高中數(shù)學(xué)《歸納與類比》素材1北師大版選修2-2

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1、 探究問(wèn)題解決的巧妙之法——?dú)w納與類比 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的本身往往是對(duì)已有知識(shí)的不斷提升， 比如我們?cè)趯W(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)和 分式的混合運(yùn)算時(shí)通常是類比分?jǐn)?shù)來(lái)進(jìn)行的， 這就是運(yùn)用類比的方法來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)。 在考試 中也經(jīng)常由簡(jiǎn)單問(wèn)題切入， 不斷改變問(wèn)題的條件， 升級(jí)問(wèn)題的難度， 并在此過(guò)程中通過(guò)類比 和歸納的方法來(lái)獲得解決問(wèn)題的途徑，進(jìn)而解決問(wèn)題 . 下面通過(guò)分析典型例題來(lái)詮釋歸納和類這種數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用 . 例 1. 兩個(gè)全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重疊在一起，其中 A 60 ，AC=1. 固定△ ABC 不動(dòng)，將△ DEF

2、進(jìn)行如下操作： (1) 如圖 1(1) ，△ DEF 沿線段 AB 向右平移 (即 D 點(diǎn)在線段 AB 內(nèi)移動(dòng) )，連結(jié) DC、CF 、FB， 四邊形 CDBF 的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請(qǐng)求出其面積 . (2) 如圖 1(2)，當(dāng) D 點(diǎn)移動(dòng)到 AB 的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你猜想四邊形 CDBF 的形狀，并說(shuō)明理由 . (3) 如圖 1(3)，△ DEF 的 D 點(diǎn)固定在 AB 的中點(diǎn)時(shí)，然后繞 D 點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)△ DEF ， 使 DF 落在 AB 邊上，此時(shí) F 點(diǎn)恰好與 B 點(diǎn)重合，連結(jié)

3、AE，請(qǐng)你求出 sin α的值 . C ( F) C F C F A (F) (E)

4、 D B A A B E D 圖 1(1) D 圖 1(2) B E 解： α (1) 過(guò) C 點(diǎn)作 CG⊥AB 于 G，在 Rt△ AGC 中，

5、 ∵ A 60 , AC 1， sin A =sin60 = CG ， 圖 1(3) E AC ∴ CG 3 . 又∵ AB =2， C F 2 ∴ S 梯形 CDBF =S△ ABC = 1 AB CG = 1 2 3 3 .

6、 2 2 2 2 A G B E (2) 菱形 D 解圖 1(1) 理由如下： C (F) ∵ CD∥ BF ， FC∥ BD ，∴四邊形 CDBF 是平行四邊形 . ∵ DF∥ AC ，∠ ACB=9

7、0 ，∴ CB⊥DF ， ∴四邊形 CDBF 是菱形 . (F) (3) 過(guò) D 點(diǎn)作 DH ⊥AE 于 H， A (E) D B 則 S△ ADE = 1 AD EB 1 1 3 3 .

8、 H 2 2 2 又 S△ ADE = 1 AE DH 3 ，則 DH 3 3 (或 21 ) . α 2 2 AE 7 7 解圖 1(3) E ∴在 Rt△ DHE 中， sin α= DH 2 3 (或 21 ) .

9、 DE 7 14 用心 愛(ài)心 專心 點(diǎn) ： 如果 看第（ 3） 是不易求解的，但借助前兩 的 ，并且在解決 運(yùn)用 比的方法就可以 得解決 的渠道． 例 2．將一 透明的平行四 形膠片沿 角 剪開(kāi)， 得到 2(1)中的兩 三角形膠片 △ ABC 和 △ DEF ．將 兩 三角形膠片的 點(diǎn) B 與 點(diǎn) E 重合，把 △ DEF 點(diǎn) B 順時(shí)針 方向旋 ， AC 與 DF

10、 相交于點(diǎn) O ． C A A A E F O B F O FB(E) B(E) C D C D D 圖 2(1) 圖 2(2) 圖 2(3)

11、 （1）當(dāng) △DEF 旋 至如 C、D 在同一直 上 ， AFD 與 DCA 2(2)位置 ，點(diǎn) B( E) 、 的數(shù)量關(guān)系是 ． （ 2）當(dāng) △ DEF 旋 至如 2(3)位置 ，（ 1）中的 成立 ？ 明理由． （ 3）在 2(3) 中， 接 BO、AD ，探索 BO 與 AD 之 有怎 的位置關(guān)系，并 明． 解：（ 1） AFD DCA （或相等）． （ 2） AFD DCA （或成立）． 理由

12、如下： 由 △ ABC ≌△ DEF ，得到： AB DE， BC EF （或 BF EC ）， ABC DEF BAC， EDF ． ABC FBC DEF CBF ， ABF DEC ． AB DE， 在 △ ABF 和 △ DEC 中， ABF DEC， BF EC， △ ABF ≌△ DEC， BAF

13、 EDC ． BAC BAF EDF EDC， FAC CDF ． AOD FAC AFD CDF DCA ， AFD DCA ． （ 3）如 ， BO AD ． A 由 △ ABC ≌△ DEF ，點(diǎn) B 與點(diǎn) E 重合， 得到 BAC BDF，BA BD ． G 點(diǎn) B 在 AD 的垂直平分 上， F O

