（課標通用）高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測53 理-人教版高三全冊數(shù)學試題

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1、課時跟蹤檢測(五十三) [高考基礎題型得分練] 1．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．4 B．2 C．1 D．8 答案：C　 解析：由y2＝x，得2p＝1，即p＝，因此焦點F，準線方程為l：x＝－. 設點A到準線的距離為d，由拋物線的定義可知d＝|AF|，從而x0＋＝x0，解得x0＝1，故選C. 2．[2017·山西運城期末]已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標為3，則此拋物線方程為(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝6y C．x2＝－3y D．x2＝

2、3y 答案：D　 解析：設點M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由消去y，得 x2－2ax＋2a＝0， 所以＝＝3，即a＝3， 因此所求的拋物線方程是x2＝3y. 3．[2017·吉林長春一模]過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為120°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A，B兩點，則＝(　　) A. B. C. D. 答案：A　 解析：記拋物線y2＝2px的準線為l′，如圖， 作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1， 垂足分別是A1，B1，C， 則有cos∠ABB1＝＝ ＝， 即cos 60°＝＝，由此得＝. 4．已知拋

3、物線y2＝2px(p＞0)的焦點F與雙曲線－＝1的右焦點重合，拋物線的準線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且|AK|＝|AF|，則點A的橫坐標為(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 答案：B　 解析：記拋物線的焦點為，準線為x＝－. 雙曲線的右焦點為(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x. 過A作準線的垂線，垂足為M， 則|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|， 設A(x，y)，則y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3. 5．[2017·北京密云模擬]已知兩點A(1,0)，B(b,0)．如果拋物線y2＝4x上存在點C，使得△ABC為等邊三角形

4、，那么實數(shù)b＝________. 答案：5或－　 解析：依題意，線段AB的垂直平分線x＝(b>－1)與拋物線y2＝4x的交點C滿足|CA|＝|AB|＝|b－1|(其中n2＝2(b＋1))， 于是有2＋n2＝(b－1)2， 即2＋2(b＋1)＝(b－1)2， 化簡得3b2－14b－5＝0，即(3b＋1)(b－5)＝0， 解得b＝5或b＝－. 6．如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱橋離水面2 m，水面寬4 m，水位下降1 m后，水面寬________m. 答案：2　 解析：建立如圖所示的平面直角坐標系， A，B是拋物線與水面的交點． 由題意，得點A的坐標為(－2，－

5、2)． 設拋物線的方程為x2＝ay， 把A的坐標代入，得a＝－2， 即拋物線的方程為x2＝－2y. 當水位下降1(單位：m)時，水面的縱坐標為－3， 把y＝－3代入拋物線的方程，得x＝±. ∴水位下降1 m后，水面寬為2 m. 7．已知點M(－3,2)是坐標平面內一定點，若拋物線y2＝2x的焦點為F，點Q是該拋物線上的一動點，則|MQ|－|QF|的最小值是________． 答案：　 解析：拋物線的準線方程為x＝－， 當MQ∥x軸時，|MQ|－|QF|取得最小值， 此時點Q的縱坐標y＝2，代入拋物線方程y2＝2x得Q的橫坐標x＝2，則|MQ|－|QF|＝|2＋3|－＝.

6、 8．已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程； (2)是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 解：(1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足－x＝1(x＞0)． 化簡得y2＝4x(x＞0)． (2)設過點M(m,0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 設l的方程為x＝ty＋m， 由得y2－4ty－4m＝0， Δ＝16(t2＋m)＞0，于是① 又＝(x1－1，

7、y1)，＝(x2－1，y2)，·＜0. (x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.② 又x＝，于是不等式②等價于·＋y1y2－＋1＜0， 即＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③ 由①式，不等式③等價于m2－6m＋1＜4t2.④ 對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0， 所以不等式④對于一切t成立等價于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2. 由此可知，存在正數(shù)m， 對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·＜0，且m的取值范圍是(3－2，3＋2)． [沖刺名校能力提升練] 1．已知拋物線x2＝4y上

