【教學(xué)設(shè)計(jì)】《解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例》(北師大)

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1、 《解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例》 ◆ 教材分析 本節(jié)主要是正弦定理、余弦定理的進(jìn)一步應(yīng)用，利用正弦定理、余弦定理解決高度、距離、角度以及三角形的綜合應(yīng)用。 通過(guò)運(yùn)用正弦定、 余弦定理解決工業(yè)、 農(nóng)業(yè)等方面的實(shí)際問(wèn)題， 使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣， 培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決的能力。 ◆ 教學(xué)目標(biāo)

2、 【知識(shí)與能力目標(biāo)】 通過(guò)回顧正弦定理、 余弦定理的表達(dá)式及文字語(yǔ)言的敘述， 進(jìn)一步熟悉正、 余弦定理的 內(nèi)容、 作用及所解三角形的類(lèi)型， 能夠聯(lián)系勾股定理、 三角形面積定理及三角形內(nèi)角和公式 等有關(guān)三角形問(wèn)題靈活地解三角形。 【過(guò)程與方法目標(biāo)】 善于利用分類(lèi)討論的思想，先易后難、逐層推進(jìn)的思想解決一些繁、難三角形問(wèn)題，把對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練貫穿整節(jié)課的始終。 【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】 通過(guò)本節(jié)課的探究， 培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、 勇于創(chuàng)新、 善于分析以及具體問(wèn)題具體分析的 科學(xué)精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣， 并對(duì)正

3、弦定理、 余弦定理的反射美產(chǎn)生愉悅感， 從而激發(fā)學(xué)生 熱愛(ài)數(shù)學(xué)，熱愛(ài)科學(xué)的追求精神。 ◆ 教學(xué)重難點(diǎn) ◆ 【教學(xué)重點(diǎn)】 靈活選用正弦定理、余弦定理并結(jié)合面積公式進(jìn)行有關(guān)的三角形中的幾何計(jì)算。 【教學(xué)難點(diǎn)】 利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化及正弦、余弦定理與三角形有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用。 ◆ 課前準(zhǔn)備 ◆電子課件調(diào)整、相應(yīng)的教具帶好、熟悉學(xué)生名單、電子白板要調(diào)試好。 ◆ 教學(xué)過(guò)程 一、 新課導(dǎo)入 1、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C

4、 2、余弦定理： a 2 b2 c 2 2bc cos A, cos A b 2 c2 a2 2bc b 2 c2 a 2 2ca cos B, cos B c2 a 2 b2 2ca c 2 a 2 b 2 2ab cosC ， cosC a 2 b2 c 2 2ab 二、研

5、探新知，建構(gòu)概念 1. 解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意， 正確做出圖形， 把實(shí)際問(wèn)題里的 條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解。 2. 在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常會(huì)遇到一些有關(guān)角的術(shù)語(yǔ)： (1) 方向角：從指定方向到目標(biāo)方向線所成的水平角。 方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角 (2) 仰角與俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在 水平線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平線下方時(shí)叫俯角。( 如下圖所示 )

6、 三、 質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維 例 1．如圖，自動(dòng)卸貨汽車(chē)采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油 泵頂桿 BC 的長(zhǎng)度（如圖） ．已知車(chē)廂的最大仰角為 60，油泵頂點(diǎn) B 與車(chē)廂支點(diǎn) A 之間的距離為 1.95 m，AB 與水平線之 間的夾角為 60 20 / ，AC 長(zhǎng)為 1.40 m，計(jì)算 BC 的長(zhǎng)（保留三個(gè) 有效數(shù)字）。 分析 ：這個(gè)問(wèn)題就是在 ABC 中，已知 AB =1.95 m， AC =1.4 m, BAC 60 6 20 66 20 求 BC 的長(zhǎng)，由于已知的兩邊和它們的夾角，所以可根據(jù)余弦定理求出 BC。

