（統(tǒng)考版）高考數學二輪復習 專題限時集訓8 高考中的數學文化題 高考中的創(chuàng)新應用題（含解析）（理）-人教版高三數學試題

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1、專題限時集訓(八)　高考中的數學文化題 高考中的創(chuàng)新應用題 1．(2015·全國卷Ⅰ)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 B　[設圓錐的底面半徑為r，則r＝8， 解得r＝，故米堆的體積為××π××5≈，∵1斛米的體積約為1.

2、62立方， ∴÷1.62≈22，故選B.] 2．(2016·全國卷Ⅱ)中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x＝2，n＝2，依次輸入的a為2,2,5，則輸出的s＝(　　) A．7 B．12 C．17 D．34 C　[∵輸入的x＝2，n＝2， 當輸入的a為2時，s＝2，k＝1，不滿足退出循環(huán)的條件；當再次輸入的a為2時，s＝6，k＝2，不滿足退出循環(huán)的條件；當輸入的a為5時，s＝17，k＝3，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的s值為17，故選C.] 3．(2015·全國卷Ⅱ)根據如圖給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(

3、單位：萬噸)柱形圖，以下結論中不正確的是(　　) A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現成效 C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關 D　[從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；2004－2006年二氧化硫排放量越來越多，從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故C正確；2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，而不是與年份正相關，故D錯誤

4、．故選D.] 4．(2019·全國卷Ⅰ)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是(　　) A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm B　[頭頂至脖子下端的長度為26 cm， 說明頭頂到咽喉的長度小于26 cm， 由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是≈0.618， 可得咽喉至肚臍的長度小于≈42 cm， 由頭頂至

5、肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是， 可得肚臍至足底的長度小于≈110， 即有該人的身高小于110＋68＝178 cm， 又肚臍至足底的長度大于105 cm， 可得頭頂至肚臍的長度大于105×0.618≈65 cm， 即該人的身高大于65＋105＝170 cm，故選B.] 5.(2018·上海高考)《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設AA1是正六棱柱的一條側棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數是(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 D　[根據正六邊形的性質，則D1-A1ABB1，D

6、1-A1AFF1滿足題意，而C1，E1，C，D，E，和D1一樣，有2×4＝8，當A1ACC1為底面矩形，有4個滿足題意，當A1AEE1為底面矩形，有4個滿足題意， 故有8＋4＋4＝16，故選D.] 6.(2019·北京高考)數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖)．給出下列三個結論： ①曲線C恰好經過6個整點(即橫、縱坐標均為整數的點)； ②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過； ③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3. 其中，所有正確結論的序號是(　　) A．① B．② C．①② D．①②③ C　[將x換成－x方程

7、不變，所以圖形關于y軸對稱，當x＝0時，代入得y2＝1，∴y＝±1，即曲線經過(0,1)，(0，－1)； 當x＞0時，方程變?yōu)閥2－xy＋x2－1＝0，所以Δ＝x2－4(x2－1)≥0，解得x∈， 所以x只能取整數1，當x＝1時，y2－y＝0，解得y＝0或y＝1，即曲線經過(1,0)，(1,1)， 根據對稱性可得曲線還經過(－1,0)，(－1,1)， 故曲線一共經過6個整點，故①正確． 當x＞0時，由x2＋y2＝1＋xy得x2＋y2－1＝xy≤，(當x＝y(tǒng)時取等)， ∴x2＋y2≤2，∴≤，即曲線C上y軸右邊的點到原點的距離不超過，根據對稱性可得：曲線C上任意一點到原點的距離都不超

8、過，故②正確． 在x軸上方圖形面積大于矩形面積＝1×2＝2，x軸下方的面積大于等腰直角三角形的面積＝×2×1＝1，因此曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于2＋1＝3，故③錯誤．故選C.] 7．(2019·全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓

9、運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：＋＝(R＋r).設α＝.由于α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為(　　) A. R B. R C. R D. R D　[∵α＝.∴r＝αR， r滿足方程：＋＝(R＋r). ∴＝≈3α3， ∴r＝αR＝R.故選D.] 8．(2020·新高考全國卷Ⅰ)日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面．在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯4

