高考數學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題10 數學思想 第38練 數形結合思想 文-人教版高三數學試題

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1、第38練　數形結合思想 [思想方法解讀]　數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：①借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；②借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質． 數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決

2、．數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化．在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍． 數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合．如：銳角三角函數的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數是借助于直角坐標系或單位圓來定義的． 體驗高考 1．(2015·北京)如圖，

3、函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} 答案　C 解析　令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數g(x)的圖象如圖. 由　得 ∴結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1

4、值1，無最小值 C．有最小值－1，無最大值 D．有最大值－1，無最小值 答案　C 解析　由題意得，利用平移變化的知識畫出函數|f(x)|，g(x)的圖象如圖， 而h(x)＝， 故h(x)有最小值－1，無最大值． 3．(2015·重慶)若函數f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值為5，則實數a＝________. 答案　4或－6 解析　由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|， 當a>－1時， f(x)＝ 作出f(x)的大致圖象如圖所示， 由函數f(x)的圖象可知f(a)＝5， 即a＋1＝5，∴a＝4. 同理，當a≤－1時，－a－1＝5，∴a＝－6. 高考必

5、會題型 題型一　數形結合在方程根的個數中的應用 例1　方程sin πx＝的解的個數是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　C 解析　在同一平面直角坐標系中畫出y1＝sin πx和y2＝的圖象，如下圖： 觀察圖象可知y1＝sin πx和y2＝的圖象在第一象限有3個交點，根據對稱性可知，在第三象限也有3個交點，在加上原點，共7個交點，所以方程sin πx＝有7個解． 點評　利用數形結合求方程解應注意兩點 (1)討論方程的解(或函數的零點)可構造兩個函數，使問題轉化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性，否則會得到錯解． (2

6、)正確作出兩個函數的圖象是解決此類問題的關鍵，數形結合應以快和準為原則而采用，不要刻意去數形結合． 變式訓練1　若函數f(x)＝有且只有兩個不同的零點，則實數k的取值范圍是(　　) A．(－4,0) B．(－∞，0] C．(－4,0] D．(－∞，0) 答案　B 解析　當x>0時，f(x)＝lnx與x軸有一個交點， 即f(x)有一個零點． 依題意，顯然當x≤0時，f(x)＝－kx2也有一個零點，即方程－kx2＝0只能有一個解． 令h(x)＝，g(x)＝kx2， 則兩函數圖象在x≤0時只能有一個交點． 若k>0，顯然函數h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時有兩個交點

7、，即點A與原點O(如圖所示)． 顯然k>0不符合題意． 若k<0，顯然函數h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時只有一個交點， 即原點O(如圖所示)． 若k＝0，顯然函數h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時只有一個交點，即原點O. 綜上，所求實數k的取值范圍是(－∞，0]．故選B. 題型二　利用數形結合解決不等式函數問題 例2　已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝k有兩個不等的實根，則實數k的取值范圍是________． 答案　(0,1) 解析　當x≥2時，f(x)＝， 此時f(x)在[2，＋∞)上單調遞減， 且0

8、(x－1)3，此時f(x)過點(1,0)， (0，－1)， 且在(－∞，2)上單調遞增． 當x→2時，f(x)→1. 如圖所示作出函數y＝f(x)的圖象，由圖可得f(x)在(－∞，2)上單調遞增且f(x)<1， f(x)在[2，＋∞)上單調遞減且0

9、獲得簡捷的解答． 變式訓練2　若存在正數x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案　D 解析　因為2x>0，所以由2x(x－a)<1得x－a<＝2－x，在直角坐標系中，作出函數f(x)＝x－a，g(x)＝2－x在x>0時的圖象，如圖． 當x>0時，g(x)＝2－x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，則有f(0)<1，即－a<1，即a>－1，所以選D. 題型三　利用數形結合求最值 例3　已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝

