信號(hào)與系統(tǒng)教案(第9次課)

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1、 第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析 4.0 引言 時(shí)域分析，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)之和；而 yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào) ejωt 為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。 用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率， 故稱為頻域分析 。 頻域分析 從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析， 首先討論傅里葉變換。 傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函 數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析） 。將信號(hào)進(jìn)行正交分 解，即分解為

2、三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。 頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量， 揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率 特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。 發(fā)展歷史 ? 1822 年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉 (J.Fourier,1768-1830) 在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。 ? 泊松 (Poisson) 、高斯 (Guass) 等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。 ? 進(jìn)入 20 世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問

3、題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。 ? 在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。 ? “FFT ”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù) ? 矢量正交與正交分解 ? 信號(hào)正交與正交函數(shù)集 ? 信號(hào)的正交分解 一、矢量正交與正交分解 矢量正交的定義：指矢量 Vx = ( v x1, v x2, vx3 )與 Vy = ( v y1 , vy2 , vy3)的內(nèi)積為 0。 正交矢量集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合 二、信號(hào)正交與正交函數(shù)

4、集 1. 信號(hào)正交： 定義在 (t1 ，t2) 區(qū)間的 j 1(t) 和 j 2(t) 滿足 則稱 j 1(t) 和 j 2(t) 在區(qū)間 (t1 ，t2)內(nèi)正交。  t2 * 1 (t) 2 (t ) d t 0 t 1 (兩函數(shù)的內(nèi)積為 0) 2. 正交函數(shù)集： 若 n 個(gè)函數(shù) j 1(t) ， j 2(t) ，?， j n(t) 構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間 (t1， t2)內(nèi)滿足 t 2 * 0, i j i (t ) j (t) d t

5、 t1 K i 0, i j 則稱此函數(shù)集為在區(qū)間 (t1 ， t2)的正交函數(shù)集。 3. 完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集 {j1(t) ， j 2(t) ，?， j n(t)} 之外，不存在函數(shù)φ (t)( ≠0）滿足 t 2 * (t ) i (t ) d t 0 t1 ( i =1 ，2，?， n) 則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。 例如： 三角函數(shù)集 {1 ，cos(n Ωt)， sin(n Ωt)， n=1,2, ? } 虛指數(shù)函數(shù)集 {e jnΩt， n

6、=0 ，1，2，? } 是兩組典型的在區(qū)間 (t0 ，t0+T)(T=2 π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。 三、信號(hào)的正交分解 設(shè)有 n 個(gè)函數(shù) j 1(t) ， j 2(t) ，?， j n(t) 在區(qū)間 (t1 ，t2) 構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù) f(t) 用這 n 個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t) ≈C1j1+ C2j2+ ?+ Cnjn 函數(shù) f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和 f (t ) Ci i (t ) Ci 1 t2 K i t2 2 (t)d t f (t) i (t) d t i

7、 i 1 K i t1 t1 t2 2 (t ) d tCi2 Ki f t1 i 1 巴塞瓦爾能量公式 4.2 傅里葉級(jí)數(shù) ? 傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 ? 波形的對(duì)稱性與諧波特性 ? 傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 ? 周期信號(hào)的功率—— Parseval 等式一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 設(shè)周期信號(hào) f(t)，其周期為 T，角頻率 W=2p/T ，當(dāng)滿足狄里赫利 (Dirichlet) 條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)—— 稱為 f(t) 的傅里葉級(jí)數(shù)

8、 a0 an cos(n t) bn sin(n t) f (t ) 2 n 1 n 1 系數(shù) an , bn 稱為傅里葉系數(shù) 2 T 2 T an 2T f (t) cos(n t) d t bn 2T f (t ) sin(n t) d t T 2 T 2 可見， an 是 n 的偶函數(shù)， bn 是 n 的奇函數(shù)。 A0 An cos(n tn ) f (t ) 2 將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為 n 1 二、波

9、形的對(duì)稱性與諧波特性 1 .f(t) 為偶函數(shù) bn =0 ，展開為余弦級(jí)數(shù)。 2 .f(t) 為奇函數(shù) an =0 ，展開為正弦級(jí)數(shù)。 3 .f(t) 為奇諧函數(shù)—— f(t) = –f(tT/2) 此時(shí) 其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2= ?=b2=b4= ?=0 4． f(t) 為偶諧函數(shù)—— f(t) = f(t T/2) 此時(shí) 其傅里葉級(jí)數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即 a1=a3= ?=b1=b3= ?=0 三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 三角形式的傅里葉

10、級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。 虛指數(shù)函數(shù)集 {ejn Ωt，n=0 ，1，2，? } f (t ) Fn ej n t n 1 T f (t )e j n t F 2 d t n T T 系數(shù) Fn 2 稱為復(fù)傅里葉

11、系數(shù) 傅里葉系數(shù)之間關(guān)系 1 An ej n 1 (an bn Fn Fn e n j bn ) 1 a2 b2 1 A n arctan F an 2 2 n 2 n n 2 n an An cos n bn An sin n n 的偶函

12、數(shù)： an ， An ， |Fn | n 的奇函數(shù) : bn ， jn 四、周期信號(hào)的功率—— Parseval 等式 周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為 1 T 2 (t) dt A0 ) 2 1 2 | Fn | 2 f ( An T 0 2 n 1 2 n 直流和 n 次諧波分量在 1W 電阻上消耗的平均功率之和。 n≥0 時(shí)， |Fn| = An/2 。 這是 Parseval 定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn)。

13、 4.3 周期信號(hào)的頻譜 ? 信號(hào)頻譜的概念 ? 周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) ? 頻帶寬度 一、信號(hào)頻譜的概念 從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為 信號(hào)的頻譜圖。 周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將 An~ ω和 jn~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖， 分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)?n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫 |Fn|~ ω和 jn~ ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若 Fn 為實(shí)數(shù)，也可直接畫 Fn 。 二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)

14、 令 Sa(x)=sin(x)/x ( 取樣函數(shù)） Fn Sa( n Sa( n ) ) T T 2 T , n = 0 , 1，2 ，? 周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) (1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波 (離散 )性。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍； (2)一般具有收斂性。總趨勢(shì)減小。 三．頻帶寬度 在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。 一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的頻帶寬度。記為： B 2π或 B f 1 ，帶寬與脈寬成反比。 對(duì)于一般周期信號(hào)，將幅度下降為 0.1|Fn|max 的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。 系統(tǒng)的通頻帶 >信號(hào)的帶寬，才能不失真。