2021年 中考一輪復習數學專題突破訓練：《圓綜合性壓軸題》（一）

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1、 2021年 中考一輪復習數學專題突破訓練： 《圓綜合性壓軸題》（一） 1．如圖1，△ABC內接于⊙O，∠ACB＝60，D，E分別是，的中點，連結DE分別交AC，BC于點F，G． （1）求證：△DFC∽△CGE； （2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的長； （3）如圖2，連結AD，BE，若＝x，＝y，求y關于x的函數表達式． 2．如圖，已知△ABC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，點E為的中點，連結CE交AB于點F，且AF＝AC． （1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由； （2）若⊙O的半徑為2，sinA＝，求CE的長． 3．如

2、圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB為半徑作⊙O，分別與BC、AB相交于點D、E，連接AD，已知∠CAD＝∠B． （1）求證：AD是⊙O的切線； （2）若∠B＝30，AO＝，求的長； （3）若AC＝2，BD＝3，求AE的長． 4．如圖1，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點E，連結CA． （1）若∠ACD＝30，求劣弧AB的度數； （2）如圖2，連結BO并延長交⊙O于點G，BG交AC于點F，連結AG． ①若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的長； ②設tan∠CAE＝x，＝y，求y關于x的函數關系式． 5．如圖

3、，⊙O的半徑為5，弦BC＝6，A為BC所對優(yōu)弧上一動點，△ABC的外角平分線AP交⊙O于點P，直線AP與直線BC交于點E． （1）如圖1．①求證：點P為的中點； ②求sin∠BAC的值； （2）如圖2，若點A為的中點，求CE的長； （3）若△ABC為非銳角三角形，求PA?AE的最大值． 6．已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一動點，連接AC，BC，在BA的延長線上取一點D，連接CD，使CD＝CB． （1）如圖1，若AC＝AD，求證：CD是⊙O的切線； （2）如圖2，延長DC交⊙O于點E，連接AE． i）若⊙O的直徑為，sinB＝，求AD的長； ii）若CD＝2C

4、E，求cosB的值． 7．已知△ABC內接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分線與⊙O交于點D，與AC交于點E，連接CD并延長與⊙O過點A的切線交于點F，記∠BAC＝α． （1）如圖1，若α＝60； ①直接寫出的值為　 　； ②當⊙O的半徑為4時，直接寫出圖中陰影部分的面積為　 ?。? （2）如圖2．若α＜60，，DE＝6，求DC的長． 8．定義：有一個內角等于與其相鄰的兩個內角之差的四邊形稱為幸福四邊形． （1）已知∠A＝120，∠B＝50，∠C＝α，請直接寫出一個α的值　 　，使四邊形ABCD為幸福四邊形； （2）如圖1，△ABC中，

5、D、E分別是邊AB，AC上的點，AE＝DE．求證：四邊形DBCE為幸福四邊形； （3）在（2）的條件下，如圖2，過D，E，C三點作⊙O，與邊AB交于另一點F，與邊BC交于點G，且BF＝FC． ①求證：EG是⊙O的直徑； ②連結FG，若AE＝1，BG＝7，∠BGF﹣∠B＝45，求EG的長和幸福四邊形DBCE的周長． 9．如圖，AB和CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，點E為CD上一點，CE＝CA，延長AE交⊙O于點F，連接CF交AB于點G． （1）求證：CE2＝AE?AF； （2）求證：∠ACF＝3∠BAF； （3）若FG＝2，求AE的長． 10．如圖，AB為⊙

6、O的直徑，點C為⊙O上一點，點D為AB延長線上一點，連接CD，作CE⊥AB于點E，∠OCE＝∠D． （1）求證：CD是⊙O的切線； （2）點F為CD上一點，連接OF交CE于點G，G為OF中點， 求證：OC2＝CD?CF； （3）在（2）的條件下，CF＝DF，若OC＝2，求CG． 參考答案 1．解：（1）∵點D是的中點， ∴， ∴∠ACD＝∠CED， ∵點E是的中點， ∴， ∴∠CDE＝∠BCG， ∴△DFC∽△CGE； （2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG， ∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG， ∴∠CFG＝∠CG

