隨機變量及其概率分布

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1、隨 機 變 量 及 其 概 率 分 布n 離 散 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 律n 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 律 n 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 分 布 在 前 面 的 學(xué) 習 中 ,我 們 用 字 母 A、 B、 C.表示 事 件 ， 并 視 之 為 樣 本 空 間 的 子 集 ； 針 對 等可 能 概 型 ， 主 要 研 究 了 用 排 列 組 合 手 段 計 算 事件 的 概 率 。 本 章 ， 將 用 隨 機 變 量 表 示 隨 機 事 件 ， 以 便采 用 高 等 數(shù) 學(xué) 的 方 法 描 述 、 研 究 隨 機 現(xiàn) 象 。隨 機 變 量 及 其 分 布Ran

2、dom Variable and Distribution 隨 機 變 量n基 本 思 想將 樣 本 空 間 數(shù) 量 化 ,即 用 數(shù) 值 來 表 示 試 驗 的 結(jié) 果n 有 些 隨 機 試 驗 的 結(jié) 果 可 直 接 用 數(shù) 值 來 表 示 .例 如 : 在 擲 骰 子 試 驗 中 ,結(jié) 果 可 用 1,2,3,4,5,6來 表 示 例 如 : 擲 硬 幣 試 驗 ,其 結(jié) 果 是 用 漢 字 “ 正 面 ” 和 “ 反 面 ” 來 表示 的 可 規(guī) 定 : 用 1表 示 “ 正 面 朝 上 ” 用 0 表 示 “ 反 面 朝 上 ” Random Variablen 有 些 隨 機 試

3、驗 的 結(jié) 果 不 是 用 數(shù) 量 來 表 示 ， 但 可 數(shù) 量 化 設(shè) 箱 中 有 10個 球 ， 其 中 有 2個 紅 球 ， 8個 白 球 ； 從 中 任 意 抽 取 2個 ,觀 察 抽 球 結(jié) 果 。 特 點 ： 試 驗 結(jié) 果 數(shù) 量 化 了 ， 試 驗 結(jié) 果 與 數(shù) 建 立 了 對 應(yīng) 關(guān) 系X表 示 取 得 的 紅 球 數(shù) 可 記 為 X=2 記 為記 為 試 驗 結(jié) 果 的 數(shù) 量 化 隨 機 變 量 的 定 義 1) 它 是 一 個 變 量 2) 它 的 取 值 隨 試 驗 結(jié) 果 而 改 變 3） 隨 機 變 量 在 某 一 范 圍 內(nèi) 取 值 ， 表 示 一 個 隨

4、機 事 件n 隨 機 變 量n 隨 機 變 量 的 兩 個 特 征 :設(shè) 隨 機 試 驗 的 樣 本 空 間 為 ， 如 果 對 于 每 一個 樣 本 點 ， 均 有 唯 一 的 實 數(shù) 與之 對 應(yīng) ， 稱 為 樣 本 空 間 上的 隨 機 變 量 。 ( )X ( )X X 某 個 燈 泡 的 使 用 壽 命 X。 某 電 話 總 機 在 一 分 鐘 內(nèi) 收 到 的 呼 叫 次 數(shù) Y. 在 0， 1區(qū) 間 上 隨 機 取 點 ， 該 點 的 坐 標 X.X 的 可 能 取 值 為 0,+)Y 的 可 能 取 值 為 0， 1， 2， 3， .,X 的 可 能 取 值 為 0， 1上 的

5、全 體 實 數(shù) 。隨 機 變 量 的 實 例 用 隨 機 變 量 表 示 事 件n 若 X是 隨 機 試 驗 E的 一 個 隨 機 變 量 ， S R， 那 么 X S可 表 示 E中 的 事 件 如 在 擲 骰 子 試 驗 中 ， 用 X表 示 出 現(xiàn) 的 點 數(shù) ,則 “ 出 現(xiàn) 偶 數(shù) 點 ” 可 表 示 為 ： X=2 X=4 X=6 “ 出 現(xiàn) 的 點 數(shù) 小 于 ” 可 表 示 為 ： X 4或 X3n E中 的 事 件 通 常 都 可 以 用 X的 不 同 取 值 來 表 示 . 隨 機 變 量 的 類 型n 離 散 型n 非 離 散 型隨 機 變 量 的 所 有 取 值 是 有

6、 限 個 或 可 列 個隨 即 變 量 的 取 值 有 無 窮 多 個 ， 且 不 可 列其 中 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 是 一 種 重 要 類 型 離 散 隨 機 變 量 的 概 率 分 布 稱 此 式 為 X的 分 布 律 （ 列 ） 或 概 率 分 布（ Probability distribution) kk pxXP 設(shè) 離 散 型 隨 機 變 量 的 所 有 可 能 取 值 是 ， 而 取 值 的 概 率 為X1 2, , , ,nx x x kx kp即 例 設(shè) X的 分 布 律 為求 P(0X2)P(0X2)=P（ X=1） +P（ X=2） =1/2+1/6=2/3分 布