10、0°，則晷針與點A處的水平面所成角為(　　) A．20° B．40° C．50° D．90° B　[過球心O、點A以及晷針的軸截面如圖所示，其中CD為晷面，GF為晷針所在直線，EF為點A處的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°， ∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故選B.] 9．(2020·全國卷Ⅱ)如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12，設1≤i

11、三和弦與原位小三和弦的個數之和為(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 C　[法一：由題意，知ai，aj，ak構成原位大三和弦時，j＝k－3，i＝j－4，所以ai，aj，ak為原位大三和弦的情況有：k＝12，j＝9，i＝5；k＝11，j＝8，i＝4；k＝10，j＝7，i＝3；k＝9，j＝6，i＝2；k＝8，j＝5，i＝1共5種．ai，aj，ak構成原位小三和弦時，j＝k－4，i＝j－3，所以ai，aj，ak為原位小三和弦的情況有：k＝12，j＝8，i＝5；k＝11，j＝7，i＝4；k＝10，j＝6，i＝3；k＝9，j＝5，i＝2；k＝8，j＝4，i＝1共5種．所以用這12個

12、鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數之和為10，故選C. 法二：由題意，知當ai，aj，ak為原位大三和弦時，k－j＝3且j－i＝4，又1≤i

13、術”，將π的值精確到小數點后七位，其結果領先世界一千多年．“割圓術”的第一步是計算單位圓內接正六邊形的面積S6，S6＝________. 　[如圖所示，單位圓的半徑為1，則其內接正六邊形ABCDEF中，△AOB是邊長為1的正三角形，所以正六邊形ABCDEF的面積為S6＝6××1×1×sin 60°＝.] 1．(2020·深圳二模)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i為虛數單位)是由法國數學家棣莫弗(1667－1754)發(fā)現的，根據棣莫弗公式可知，復數6在復平面內所對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象

14、限 C　[由(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx， 得＝cos ＋isin ＝－cos －isin ， ∴復數在復平面內所對應的點的坐標為，位于第三象限．故選C.] 2．(2020·淄博期中)“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而四方稱之為“中國剩余理”．“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題：將1至2019中能被3除余1且被5除余1的數按由小到大的順序排成一列，構成數

15、列{an}，則此數列的項數為(　　) A．134 B．135 C．136 D．137 B　[由能被3除余1且被5除余1的數就是能被15整除余1的數， 故an＝15n－14.由an＝15n－14≤2019，得n≤135， 故此數列的項數為135.故選B.] 3．(2020·綿陽模擬)數學與建筑的結合造就建筑藝術品，2018年南非雙曲線大教堂面世便驚艷世界，如圖．若將此大教堂外形弧線的一段近似看成焦點在y軸上的雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦點到上頂點的距離為2，到漸近線距離為2，則此雙曲線的離心率為(　　) A．2 B．3 C．2 D．2 B　[雙

16、曲線－＝1(a＞0，b＞0)的上焦點到上頂點的距離為2，到漸近線距離為2， 可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2， 所以雙曲線的離心率為：e＝＝3.故選B.] 4.(2020·濟南一模)加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分．某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400 N，則該學生的體重(單位：kg)約為(　　) (參考數據：取重力加速度大小為g＝10 m/s2，≈1.732) A．63 B．69 C．75 D．81 B　[由題意知，F1＝F2＝400，夾角θ＝60°， 所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－

17、(F1＋F2)；所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002； 即|G|＝400(N)，所以學生的體重為400÷10＝40 kg. 即該學生的體重(單位：kg)約為40＝40×1.732≈69(kg)，故選B.] 5．(2020·廣州一模)陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅. 如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為(　　) A．(7＋2)π B．(10＋2)π C．(10＋4)π D．(11＋4)π C　[由題意可知幾何體的直觀圖如圖，上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下

18、部是底面半徑為2，高為2的圓錐，幾何體的表面積為：4π＋×4π×2＋2π×3＝(10＋4)π，故選C.] 6．(2020·廣州模擬)某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為e，設地球半徑為R，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為r，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為(　　) A.r＋R B.r＋R C.r＋R D.r＋R A　[橢圓的離心率：e＝∈(0,1)，(c為半焦距；a為長半軸)設衛(wèi)星近地點，遠地點離地面距離分別為m，n，由題意，結合圖形可知，a－c＝r＋R，遠地點離地面的距離為：n＝a＋c－R，m＝a－c－R, a＝， c＝，所以遠地點離地面的距離為：n＝a＋