7、F， ∵CF＝CG， ∵∠ACB＝60， ∴△CFG是等邊三角形， 如圖1，過點C作CH⊥FG于H， ∴∠DHC＝90， 設FH＝a， ∴∠FCH＝30， ∴FG＝CF＝2a，CH＝a， ∵DF＝3， ∴DH＝DF+FH＝3+a， ∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝， ∴tan∠CDE＝， 在Rt△CHD中，tan∠CDE＝＝， ∴＝， ∴a＝1， ∴FG＝2a＝2； （3）如圖2，連接AE，則∠AEB＝∠ACB＝60， ∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60， ∴∠AEB＝∠DAE， ∴BE∥AD， 設BE與AD

8、的距離為h， ∴＝， ∴S△ABE＝?S△ADE， ∵D，E分別是，的中點， ∴CD＝AD，BE＝CE， ∴S△ABE＝?S△ADE， 過點D作DM⊥AC于M， ∵， ∴AD＝CD， ∴AC＝2CM， 由（2）知，△CFG是等邊三角形，∴∠CFG＝60， ∴∠DFM＝60， ∴∠MDF＝30， 設MF＝m，則DM＝m，DF＝2m， ∵＝x， ∴CF＝x?DF＝2mx， ∴CG＝CF＝2mx， 由（1）知，△DFC∽△CGE， ∴， ∴＝， ∴S△ABE＝?S△ADE＝S△ADE， ∴S四邊形ABED＝S△ADE+S△ABE＝S△ADE， ∵MF＝m，

9、CF＝x?DF＝2mx， ∴CM＝MF+CF＝m+2mx＝（2x+1）m， ∴AC＝2CM＝2（2x+1）m， ∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m， 過點A作AN⊥DF于N， ∴S△ADF＝AF?DM＝DF?AN， ∴AN＝＝＝（x+1）m， 過點C作CP⊥FG， 由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx， ∴y＝＝＝?＝?＝?＝?＝． 2．（1）AC與⊙O相切， 證明：連接BE， ∵BC是⊙O的直徑， ∴∠E＝90， ∴∠EBD+∠BFE＝90， ∵AF＝AC， ∴∠ACE＝∠AFC， ∵E為弧BD中點， ∴∠EBD＝∠BCE

10、， ∴∠ACE+∠BCE＝90， ∴AC⊥BC， ∵BC為直徑， ∴AC是⊙O的切線． （2）解：∵⊙O的半為2 ∴BC＝4， 在Rt△ABC中，sinA＝＝， ∴AB＝5， ∴AC＝＝3， ∵AF＝AC， ∴AF＝3，BF＝5﹣3＝2， ∵∠EBD＝∠BCE，∠E＝∠E， ∴△BEF∽△CEB， ∴＝＝， ∴EC＝2EB， 設EB＝x，EC＝2x， 由勾股定理得：x2+4x2＝16， ∴x＝（負數舍去）， 即CE＝． 3．解：（1）如圖1，連接OD， ∵∠ACB＝90， ∴∠CAD+∠ADC＝90， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB

11、， ∵∠CAD＝∠B， ∴∠CAD＝∠ODB， ∴∠ODB+∠ADC＝90， ∴∠ADO＝90， 又∵OD是半徑， ∴AD是⊙O的切線； （2）∵∠B＝30，∠ACB＝90， ∴∠CAD＝30，∠CAB＝60， ∴∠DAB＝30， ∴OD＝AO， ∴OD＝， ∵OD＝OB，∠B＝30， ∴∠B＝∠ODB＝30， ∴∠DOB＝120， ∴劣弧BD的長＝＝π； （3）如圖2，連接DE， ∵BE是直徑， ∴∠BDE＝90， ∴∠ACB＝∠EDB＝90， ∴AC∥DE， ∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB， ∴△ACD∽△BDE， ∴， ∴設CD＝

