f(x)在(a2,+∞)上單調(diào)遞增,同理此時f(x)在(a+a2<a2)上單調(diào)遞減.…(6分) (2)要證原不等式成立,只須證明f(x2)﹣f(x1)<(x2﹣x1)(), 只須證明f(x2)﹣()x2<f(x1)﹣()x1. 因為, 所以原不等式等價于函數(shù)h(x)=f(x)﹣()x在區(qū)間(a2+a,a2﹣a)內(nèi)單調(diào)遞減.…(8分) 由(1)知h(x)=x﹣()+=,

38、 因為x﹣a﹣a2>0,所以考察函數(shù)g(x)=x2﹣++﹣a2,x∈[a2+a,a2﹣a]. ∵=a2>,且g(x)圖象的對稱軸x=∈[a2+a,a2﹣a], ∴g(x)≤g(a2﹣a)=0.…(10分) 從而可得h(x)<0在x∈[a2+a,a2﹣a]上恒成立, 所以函數(shù)h(x)=f(x)﹣()x在(a2+a,a2﹣a)內(nèi)單調(diào)遞減. 從而可得原命題成立 …(12分) 點評: 本題給出含有自然對數(shù)的基本初等函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并依此證明不等式在給定條件下成立.著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)等知識,屬于中檔題.   選修題:(請考

39、生在第22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.作答時請寫清題號.) 22.(10分)(2013?沈陽二模)選修4﹣1:幾何證明選講 如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,PA是過點A的直線,且∠PAC=∠ABC. (1)求證:PA是⊙O的切線; (2)如果弦CD交AB于點E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求直徑AB的長. 考點: 與圓有關(guān)的比例線段;相似三角形的性質(zhì).. 專題: 直線與圓. 分析: (1)利用切線的判定定理:只要證明∠PAB=90,又經(jīng)過半徑的外端即可. (2)設(shè)CE=6k,ED=5k,AE=2m

40、,EB=3m,利用相交弦定理可得AE?EB=CE?ED,于是6m2=30k2,得m=5k.由△AEC∽△DEB,可得DB8=3m6k,得出BD=45.由△CEB∽△AED,得BCAD=CEAE.在Rt△ABC,Rt△ADB中,利用勾股定理可得BC2=25m2﹣64,AD2=25m2﹣80,即可解出. 解答: (1)證明:AB為直徑,∠ACB=90,∴∠CAB+∠ABC=90, ∵∠PAC=∠ABC,∴∠PAC+∠CAB=90, ∴PA⊥AB,∵AB為直徑,∴PA為圓的切線. (2)設(shè)CE=6k,ED=5k,AE=2m,EB=3m, ∵AE?EB=CE?ED,∴6m2=30k2,得m

41、=k. 連接DB,由△AEC∽△DEB,∴,∴BD=. 連接AD,由△CEB∽△AED,得. 在Rt△ABC,Rt△ADB中,BC2=25m2﹣64,AD2=25m2﹣80,于是有, 解得m=2,∴AB=AE+EB=10. 點評: 本題綜合考查了切線的判定定理、相交弦定理、三角形相似、勾股定理、成比例線段等基礎(chǔ)知識與方法,需要較強的推理能力和計算能力.   23.(2013?沈陽二模)選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中,圓C的方程是x2+y2﹣4x=0,圓心為C.在以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,曲線C1:與圓C相交于A,B兩點. (1)

42、求直線AB的極坐標(biāo)方程; (2)若過點C(2,0)的曲線C2:(t是參數(shù))交直線AB于點D,交y軸于點E,求|CD|:|CE|的值. 考點: 簡單曲線的極坐標(biāo)方程;點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化;參數(shù)方程化成普通方程.. 專題: 直線與圓. 分析: (1)先利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ將曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再與圓C的方程聯(lián)立方程組解出交點坐標(biāo),從而得到AB的直角坐標(biāo)方程,最后再將它化成極坐標(biāo)方程即可; (2)將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,利用參數(shù)的幾何意義可求|CD|:|CE|的值. 解答: 解:(1)在以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸

43、為極軸建立的極坐標(biāo)系中, 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)有關(guān)系:x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2+4y=0,…(2分) 聯(lián)立曲線C:x2+y2﹣4x=0,得或 即不妨令A(yù)(0,0),B(3,﹣),從而直線AB的直角坐標(biāo)方程為:y=﹣x, 所以,ρsinθ=﹣ρcosθ,即tanθ=﹣,…(4分) 所以直線AB的極坐標(biāo)方程為θ=﹣,(ρ∈R).…(5分) (2)由(1)可知直線AB的直角坐標(biāo)方程為:y=﹣x,…(6分) 依題令交點D(x1,y1)則有, 又D在直線AB上,所以,=﹣(2+t1),解得t1=﹣, 由直線參數(shù)方程的定義知|CD|=|t1|=

44、,…(8分) 同理令交點E(x2,y2),則有, 又E在直線x=0上,所以2+=0,解得t2=﹣, 所以|CE|=|t2|=,…(9分) 所以|CD|:|CE|=.…(10分) 點評: 本題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化,點到直線的距離公式.要求學(xué)生能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置,體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別,能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,屬于中等題.   24.(2013?沈陽二模)選修4﹣5:不等式選講 已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|. (1)解不等式:1≤f(x)+f(x﹣1)≤2; (2)若a>0,求證:f(ax)﹣af(

45、x)≤f(a). 考點: 絕對值不等式的解法.. 專題: 計算題;不等式的解法及應(yīng)用. 分析: (1)利用絕對值不等式的性質(zhì)可得f(x)+f(x﹣1)=|x﹣1|+|x﹣2|≥1,故只須解不等式f(x)+f(x﹣1)≤2即可,通過對x分x≤1,1<x≤2,x>2三類討論,去掉絕對值符號,解之即可; (2)當(dāng)a>0時,求得f(ax)﹣af(x)=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|,利用絕對值不等式的性質(zhì)可得|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=f(a),從而可證結(jié)論. 解答: 解:(1)由題f(x)+f(x﹣1)=|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1. 因

46、此只須解不等式f(x)+f(x﹣1)≤2.…(2分) 當(dāng)x≤1時,原不式等價于﹣2x+3≤2,即≤x≤1. 當(dāng)1<x≤2時,原不式等價于1≤2,即1<x≤2. 當(dāng)x>2時,原不式等價于2x﹣3≤2,即2<x≤. 綜上,原不等式的解集為{x|≤x≤}.…(5分) (2)由題f(ax)﹣af(x)=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|. 當(dāng)a>0時,f(ax)﹣af(x) =|ax﹣1|﹣|ax﹣a| =|ax﹣1|﹣|a﹣ax| ≤|ax﹣1+a﹣ax| =|a﹣1| =f(a).…(10分) 點評: 本題考查:絕對值不等式的解法,掌握雙絕對值不等式的性質(zhì),通過分類討論去掉絕對值符號是解題的關(guān)鍵,考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.   22

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