14、 且 BAD BDA ． B(E) C D OAD BAD BAC ， ODA BDA BDF ， OAD ODA ， OA OD ，∴點(diǎn) O 在 AD 的垂直平分 上． 直 BO 是 AD 的垂直平分 ， BO AD ． 點(diǎn) ： 本 是 直 型 的 合考察， 了降低 度， 目由淺入深， 學(xué)生搭建了 比 和 的空 ，其中第（ 2） 的“ 成立

15、？” 的字眼可以引 學(xué)生 行 探究和 比． B A 例 3．如 3，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射 OA ， OB ， 8 7 2 OC ， OD ， OE ， OF ，從射 OA 開(kāi)始按逆 C 9 3 1 F O 6 1， 2，3， 4， 5，6， 7，?． 4 方向依次在射 上寫出數(shù)字 12 10 5

16、 11 用心 愛(ài)心 專心 E D 圖 3 （1）“ 17”在射線 上． （ 2）請(qǐng)任意寫出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律． （ 3）“ 2007”在哪條射線上？ 解：（ 1）“ 17”在射線 OE 上． （ 2）射線 OA 上數(shù)字的排列規(guī)律： 6n 5 ；射線 OB 上數(shù)字的排列規(guī)律： 6n 4； 射線 OC 上數(shù)字的排列規(guī)律： 6n 3 ；射線 O

17、D 上數(shù)字的排列規(guī)律： 6n 2 ； 射線 OE 上數(shù)字的排列規(guī)律： 6n 1；射線 OF 上數(shù)字的排列規(guī)律： 6n ． （ 3）在六條射線上的數(shù)字規(guī)律中，只有6n 3 2007 有整數(shù)解，解為 n 335 ． ∴“ 2007 ”在射線 OC 上． 點(diǎn)評(píng)： 一般地，找規(guī)律的題目實(shí)際上均蘊(yùn)含了歸納的思想 . 例 4．如圖 4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) P0 的坐標(biāo)為 (1，0) ，將線段 OP0 按逆時(shí)針?lè)较? 旋轉(zhuǎn) 45 ，再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為 OP0 的 2 倍，得到線段 OP1 ；又將線段 OP1 按逆時(shí)針?lè)?

18、向旋轉(zhuǎn) 45 ，長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為 OP1 的 2 倍，得到線段 OP2 ；如此下去， 得到線段 OP3 ，OP4 ， P3 y ， OPn （ n 為正整數(shù)） . P2 P4 P （1）求點(diǎn) P6 的坐標(biāo)；（ 2）求 △ 5 6 的面積； 1 POP O P0 (10)， x （3）我們規(guī)定：把點(diǎn) Pn (xn， yn ) （ n 01，，2，3， ） 的橫坐標(biāo) xn 、縱坐標(biāo) yn

19、都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo) 圖 4 xn ，yn 稱之為點(diǎn) Pn 的“絕對(duì)坐標(biāo)” ． P5 根據(jù)圖中點(diǎn) Pn 的分布規(guī)律，請(qǐng)你猜想點(diǎn) Pn 的 “絕對(duì)坐標(biāo)” ，并寫出來(lái)． 解：（ 1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點(diǎn) P6 落在 y 軸的負(fù)半軸，而點(diǎn) Pn 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離始終等于前一 個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的 2 倍，故其坐標(biāo)為 6 ，6 ) ，即 P6 ， ． P (0 2 (0 64)

20、 （ 2）由已知可得， △ P0OP1 ∽△ POP12 ∽ ∽△ Pn 1OPn ， P (x y ) y 2sin45 2 S 0 1 1 OP y 1 2 設(shè) 1 1， 1 ，則 1 ， △P OP 2 0 1 2 2 . 又 OP6 32 ， 56 ( OP6 )2 32 2 1024 ，

21、 S△ P OP OP1 S△ P0OP1 OP1 1 ∴ S△ P OP 1024 S P OP 1024 2 512 2 . 2 5 6 0 1 用心 愛(ài)心 專心

22、 （3）由題意知， OP0 旋轉(zhuǎn) 8 次之后回到 x 軸正半軸，在這 8 次中，點(diǎn) Pn 分別落在坐標(biāo)象限 的平分線上或 x 軸或 y 軸上，但各點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點(diǎn) Pn 的坐標(biāo)可分三類情況： 令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為 n ： ①當(dāng) n 8k 或 n 8k 4 時(shí)（其中 k 為自然數(shù)），點(diǎn) Pn 落在 x 軸上，此時(shí)，點(diǎn) Pn 的絕對(duì) 坐標(biāo)為 (2 n，0) ； ②當(dāng) n 8k 1 或 n 8k 3 或 n 8k 5 或 n 8k 7 時(shí)（其中

23、 k 為自然數(shù)），點(diǎn) Pn 落在 各象限的平分線上， 此時(shí)，點(diǎn) Pn 的絕對(duì)坐標(biāo)為 2 2 n， 2 n ，即 2 n 1 ，n 1 2 ； 2 2 2 2 2 ③當(dāng) n 8k 2 或 n 8k 6 時(shí)（其中 k 為自然數(shù)），點(diǎn) Pn 落在 y 軸上，此時(shí)，點(diǎn) Pn 的絕 對(duì)坐標(biāo)為 (0，2n ) ． 點(diǎn)評(píng)： 歸納和類比的思想方法在這道題中得到了充分的體現(xiàn)， 第三問(wèn)雖然需要討論， 但其解 決的方法仍延承前面兩問(wèn)． 用心 愛(ài)心 專心