12、2x，DE＝3x， ∵AC∥DE， ∴， ∴， ∴x＝， ∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4， ∴AB＝＝＝2， ∵DE∥AC， ∴， ∴AE＝2＝． 4．解：（1）如圖1，連接OA，OB， ∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD， ∴＝， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵∠ACD＝30， ∴∠AOD＝60， ∴∠AOB＝120， ∴劣弧AB的度數是120； （2）①∵CD⊥AB， ∴AE＝BE＝1，∠AEC＝90， 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝2， ∴CE＝2， 設OE＝x，則OC＝2﹣x＝OB， 在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2

13、+BE2， 即（2﹣x）2＝x2+1， 解得：x＝， ∴OE＝， ∵OG＝OB，AE＝BE， ∴OE是△AGB的中位線， ∴AG＝2OE＝； ②∵BG是⊙O的直徑， ∴∠BAG＝90， ∵∠BAG＝∠BEO＝90， ∴OC∥AG， ∴∠C＝∠GAC， ∵∠GFA＝∠OFC， ∴△GAF∽△OCF， ∴， ∵，且GF+BF＝2OG， ∴OG＝?GF， ∵OF＝OG﹣GF， ∴OF＝， ∴＝， 如圖3，連接OA， ∵OA＝OC，AG＝2OE， ∴＝＝， ∵tan∠CAE＝＝x， ∴CE＝x?AE＝OA+OE， ∴AE＝， Rt△AOE中，OA

14、2＝OE2+AE2， ∴OA2＝OE2+（）2，即OA2＝OE2+（OA2+2OA?OE+OE2）， 兩邊同時除以OA2，得：1＝（）2+（+1）2， 設＝a，則原方程變形為：a2+（a2+2a+1）﹣1＝0， （1+）a2++﹣1＝0， （a+1）[（1+）a+（﹣1）]＝0， ∴a1＝﹣1（舍），a2＝， ∴＝， ∴＝， ∴y＝﹣． 5．（1）①證明：如圖1，連接PC， ∵A、P、B、C四點內接于⊙O， ∴∠PAF＝∠PBC， ∵AP平分∠BAF， ∴∠PAF＝∠BAP， ∵∠BAP＝∠PCB， ∴∠PCB＝∠PBC， ∴PB＝PC， ∴＝， ∴點

15、P為的中點； ②解：如圖2，過P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，連接OB， ∴， ∴PH是直徑， ∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC， ∵OG⊥BC， ∴BG＝BC＝3， Rt△BOG中，∵OB＝5， ∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝； （2）解：如圖3，過P作PG⊥BC于G，連接OC， 由（1）知：PG過圓心O，且CG＝3，OC＝OP＝5， ∴OG＝4， ∴PG＝4+5＝9， ∴PC＝＝＝3， 設∠APC＝x， ∵A是的中點， ∴＝， ∴∠ABC＝∠ABP＝x， ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC＝2x， △PC

16、E中，∠PCB＝∠CPE+∠E， ∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE， ∴CE＝PC＝3； （3）解：如圖4，過點C作CQ⊥AB于Q， ∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠PAF＝∠PAB， ∴△ACE∽△APB， ∴， ∴PA?AE＝AC?AB， ∵sin∠BAC＝， ∴CQ＝AC?sin∠BAC＝AC， ∴S△ABC＝AB?CQ＝， ∴PA?AE＝S△ABC， ∵△ABC為非銳角三角形， ∴點A運動到使△ABC為直角三角形時，如圖5，△ABC的面積最大， Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6， ∴AC＝8， 此時PA?AE＝＝80． 6．（1）證明：連接OC，

17、 ∵CD＝BC， ∴∠B＝∠D， ∵AC＝AD， ∴∠D＝∠ACD， ∴∠B＝∠ACD， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90， ∴∠B+∠BAC＝90， ∴∠ACD+∠OCA＝90， ∴∠DCO＝90， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切線； 解：（2）i）連接OC， ∵∠ACB＝90，AB＝，sinB＝， 在Rt△ACB中，AC＝AB?sinB， ∴AC＝＝1， 在Rt△ACB中，BC＝＝＝3， ∵OB＝CO， ∴∠OCB＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠OCB＝∠D， ∵∠CBO＝∠DBC， ∴△