19、c－R＝＋－R＝r＋R.故選A.] 7．(2020·咸陽二模)“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經濟合作關系，共同打造政治互信、經濟融合、文化包容的命運共同體．自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著．下圖是2015～2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是(　　) A．這五年，出口總額之和比進口總額之和大 B．這五年，2015 年出口額最少 C．這五年，2019 年進口增速最快 D．這五年，出口增速前四年逐年下降 D　[對于A，這五年，出口總額之和比進口總額之和大，故A正確； 對于B

20、,2015年出口額最少，故B正確； 對于C，這五年，2019 年進口增速最快，故C正確； 對于D，根據出口線斜率可知，這五年，出口增速前三年先升后降，第四年后增速開始增加，故D錯誤． 故選D.] 8．(2020·商丘模擬)歷史上有不少數學家都對圓周率作過研究，第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德，他用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法，而中國數學家劉徽只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，他的方法被后人稱為割圓術．近代無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種π值的表達式紛紛出現，使得π值的計算精度也迅速增加．華理斯在1655年求出一個公式：＝，

21、根據該公式繪制出了估計圓周率π的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的T＞2.8，若判斷框內填入的條件為k≥m？，則正整數m的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[初始：k＝1，T＝2，第一次循環(huán)：T＝2××＝＜2.8，k＝2，繼續(xù)循環(huán)； 第二次循環(huán)：T＝××＝＞2.8，k＝3，此時T＞2.8，滿足條件，結束循環(huán)， 所以判斷框內填入的條件可以是k≥3？，所以正整數m的最小值是3，故選B.] 9．(2020·郴州模擬)達芬奇的經典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名．如圖，畫中女子神秘的微笑，數百年來讓無數觀賞者入迷．某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小

22、影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角A，C處作圓弧的切線，兩條切線交于B點，測得如下數據：AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中≈0.866)．根據測量得到的結果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于(　　) A. B. C. D. A　[∵AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中≈0.866)． 設∠ABC＝2θ.∴sin θ＝＝0.866≈， ∵ 由題意θ必為銳角，可得θ≈， 設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為α. 則α＋2θ＝π， ∴α＝π－＝.故選A.

23、] 10．(2020·福建模擬)上世紀末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1)，充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯系．圖2為骨笛測量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示意圖．圖3是某骨笛的部分測量數據(骨笛的彎曲忽略不計)，夏至(或冬至)日光(當日正午太陽光線)與春秋分日光(當日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角． 由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應的年代如表： 黃赤交角 23°41′ 23°57′ 24°13′ 24°28′ 24°44′ 正切值 0.439 0.444 0.450 0

24、.455 0.461 年代 公元元年 公元前2000年 公元前4000年 公元前6000年 公元前8000年 根據以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是(　　) A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年 C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年 D　[由題意，可設冬至日光與垂直線夾角為α，春秋分日光與垂直線夾角為β， 則α－β即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形： 則tan α＝＝1.6，tan β＝＝0.66， tan(α－β)＝＝≈0.457. ∵

25、0.455＜0.457＜0.461, ∴估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選D.] 11．(2020·長沙模擬)設函數f(x)＝sin(ωx＋φ)，給出以下四個論斷： ①它的圖象關于直線x＝對稱； ②它的圖象關于點對稱； ③它的最小正周期是π； ④在區(qū)間上是增函數． 以其中兩個論斷作為條件，余下論斷作為結論，一個正確的命題是(　　) 條件________，結論________． A．①②?③④ B．③④?①② C．②④?①③ D．①③?②④ D　[①③?②④ 由③知ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)． 又由①2×＋φ＝kπ＋，得φ＝kπ＋，k∈Z.