8、一點A的縱坐標為4，則點A到拋物線焦點的距離為(　　) A. B．4 C. D．5 答案：D　 解析：由題意知，拋物線的準線方程為y＝－1，所以由拋物線的定義知，點A到拋物線焦點的距離為5. 2．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|＝(　　) A. B. C．3 D．2 答案：C　 解析：過點Q作QQ′⊥l交l于點Q′， 因為＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4， 又焦點F到準線l的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3. 3．設F為拋物線y2＝6x的焦點，A，B，C為該拋

9、物線上三點．若＋＋＝0，則||＋||＋||＝(　　) A．4 B．6 C．9 D．12 答案：C　 解析：由題意得，拋物線的焦點為F，準線方程為x＝－. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， ∵＋＋＝0， ∴點F是△ABC的重心， ∴x1＋x2＋x3＝. 由拋物線的定義，可得 |FA|＝x1－＝x1＋， |FB|＝x2－＝x2＋， |FC|＝x3－＝x3＋， ∴||＋||＋||＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝9. 4．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為________

10、． 答案：　 解析：由題意設A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如圖所示， |AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2. 設AB的方程為x－1＝ty， 由 消去x得y2－4ty－4＝0. ∴y1y2＝－4，∴y2＝－， ∴S△AOB＝×1×|y1－y2|＝. 5.雙曲線－＝1(a>0)的離心率為，拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點在雙曲線的頂點上． (1)求拋物線C的方程； (2)過M(－1,0)的直線l與拋物線C交于E，F(xiàn)兩點，又過E，F(xiàn)作拋物線C的切線l1，l2，當l1⊥l2時，求直線l的方程． 解：(1)雙曲線的離心率e＝＝， 又

11、a>0，∴a＝1，雙曲線的頂點為(0,1)， 又p>0，∴拋物線的焦點為(0,1)， ∴拋物線C的方程為x2＝4y. (2)由題意知，直線l的斜率必存在， 設直線l的方程為y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)， ∵y＝x2，∴y′＝x， ∴切線l1，l2的斜率分別為，， 當l1⊥l2時，·＝－1，∴x1x2＝－4， 由得x2－4kx－4k＝0， ∴Δ＝(－4k)2－4(－4k)>0， ∴k<－1或k>0.① 由根與系數(shù)的關系，得x1x2＝－4k＝－4，∴k＝1，滿足①，即直線l的方程為x－y＋1＝0. 6．已知拋物線y2＝4x，直線l：y＝－x＋b與拋物

12、線交于A，B兩點． (1)若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程； (2)若直線l與y軸負半軸相交，求△AOB(O為坐標原點)面積的最大值． 解：(1)聯(lián)立 消去x并化簡整理，得y2＋8y－8b＝0. 依題意有Δ＝64＋32b＞0， 解得b＞－2. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b， 設圓心Q(x0，y0)， 則應有x0＝，y0＝＝－4. 因為以AB為直徑的圓與x軸相切，則圓的半徑為r＝|y0|＝4， 又|AB|＝ ＝＝ ＝. 所以|AB|＝2r＝＝8， 解得b＝－. 所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝

13、4b＋16＝， 所以圓心為. 故所求圓的方程為2＋(y＋4)2＝16. (2)因為直線l與y軸負半軸相交，所以b＜0， 又l與拋物線交于兩點，由(1)知b＞－2，所以－2＜b＜0，直線l：y＝－x＋b，整理得x＋2y－2b＝0， 點O到直線l的距離d＝＝， 所以S△AOB＝|AB|d＝－4b· ＝4·. 令g(b)＝b3＋2b2，－2＜b＜0， g′(b)＝3b2＋4b＝3b， 當b變化時，g′(b)，g(b)的變化情況如下表： b － g′(b) ＋ 0 － g(b)  極大值  由上表可得g(b)的最大值為g＝. 故S△AOB≤4×＝. 所以當b＝－時，△AOB的面積取得最大值.