18、COB∽△DCB， ∴， ∴CB2＝OB?BD， ∵AB＝， ∴OA＝OB＝， ∴BD＝32＝， ∴AD＝BD﹣AB＝； ii）連接CO， ∵CD＝2CE， 設CE＝k， ∴CD＝BC＝2k， ∴DE＝3k， ∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D， ∴△DAE∽△COB， ∴， 設⊙O的半徑為r， ∴AD＝r， ∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r， ∵△COB∽△DCB， ∴， ∴BC2＝OB?BD， ∴（2k）2＝rr， ∴k＝r， ∴BC＝2k＝r， ∴cosB＝． 7．解：（1）如圖1，連接OA，AD， ∵AF是⊙O的切線， ∴∠OA

19、F＝90， ∵AB＝AC，∠BAC＝60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝30， ∵∠ADB＝∠ACB＝60， ∴∠BAD＝90， ∴BD是⊙O的直徑， ∵OA＝OB＝OD， ∴∠ABO＝∠OAB＝30，∠OAD＝∠ADO＝60， ∵∠BDC＝∠BAC＝60， ∴∠ADF＝180﹣60﹣60＝60＝∠OAD， ∴OA∥DF， ∴∠F＝180﹣∠OAF＝90， ∵∠DAF＝30， ∴tan30＝＝， 故答案為：； ②∵⊙O的半徑為4， ∴AD＝OA＝4，DF＝AD＝2， ∵∠A

20、OD＝60， ∴陰影部分的面積為：S梯形AODF﹣S扇形OAD＝?AF?（DF+OA）﹣＝（2+4）﹣π＝6﹣π； 故答案為：6﹣π； （2）如圖2，連接AD，連接AO并延長交⊙O于點H，連接DH，則∠ADH＝90， ∴∠DAH+∠DHA＝90， ∵AF與⊙O相切， ∴∠DAH+∠DAF＝∠FAO＝90， ∴∠DAF＝∠DHA， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵＝， ∴∠CAD＝∠DHA＝∠DAF， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵四邊形ABCD內接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180， ∵∠ADF+∠ADC＝180， ∴∠AD

21、F＝∠ABC， ∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABC， ∴∠ADF＝∠ADB， 在△ADF和△ADE中 ， ∴△ADF≌△ADE（ASA）， ∴DF＝DE＝6， ∵＝， ∴DC＝9． 8．（1）解：∵∠A＝120，∠B＝50，∠C＝α， ∴∠D＝360﹣120﹣50﹣α＝190﹣α， 若∠A＝∠B﹣∠D，則120＝50﹣（190﹣α），解得：α＝260（舍）， 若∠A＝∠D﹣∠B，則120＝（190﹣α）﹣50，解得：a＝20， 若∠B＝∠A﹣∠C，則50＝120﹣α，解得：α＝70， 若∠B＝∠C﹣∠A，則50＝α﹣120，解得：α＝170， 若∠C＝∠B﹣∠D，則α

22、＝50﹣（190﹣α），無解， 若∠C＝∠D﹣∠B，則α＝（190﹣α）﹣50，解得：α＝70， 若∠D＝∠A﹣∠C，則190﹣α＝120﹣α，無解， 若∠D＝∠C﹣∠A，則190﹣α＝α﹣120，解得：α＝155， 綜上，α的值是20或70或170或155（寫一個即可）， 故答案為：20或70或170或155（寫一個即可）； （2）證明：如圖1，設∠A＝x，∠C＝y，則∠B＝180﹣x﹣y， ∵AE＝DE， ∴∠ADE＝∠A＝x， ∴∠BDE＝180﹣x， 在四邊形DBCE中，∠B＝180﹣x﹣y＝∠BDE﹣∠C， ∴四邊形DBCE為幸福四邊形； （3）①證明：如