7、 律 確 定 概 率解 =P(抽 得 的 兩 件 全 為 次 品 )求 分 布 律 舉 例 例 1 設(shè) 有 一 批 產(chǎn) 品 20件 ， 其 中 有 3件 次 品 ， 從 中任 意 抽 取 2件 ， 如 果 用 X表 示 取 得 的 次 品 數(shù) ， 求 隨 機 變量 X的 分 布 律 及 事 件 “ 至 少 抽 得 一 件 次 品 ” 的 概 率 。解 X的 可 能 取 值 為 0， 1， 2=P(抽 得 的 兩 件 全 為 正 品 )190136220217 CCPX=1PX=2 1 13 17220 51190C CC 23220 3190CC =P(只 有 一 件 為 次 品 )PX=0

8、故 X的 分 布 律 為kp 190136 19051 1903而 “ 至 少 抽 得 一 件 次 品 ” =X 1= X=1X=2PX 1= PX=1+PX=2注 意 ： X=1與 X=2是 互 不 相 容 的 ！ 952719054190319051 實 際 上 ， 這 仍 是 古 典 概 型 的 計 算 題 ， 只 是 表 達 事件 的 方 式 變 了故 從 一 批 次 品 率 為 p的 產(chǎn) 品 中 ， 有 放 回 抽 樣 直 到 抽到 次 品 為 止 。 求 抽 到 次 品 時 ， 已 抽 取 的 次 數(shù) X的 分 布律 。 解 記 Ai=“ 第 i次 取 到 正 品 ” ,i=1,2

9、,3, 則 Ai , i=1,2,3, 是 相 互 獨 立 的 ！ 且X的 所 有 可 能 取 值 為 )( 121 kk AAAAP ( X=k )對 應(yīng) 著 事 件 kk AAAA 121 例 設(shè) 隨 機 變 量 X的 分 布 律 為 2( ) , 1,2,3,3 kP X k b k 試 確 定 常 數(shù) b.解 由 分 布 律 的 性 質(zhì) ,有 1 1 22 3( ) ( ) 23 1 3kk k bP X k b 例 23 2 113b b 1.2b 幾 種 常 見 的 離 散 型 分 布 1 p p P 0 1 X 則 稱 X服 從 參 數(shù) 為 p 的 二 點 分 布 或 (0-1)

10、分 布 ,背 景 樣 本 空 間 只 有 兩 個 樣 本 點 的 情 況 都 可 以 用 兩 點 分 布 來 描 述 。如 ： 上 拋 一 枚 硬 幣 。 若 隨 機 變 量 X的 分 布 律 為 : 例 設(shè) 一 個 袋 中 裝 有 3個 紅 球 和 7個 白 球 ， 現(xiàn) 在 從 中隨 機 抽 取 一 球 ， 如 果 每 個 球 抽 取 的 機 會 相 等 ，并 且 用 數(shù) “ 1” 代 表 取 得 紅 球 ， “ 0” 代 表 取 得白 球 ， 則 隨 機 抽 取 一 球 所 得 的 值 是 一 個 離 散 型隨 機 變 量 10X （ 取 得 紅 球 ）（ 取 得 白 球 ）其 概 率 分

11、 布 為 3 ( 1) 10P X 7( 0) 10P X 即 X服 從 兩 點 分 布 。 (1 )0,1,2., ;k k n knP X k nk C p p 其 中 0 p 0, 則 稱 X服 從 參 數(shù) 為 的 泊 松 分 布X P()n 定 義 n 服 務(wù) 臺 在 某 時 間 段 內(nèi) 接 待 的 服 務(wù) 次 數(shù) X；n 交 換 臺 在 某 時 間 段 內(nèi) 接 到 呼 叫 的 次 數(shù) Y;n 礦 井 在 某 段 時 間 發(fā) 生 事 故 的 次 數(shù) ;n 顯 微 鏡 下 相 同 大 小 的 方 格 內(nèi) 微 生 物 的 數(shù) 目 ；n 單 位 體 積 空 氣 中 含 有 某 種 微 粒 的