7、 C 1.40m 解：由余弦定理，得 BC 2 AB 2 AC 2 2 AB AC cos A A 60 0 D 60 20 / 1.952 1.402 2 1.95 1.40 cos66 20 1.95m B 3.571 BC 1.89(m) 答：頂杠 BC 長(zhǎng)約為 1.89 m 解斜三角形理論應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題應(yīng)注意： 1、認(rèn)真分析題意，弄清 已知元素和未知元素。 2、要

8、明確題目中一些名詞、 術(shù)語(yǔ)的意義。 如視角， 仰角， 俯角，方位角等等 。 3、動(dòng)手畫(huà)出示意圖，利用幾何圖形的性質(zhì)，將已知和未知集中到一個(gè)三角形 中解決。 [ 來(lái)源 : Zx 變式訓(xùn)練 1：如圖 , 一艘船以 32 海里 / 時(shí)的速度向正北航行 , 在 A 處看燈塔 S 在 船的北偏東 20 0 , 30 分鐘后航行到 B 處 , 在 B 處看燈塔 S 在船的北偏東 650 方 向上 , 求燈 塔 S 和 B 處的距離。（保留到 0.1 ）  S 65 0 ?45 0 B 115 0 200 A

9、 解： AB 16 由正弦定理知 AB BS sin 45 0 sin 200 BS 10 sin 200 7.7 海里 sin 45 0 答：燈塔 S 和 B 處的距離約為 7.7 海里 例 2. 如圖，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪的高 AB ，從與

10、煙囪底部在同一水平直線上的 C， D 兩處，測(cè)得煙囪 的仰角分別是 450 和 60 0 , Ｃ、Ｄ間的距離 是 12m，已知測(cè)角儀器高 1.5 m. 求煙囪的高。 分析：因?yàn)? AB AA1 A1B ，又 AA1 1.5m 所以只要求出 A1 B 即可 解：在 BC1 D1 中， B BD1C1 1800

11、 60 0 1200 ， C1 BD1 60 0 450 150 C 1 D 1 A 1 A C1 D1 BC1 C D 由正弦定理得： sin C1BD1 sin BD1 C1 BC1 C1 D1 sin BD1C1 12sin 1200 (

12、18 2 6 6)m sin C1 BD1 sin150 從而： A B 2 BC 1 18 6 3 28.392m 1 2 因此： AB A1 B AA1 28.392 1.5 29.892 29.89m 答：煙囪的高約為 29.89m 變式訓(xùn)練 2：在山頂鐵塔上 B 處測(cè)得地面上一點(diǎn) A 的俯角 600

13、， 在塔底 C 處測(cè)得點(diǎn) A 的俯角 45 0 ，已知鐵塔 BC 部分高 32 米， 求山高 CD 。 解：在△ ABC 中，∠ ABC =30， B =60 0 ∠ACB =135 ， 32 C =45 0 ? D A ∴∠ CAB =180 － ( ∠ ACB +∠ ABC ) =180－ (135 +30 )=15 又 BC=32, [ 來(lái)源 : Com ] 由正弦定理

14、 BC AC sin BAC sin ABC 得： AC BC sin ABC 32sin 300 16 sin BAC sin150 16( 62 )m 62 4 四、 課堂小結(jié)： 1、本節(jié)課通過(guò)舉例說(shuō)明了解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用。掌握利用正弦定理及余弦定理 解任意三角形的方法。 2、在分析問(wèn)題解決問(wèn)題的過(guò)程中關(guān)鍵要分析題意， 分清已知與所求， 根據(jù)題意畫(huà)出示意圖， 并正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理解題。 3、在解實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想，其流程圖可表示為： 畫(huà)圖形 實(shí)際問(wèn)題 數(shù)學(xué)模型 解 三 角 形 檢驗(yàn)（答） 實(shí)際問(wèn)題的解 數(shù)學(xué)模型的解 五、作業(yè)布置： 課本 59 頁(yè)：練習(xí) 1、 2 ◆ 教學(xué)反思 略。