10、0，則|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　C 解析　如圖， 設O＝a，O＝b，O＝c，則C＝a－c，C＝b－c. 由題意知C⊥C， ∴O、A、C、B四點共圓． ∴當OC為圓的直徑時，|c|最大，此時，|O|＝. 點評　利用數形結合求最值的方法步驟 第一步：分析數理特征，確定目標問題的幾何意義．一般從圖形結構、圖形的幾何意義分析代數式是否具有幾何意義． 第二步：轉化為幾何問題． 第三步：解決幾何問題． 第四步：回歸代數問題． 第五步：回顧反思． 應用幾何意義數形結合法解決問題需要熟悉常見的幾何結構的代數形式，主要有：(1)比值——可考

11、慮直線的斜率；(2)二元一次式——可考慮直線的截距；(3)根式分式——可考慮點到直線的距離；(4)根式——可考慮兩點間的距離． 變式訓練3　已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 答案　B 解析　根據題意，畫出示意圖，如圖所示， 則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m. 因為∠APB＝90°，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m. 要求m的最大值， 即求圓C上的點P到原點O的最大距離． 因為|OC|＝＝5

12、， 所以|OP|max＝|OC|＋r＝6， 即m的最大值為6. 高考題型精練 1．若過點A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A．[－，] B．(－，) C．[－，] D．(－，) 答案　C 解析　設直線方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0， 直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點， 圓心到直線的距離小于等于半徑， 即d＝≤1， 得4k2≤k2＋1，k2≤.所以－≤k≤. 2．已知f(x)＝|x·ex|，又g(x)＝f2(x)＋t·f(x)(t∈R)，若滿足g(x)＝－1的x有四個，則t的

13、取值范圍為(　　) A．(，＋∞) B．(－∞，－) C．(－，－2) D．(2，) 答案　B 解析　依題意g(x)＝f2(x)＋t·f(x)＝－1， 即t＝＝－[f(x)＋]≤－2， 可排除A，C，D.也可以畫出函數－[f(x)＋]圖象如下圖所示，要有四個交點，則選B. 3．已知函數f(x)滿足下列關系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lgx解的個數是(　　) A．5 B．7 C．9 D．10 答案　C 解析　由題意可知，f(x)是以2為周期，值域為[0,1]的函數．又f(x)＝lgx，則x∈(0,1

14、0]，畫出兩函數圖象， 則交點個數即為解的個數．由圖象可知共9個交點． 4．設函數f(x)是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)，且當x∈[－2,0]時，f(x)＝()x－1，若在區(qū)間(－2,6]內關于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三個不同的實數根，則a的取值范圍是(　　) A．(，2) B．(，2) C．[，2) D．(，2] 答案　B 解析　作出f(x)在區(qū)間(－2,6]上的圖象， 可知loga(2＋2)<3，loga(6＋2)>3?

15、 A．[－1,1) B．k＝± C．[－1,1] D．k＝或k∈[－1,1) 答案　D 解析　令y1＝x＋k，y2＝， 則x2＋y＝1(y≥0)．作出圖象如圖， 在y1＝x＋k中，k是直線的縱截距，由圖知：方程有一個解?直線與上述半圓只有一個公共點?k＝或－1≤k<1. 6．已知函數f(x)＝|4x－x2|－a，當函數有4個零點時，則a的取值范圍是__________． 答案　(0,4) 解析　∵函數f(x)＝|4x－x2|－a有4個零點， ∴方程|4x－x2|＝a有4個不同的解． 令g(x)＝|4x－x2| ＝ 作出g(x)的圖象，如圖，由圖象可以看出，當h(x)

16、＝a與g(x)有4個交點時，02(由于a4. 8．已知函數y＝的圖象與函數y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________． 答案　(0,1)∪(1,4) 解析　根據絕對值的意義， y＝＝ 在直角坐標系中作出該函數的圖象， 如圖中實線所

17、示． 根據圖象可知，當0