23、圖2，∵D、F、G、E四點都在⊙O上， ∴∠ADE＝∠FGE， ∵∠ADE＝∠A， ∴∠FGE＝∠A， ∵∠FGE＝∠ACF， ∴∠A＝∠ACF， ∵BF＝CF， ∴∠B＝∠BCF， ∵∠A+∠B+∠BCA＝180， ∴∠ACF+∠BCF＝90，即∠ACB＝90， ∴EG是⊙O的直徑； ②如圖3，過E作EH⊥AB于H，連接DG， ∵BF＝CF， ∴∠B＝∠BCF＝∠BDG， ∴BG＝DG＝7， ∵EG是⊙O的直徑， ∴∠GDE＝90， ∵DE＝AE＝1， ∴EG＝＝5， ∵∠BGF﹣∠B＝45，∠BGF﹣∠BCF＝∠CFG， ∴∠CFG＝∠CEG

24、＝45， ∴△ECG是等腰直角三角形， ∴CE＝CG＝5， ∴BC＝7+5＝12，AC＝5+1＝6， ∴AB＝＝＝6， ∵∠AHE＝∠ACB＝90，∠A＝∠A， ∴△AHE∽△ACB， ∴，即， ∴AH＝， ∵AE＝DE，EH⊥AD， ∴AD＝2AH＝， ∴幸福四邊形DBCE的周長＝BD+ED+CE+BC ＝6﹣+1+5+12 ＝18+． 9．解：（1）∵AB和CD為⊙O的直徑，AB⊥CD， ∴， ∴∠ACE＝∠AFC， ∵∠CAE＝∠FAC， ∴△ACE∽△AFC， ∴， ∴AC2＝AE?AF， ∵AC＝CE， ∴CE2＝AE?AF； （2）

25、∵AB⊥CD， ∴∠AOC＝90， ∵OA＝OC， ∴∠ACE＝∠OAC＝45， ∴∠AFC＝∠AOC＝45， ∵AC＝CE， ∴∠CAE＝∠AEC＝（180﹣∠ACO）＝67.5， ∴∠BAF＝∠CAF﹣∠OAC＝22.5， ∵∠AEC＝∠AFC+∠DAF＝45+∠DCF＝67.5， ∴∠DCF＝22.5， ∴∠ACF＝∠OCA+∠DAF＝67.5＝322.5＝3∠BAF； （3）如圖， 過點G作GH⊥CF交AF于H， ∴∠FGH＝90， ∵∠AFC＝45， ∴∠FHG＝45， ∴HG＝FG＝2， ∴FH＝2， ∵∠BAF＝22.5，∠FHG＝45，

26、 ∴∠AGH＝∠FHG﹣∠BAF＝22.5＝∠BAF， ∴AH＝HG＝2， ∴AF＝AH+FH＝2+2， 由（2）知，∠OAE＝∠OCG， ∵∠AOE＝∠COG＝90，OA＝OC， ∴△AOE≌△COG（SAS）， ∴OE＝OG，∠AEO＝∠CGO， ∴∠OEF＝∠OGF， 連接EG， ∵OE＝OG， ∴∠OEG＝∠OGE＝45， ∴∠FEG＝∠FGE， ∴EF＝FG＝2， ∴AE＝AF﹣EF＝2+2﹣2＝2． 10．證明：（1）∵CE⊥AB， ∴∠D+∠DCE＝90， ∵∠OCE＝∠D， ∴∠OCE+∠DCE＝90， ∴∠OCD＝90， 又∵OC是半徑， ∴CD是⊙O的切線； （2）∵∠OCF＝90，G為OF中點， ∴CG＝GF＝OF， ∴∠GCF＝∠GFC， ∵∠D+∠COD＝90＝∠D+∠DCE， ∴∠DCE＝∠COE＝∠CFG， 又∵∠OCF＝∠OCD＝90， ∴△OCF∽△DCO， ∴， ∴OC2＝CF?CD； （3）∵CF＝DF， ∴CD＝2CF， ∵OC2＝CF?CD， ∴4＝CF2CF， ∴CF＝， ∴OF＝＝＝， ∴CG＝． 32 / 32