26、 又∵－＜φ＜，∴φ＝， ∴f(x)＝sin. ∵f＝sin＝0， ∴它的圖象關于點對稱． ∵2kπ－≤2x＋≤2kπ＋， ∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. ∵?， ∴f(x)在區(qū)間上是增函數．故選D.] 12．(2020·江岸區(qū)模擬)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型．如圖，該模型為在圓錐底部挖去一個正方體后的剩余部分(正方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為10 cm，高為10 cm.打印所用原料密度為1 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為(取π＝3.14，精確到0.1)(　　) A．609.4 g B．4

27、47.3 g C．398.3 g D．357.3 g C　[如圖，是幾何體的軸截面， 設正方體的棱長為a，則＝，解得a＝5， ∴該模型的體積為： V＝π×(5)2×10－53＝－125≈398.33(cm3)． ∴制作該模型所需原料的質量為398.33×1≈398.3(g)． 故選C.] 13．(2020·虹口區(qū)一模)已知m、n是平面α外的兩條不同直線，給出三個論斷：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；以其中兩個論斷作為條件，寫出一個正確的命題(論斷用序號表示)：________. 若②③，則①　[已知m、n是平面α外的兩條不同直線，給出三個論斷：①m⊥n；②n∥α；③m⊥

28、α； 當m⊥α時，m必垂直于平面α內的任意一條直線，由于n∥α，所以m⊥n，如圖所示． ] 14．(2020·烏魯木齊一模)造紙術是我國古代四大發(fā)明之一．紙張的規(guī)格是紙張制成之后，經過修整切邊，裁成一定的尺寸．現在我國采用國際標準，規(guī)定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等標記來表示紙張的幅面規(guī)格．復印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張幅寬(以x表示)和長度(以y表示)的比例關系為x∶y＝1∶，②將A0紙張沿長度方向對開成兩等份，便成為A1規(guī)格，A1紙張沿長度方向對開成兩等份，便成為A2規(guī)格，…，如此對開至A8規(guī)格，現有A0，A1，A2，

29、A3，…，A8紙各一張，若A4紙的面積為624 cm2，這九張紙的面積之和等于________(cm2)． 19 929　[可設Ai紙張的面積分別為Si，i＝0,1，…，8，則{Si}為等比數列，公比q＝， ∵S4＝624＝S0×，解得S0＝9 984. 可得這9張紙的面積之和為＝19 929 cm2.] 15．(2020·濟南模擬)如圖所示，邊長為1的正三角形ABC中，點M，N分別在線段AB，AC上，將△AMN沿線段MN進行翻折，得到如圖所示的圖形，翻折后的點A在線段BC上，則線段AM的最小值為________． 2－3　[設AM＝x，∠AMN＝α，則BM＝1－x，∠AMB＝1

30、80°－2α，∴∠BAM＝2α－60°， 在△ABM中，由正弦定理可得＝， 即＝，∴x＝， ∴當2α－60°＝90°，即α＝75°時， x取得最小值＝2－3.] 16.[一題兩空](2020·赤峰模擬)現代足球運動是世界上開展得最廣泛、影響最大的運動項目，有人稱它為“世界第一運動”．早在2000多年前的春秋戰(zhàn)國時代，就有了一種球類游戲“蹴鞠”，后來經過阿拉伯人傳到歐洲，發(fā)展成現代足球.1863年10月26日，英國人在倫敦成立了世界上第一個足球運動組織——英國足球協會，并統(tǒng)一了足球規(guī)則．人們稱這一天是現代足球的誕生日．如圖所示，足球表面是由若干黑色正五邊形和白色正六邊形皮圍成的，我們把

31、這些正五邊形和正六邊形都稱為足球的面，任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱．已知足球表面中的正六邊形的面為20個，則該足球表面中的正五邊形的面為________個，該足球表面的棱為________條． 12　90　[簡單多面體的頂點數V，面數F與棱數E間有關系式V＋F－E＝2， 設該足球表面中的正五邊形的面為x個，正六邊形的面為y個， 則F＝x＋y，V＝5x，E＝5x＋y， ∴5x＋(x＋y)－＝2， 化簡，得2x－y＝4， 正五邊形的邊有兩種算法： 單從正五邊形看，這x個正五邊形共有5x條邊， 從正六邊形的角度看，每個正六邊形有3條邊是正五邊形的邊， y個正六邊形有6y條邊，其中正五邊形的邊的總數為：6y×＝3y，∴ 5x＝3y. 聯立，解得x＝12，y＝20， ∴該足球表面中的正五邊形的面為12個， 該足球表面的棱為E＝5x＋y＝90個．]