第3節(jié) 二維正態(tài)分布課件.ppt

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1、1 第 三 節(jié) 2 定 義 若 二 維 隨 機(jī) 向 量 ( X, Y ) 具 有 概 率 密 度記 作 .),(),( 22212 1NYX則 稱(chēng) ( X,Y)服 從 參 數(shù) 為 的 二 維 正 態(tài) 分 布 . , 21211|,0,0 21 其 中 均 為 常 數(shù) , 且 , 2121 ),( yxf 221 12 1 22 2221 2121 212 )(2 )(2)()1(2 1e yyxx 3 可 以 證 明 , 若 ),(),( 222121 NYX 則,),( 211 NX .),( 222 NY 這 就 是 說(shuō) , 二 維 正 態(tài) 分 布 的 兩 個(gè) 邊 緣 分 布 仍 然為 正

2、 態(tài) 分 布 , 而 且 其 邊 緣 分 布 不 依 賴(lài) 于 參 數(shù) . 因此 可 以 斷 定 參 數(shù) 描 述 了 X與 Y之 間 的 某 種 關(guān) 系 !由 聯(lián) 合 分 布 可 以 確 定 邊 緣 分 布 ；但 由 邊 緣 分 布 一 般 不 能 確 定 聯(lián) 合 分 布 .再 次 說(shuō) 明 聯(lián) 合 分 布 和 邊 緣 分 布 的 關(guān) 系 : 4 解 例 1 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 和 Y 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 為 8822exp),( 22 yyxCyx試 求 常 數(shù) C 和 各 參 數(shù) 的 值 ),( yxf 221 12 1 22 2221 2121 212 )(2 )(2)()1(2

3、 1e yyxx ;41 )2(4121exp),( 22 yxCyx ,041,241,0 222211 ， 5 解 8822exp),( 22 yyxCyx試 求 常 數(shù) C 和 各 參 數(shù) 的 值 ;41 )2(4121exp),( 22 yxCyx ,041,241,0 222211 ， .212 1 221 C例 1 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 和 Y 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 為 6 ),( yxf 221 12 1 22 2221 2121 212 )(2 )(2)()1(2 1e yyxx可 以 證 明 ， ,),(),( 22212 1NYX若則 其 中 的 參 數(shù) 即 為 X

4、、 Y 的 相 關(guān) 系 數(shù) ， 證 明 略 .若 = 0， 則 有 )()(2121 22 2221 21e2 1),( yxyxf ,e21e21 22 2221 21 2 )(22 )(1 yx 7,)()(),( yfxfyxf YX 前 面 說(shuō) 明 , 若 ),(),( 222121 NYX 則,),( 211 NX .),( 222 NY所 以 = 0時(shí) ， 有即 若 X 與 Y 不 相 關(guān) 性 ， 則 X 與 Y 必 獨(dú) 立 . 所 以 在 正 態(tài) 分 布 的 場(chǎng) 合 ,獨(dú) 立 性 與 不 相 關(guān) 性 是 等 價(jià) 的 . 22 2221 21 2 )(22 )(1 e21e21),

5、( yxyxf 8 ),4,0()3,1( 22 NNYX 和分 別 服 從 正 態(tài) 分 布與已 知 相 互 獨(dú) 立 ，與， 知由 YXXY 0例 2解 .),(,0 的 聯(lián) 合 密 度求若 YXXY )()(),( yfxfyxf YX 的 聯(lián) 合 密 度 為所 以 ),( YX 2222 4232 )1( e24 1e23 1 yx .e241 3218)1( 22 yx 9 例 3解 由 題 意 知 ,所 以 (X,Y )的 協(xié) 方 差 矩 陣 為)( YXD ,),(Cov2)()( YXYDXD ,1 DYDX ,0)( YXD而 得 ,1),cov( YX .11 11 V 10 練 習(xí) ：P114 習(xí) 題 三