12、 數(shù) 目 體 積 相 對 小 的 物 質(zhì) 在 較 大 的 空 間 內(nèi) 的 稀 疏分 布 ， 都 可 以 看 作 泊 松 分 布 ,其 參 數(shù) 可 以 由觀 測 值 的 平 均 值 求 出 。n 實 際 問 題 中 若 干 R.v.X是 服 從 或 近 似 服 從 Poisson分 布 的 已 知 某 電 話 交 換 臺 每 分 鐘 接 到 的 呼 喚 次 數(shù) X服 從4 的 泊 松 分 布 ， 分 別 求 （ 1） 每 分 鐘 內(nèi) 恰 好 接 到 3次 呼 喚 的 概 率 ； （ 2） 每 分 鐘 不 超 過 4次 的 概 率 ( 4) ( 0) ( 1) ( 2)( 3) ( 4)P X P

13、 X P X P XP X P X 4, 3k ( ) !kP X k ek 3 44( 3) 3!P X e 例解 0.19563 0.628838 實 際 應(yīng) 用 中 當 n較 大 ,p較 小 ， np適 中 時 ， 即可 用 泊 松 公 式 近 似 替 換 二 項 概 率 公 式 ekppC kknkkn !)1(二 項 分 布 的 泊 松 近 似The Poisson Approximation to the Binomial Distributionnp 若 某 人 做 某 事 的 成 功 率 為 1%， 他 重 復(fù) 努 力 400次 ，則 至 少 成 功 一 次 的 概 率 為 4

14、00 1 1 0 =1 0.99 0.9820P X P X 成 功 次 數(shù) 服 從 二 項 概 率 (400,0.01)B有 百 分 之 一 的 希 望 ， 就 要 做 百 分 之 百 的 努 力 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 設(shè) X為 一 隨 機 變 量 ,則 對 任 意 實 數(shù) x， (Xx)是 一 個 隨 機 事 件 ， 稱為 分 布 函 數(shù) 定 義 域 為 （ ， ） ； 值 域 為 ， 。F(x)是 一 個普 通 的 函 數(shù) ！Distribution Functionn 分 布 函 數(shù) 的 定 義( ) ( )F x P X x 分 布 函 數(shù) 表 示 事 件 的 概 率n

15、 P（ Xb） =F(b)n P（ aXb） =F(b) F(a)n P（ Xb） =1 P（ Xb） =1 - F(b)P（ aXb） =P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a) 已 知 X 的 分 布 律 為XP 1 0 1 21 1 1 12 3 12 12 求 X的 分 布 函 數(shù) ，并 畫 出 它 的 圖 形 。0 ( 1)1 2 ( 1 0)( ) 5 6 (0 1) 1112 (1 2)1 ( 2)x xF x P X x xxx 分 布 函 數(shù) 的 性 質(zhì)n F(x)是 單 調(diào) 不 減 函 數(shù)n 0 F(x) 1, 且 ( ) lim ( ) 0, ( ) lim (

16、) 1 x xF F x F F x 1 2x x若 1 2( ) ( )F x F x( ) F P X 不 可 能 事 件( ) F P X 必 然 事 件n F(x)處 處 左 連 續(xù) ( 0) ( )F x F x 分 布 函 數(shù) F(x)的 圖 形 nF(x)是 單 調(diào) 不 減 函 數(shù) 21( ) 1F x x 是 不 是 某 一 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) ？不 是 因 為 lim ( ) 0 x F x 函 數(shù) 21 ( 0)( ) 1 1 ( 0)xG x x x 可 作 為 分 布 函 數(shù) ( )baP a x b f x dx 概 率 密 度 函 數(shù)n 定 義 設(shè)

17、X為 一 隨 機 變 量 ， 若 存 在 非 負 實 函 數(shù) f (x) , 使 對 任 意 實 數(shù) a b ， 有 則 稱 X為 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 ， f (x) 稱 為 X 的 概率 密 度 函 數(shù) ,簡 稱 概 率 密 度 或 密 度 函 數(shù) .Probability density function p.d.f.( ) ( )xF x f t dt 分 布 函 數(shù) 211 2 ( )xxP x X x f x dx 1x 2x n 密 度 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 的 積 分 = 隨 機 變 量 在 區(qū) 間 上 取 值 的 概 率 概 率 密 度 函 數(shù) 的 性 質(zhì)( ) 0,

18、 ( , )f x x n 非 負 性 ( ) 1f x dx n 規(guī) 范 性 ( )f x 1P x 密 度 函 數(shù) 和 分 布 函 數(shù) 的 關(guān) 系n 積 分 關(guān) 系n 導(dǎo) 數(shù) 關(guān) 系 ( ) ( )xF x f x dx( ) F x P X x ( ) x f x dx( ) ( ) ( )f x x F x f x 若 在 處 連 續(xù) ， 則 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 在 實 數(shù) 域 內(nèi) 處 處 連 續(xù)P(X=a)=0P(a X b)= P(aXb)=P(a X b)=P(aXb)( ) ba f x dx X取 值 在 某 區(qū) 間 的 概 率 等 于 密 度 函

