高級(jí)中學(xué)高中數(shù)學(xué) §23變量的相關(guān)性學(xué)案 新人教A版必修3

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1、 遼寧省新賓滿族自治縣高級(jí)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.3變量的相關(guān)性學(xué)案 新人教A版必修3 提出問題 （1）糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系嗎？ （2）兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系是什么？有幾種？ （3）兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷. 討論結(jié)果： （1）糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系,一般是在標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi),施肥越多,糧食產(chǎn)量越高；但是,施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素.因?yàn)榧Z食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降雨量、田間管理水平等因素的影響.例如:商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系.商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)有著密切的聯(lián)系,但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關(guān),還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān). （2）相關(guān)關(guān)系的概念：自

2、變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系,叫做相關(guān)關(guān)系.兩個(gè)變量之間的關(guān)系分兩類： ①確定性的函數(shù)關(guān)系, 例如我們以前學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)等； ②帶有隨機(jī)性的變量間的相關(guān)關(guān)系, 例如“身高者,體重也重”,我們就說身高與體重這兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系. （3）兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷：①散點(diǎn)圖: (散點(diǎn)圖的概念：將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫出來,得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖) ②根據(jù)散點(diǎn)圖中變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的離散程度,可以準(zhǔn)確地判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系. (a

3、.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．b.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系) ③正相關(guān)、負(fù)相關(guān):正相關(guān)與負(fù)相關(guān)的概念：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)相關(guān).（注：散點(diǎn)圖的點(diǎn)如果幾乎沒有什么規(guī)則,則這兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系） 應(yīng)用示例 例1 下列關(guān)系中,帶有隨機(jī)性相關(guān)關(guān)系的是_____________. ①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系 ②水稻產(chǎn)量

4、與施肥量之間的關(guān)系 ③人的身高與體重之間的關(guān)系 ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系 知能訓(xùn)練 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)： 房屋面積（m2） 115 110 80 135 105 銷售價(jià)格（萬元） 24.8 21.6 18.4 29.2 22 （1）畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖； （2）指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān); （3）關(guān)于銷售價(jià)格y和房屋的面積x,你能得出什么結(jié)論？ 解：（1）數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如下圖所示：

5、2.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān) 提出問題 （1）什么是線性相關(guān)？ （2）什么叫做回歸直線？ （3）如何求回歸直線的方程？什么是最小二乘法？它有什么樣的思想？ 討論結(jié)果 （1）如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系. （2）如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線.如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡(jiǎn)稱回歸方程) （3）實(shí)際上,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看,各點(diǎn)與此直線的距離最小”.人們經(jīng)過長期的實(shí)踐與研究,已經(jīng)得出了計(jì)算回歸方程的斜率與截距的一般公式 其中，b

6、是回歸系數(shù)，a是截距. 推導(dǎo)公式①的計(jì)算比較復(fù)雜，這里不作推導(dǎo).但是,我們可以解釋一下得出它的原理.假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，且所求回歸方程是=bx+a,,其中a、b是待定參數(shù).當(dāng)變量x取xi(i=1,2,…,n)時(shí)可以得到=bxi+a(i=1,2,…,n),它與實(shí)際收集到的yi之間的偏差是yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n). 這樣，用這n個(gè)偏差的和來刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的.由于（yi-）可正可負(fù)，為了避免相互抵消，可以考慮用來代替，但由于它含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，所以改

7、用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2 = ② 來刻畫n個(gè)點(diǎn)與回歸直線在整體上的偏差. 這樣，問題就歸結(jié)為:當(dāng)a,b取什么值時(shí)Q最小，即總體偏差最小.經(jīng)過數(shù)學(xué)上求最小值的運(yùn)算，a,b的值由公式①給出.通過求②式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法（method of least square）. 應(yīng)用示例 例1 給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)： 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y

8、 330 345 365 405 445 450 455 (1)畫出上表的散點(diǎn)圖; (2)求出回歸直線的方程. 解：(1)散點(diǎn)圖如下圖． (2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算,列成以下表格: 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4 950 6 900 9 125 12 150 15 575 18 000 20 475 故可得到 b=≈4.75, a=399.3-4.7530≈257.

9、 從而得回歸直線方程是=4.75x+257. 例2 一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間．為此進(jìn)行了10次試驗(yàn),測(cè)得數(shù)據(jù)如下： 零件個(gè)數(shù)x（個(gè)） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時(shí)間y（分） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 請(qǐng)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系,如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求線性回歸方程． 解：在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如下圖. 直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系．由測(cè)得的數(shù)據(jù)表可知： =38 500,=87

10、777,=55 950. b=≈0.668. a==91.7-0.66855≈54.96. 因此,所求線性回歸方程為=bx+a=0.668x+54.96. 點(diǎn)評(píng)：對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí),應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖,看其是否呈直線形,再依系數(shù)a,b的計(jì)算公式,算出a,b．求線性回歸方程的步驟：計(jì)算平均數(shù)；計(jì)算xi與yi的積,求∑xiyi；計(jì)算∑xi2；將結(jié)果代入公式求b；用a=求a；寫出回歸直線方程． 知能訓(xùn)練 1.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系（ ） A.角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積 C.正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和

11、 D.人的年齡和身高 2．三點(diǎn)(3,10),(7,20),(11,24)的線性回歸方程是（ ） A.=5.75-1.75x B.=1.75+5.75x C.=1.75-5.75x D.=5.75+1.75x 3．已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與所支出的維修費(fèi)用y（萬元）,有如下統(tǒng)計(jì)資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y 2．2 3．8 5．5 6．5 7．0 設(shè)y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求： （1）線性回歸方程=bx+a的回歸系數(shù)a,b； （2）估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用是多少？ 課堂小結(jié) 1．求線性回歸方程的步驟： （1）計(jì)算平均數(shù)； （2）計(jì)算xi與yi的積，求∑xiyi; （3）計(jì)算∑xi2,∑yi2， (4)將上述有關(guān)結(jié)果代入公式 求b,a,寫出回歸直線方程． 2.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過程.知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 5