19、 數(shù) 在 此 區(qū) 間上 的 定 積 分 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 的 性 質(zhì)因 此 ， 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 取 任 意 指 定 實 數(shù) 值 a的 概 率 為 0 cos( ) 20Xa x xf x 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 為其 它 (0 )4P X 求解 Step1: 利 用 密 度 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 求 出 a ( ) 1f x dx 2 2( ) cos 1f x dx a xdx 12a 40 1 2(0 ) cos4 2 4P X xdx 例 ： 已 知 密 度 函 數(shù) 求 概 率 Step2: 密 度 函 數(shù) 在 區(qū) 間 的 積 分 得

20、到 此 區(qū) 間 的 概 率 例 ： 已 知 分 布 函 數(shù) 求 密 度 函 數(shù)20 0( ) 0 11 1X xF x x xx 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 為 (0.3 0.7)P X (1)求（ 2)X 的 密 度 函 數(shù) 2 2(0.3 0.7) (0.7) (0.3) 0.7 0.3 0.4P X F F (1) 2 0 1( ) ( ) 0 x xf x F x otherwise （ 2） 密 度 函 數(shù) 為解 1 (1,5)( ) 40 其 它f x 解 當 x 1 時( ) ( )xF x f x dx 0 1 2 3 4 5y xx當 1 5 時 1 51 551(

21、) ( )( ) ( ) ( )1 10 0 (5 1) 14 4x xF x f x dxf x dx f x dx f x dxdx 所 以 0 11( ) ( 1) 1 54 1 5xF x x xx 0 1 51 已 知 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 X的 概 率 密 度 為( ) xf x Ae( 1 1)P X (1)求 （ 2） 求 X 的 分 布 函 數(shù) ( 1)1 021( ) 0 1211 12x xXe xF x xe x 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 為( 1 2)P X (1)求 （ 2)求 X 的 密 度 函 數(shù) 均 勻 分 布若 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 X

22、的 概 率 密 度 為1( ) 0 a x bf x b a 其 它則 稱 X在 區(qū) 間 （ a， b） 上 服 從 均 勻 分 布 記 為 X U (a, b) xb bxaab ax axxF ,1 ,0)( Uniform Distributionn 定 義n 分 布 函 數(shù) 0 a b x X“ 等 可 能 ” 地 取 區(qū) 間 （ a,b） 中 的 值 ， 這 里 的 “ 等 可能 ” 理 解 為 ： X落 在 區(qū) 間 （ a,b)中 任 意 等 長 度 的 子 區(qū) 間 內(nèi)的 可 能 性 是 相 同 的 。 或 者 說 它 落 在 子 區(qū) 間 內(nèi) 的 概 率 只 依 賴于 子 區(qū) 間

23、的 長 度 而 與 子 區(qū) 間 的 位 置 無 關(guān) 。 0 a b x （ ） c d ( ) 1 dcdcP c X d f x dxd cdxb a b a n 意 義 102電 車 每 5分 鐘 發(fā) 一 班 ， 在 任 一 時 刻 某 一 乘 客到 了 車 站 。 求 乘 客 候 車 時 間 不 超 過 2分 鐘 的 概 率 。 設(shè) 隨 機 變 量 X為 候 車 時 間 ， 則 X服 從 （ 0， 5） 上 的均 勻 分 布 2 20 0 1 2( 2) (2) ( ) 5 5P X F f x dx dx 解 例 X U（ 0， 5）幾 何 概 型 （ 一 維 ） 設(shè) 在 -1， 5上

24、 服 從 均 勻 分 布 ， 求 方 程2 2 1 0 x x 有 實 根 的 概 率 。解 方 程 有 實 數(shù) 根 24 4 0 即 1 而 的 密 度 函 數(shù) 為 1 ( 1 5)( ) 6 0 xf x 其 它所 求 概 率 為 1 1 2 1 ( ) ( ) 3P f x dx f x dx 指 數(shù) 分 布若 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 X的 概 率 密 度 為0( ) ( 00 0 xe xf x x 為 常 數(shù) ） 0 0( ) 1 0 x xF x e x Exponential Distribution( )X E n 定 義n 分 布 函 數(shù)則 稱 X服 從 參 數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 . 例 設(shè) X服 從 參 數(shù) 為 3的 指 數(shù) 分 布 ， 求 它 的 密 度 函 數(shù) 及 2 3 60( 1 2) 3 1xP X e dx e 和( 1)P X 33 0( ) 0 0 xe xf x x 解 X的 概 率 密 度 3 31 1( 1) ( ) 3 xP X f x dx e dx e ( 1 2)P X 211 2( ) ( )xxP x X x f x dx