高數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性與極值

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1、1主 講 教 師 : 高 等 數(shù) 學 第 十 八 講 2 第 九 節(jié)一 、 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性二 、 函 數(shù) 的 極 值 及 其 求 法函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 與 極 值 第 二 章 3 一 、 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 若定 理 1. 設 函 數(shù) )(xf 0)( xf則 在 I 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增)(xf,)0)( xf (遞 減 ) .證 : 無 妨 設 ,0)( Ixxf 任 取 )(, 2121 xxIxx 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 )()()( 1212 xxfxfxf ),( 21 xx I 0故 .)()( 21 xfxf 這 說 明 在 I 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增

2、 .)(xf在 開 區(qū) 間 I 內(nèi) 可 導 , 證 畢I 稱 為 單 調(diào) 遞 增 (遞 減 ) 區(qū) 間 。 4 例 1. 確 定 函 數(shù) 31292)( 23 xxxxf 的 單 調(diào) 區(qū) 間 .解 : 12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx令 ,0)( xf 得 2,1 xxx )(xf )(xf )1,( 20 01 )2,1( ),2( 2 1故 )(xf 的 單 調(diào) 增 區(qū) 間 為 ,)1,( );,2( )(xf 的 單 調(diào) 減 區(qū) 間 為 ).2,1( 12 xoy 1 2為 駐 點 5 y xo說 明 : 單 調(diào) 區(qū) 間 的 分 界 點 除 駐 點 外 ,也 可 是 導

3、 數(shù) 不 存 在 的 點 . 例 如 , ),(,3 2 xxy 33 2 xy 0 xy 3 2xy 2) 如 果 函 數(shù) 在 某 駐 點 兩 邊 導 數(shù) 同 號 , 則 不 改 變 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 .例 如 , ),(,3 xxy 23xy 00 xy yo x3xy 6 例 2 證 明 31tan 0 .3 2x x x x 證 ： 令 331tan)( xxxxF 2 2( ) sec 1F x x x )(tan(tan xxxx 令 xxxg tan)( 2 2( ) sec 1 tan 0 0 2g x x x x 0)0(tan)( gxxxg 0)( xF0)0()(

4、 FxF從 而 2031tan 3 xxxx 成 立2 2tan x x 7 例 3. 證 明 .)0(1arctan)1ln( xx xx證 : 設 xxxx arctan)1ln()1()( , 則 0)0( 21 1)1ln(1)( xxx )0(0 x故 0 x 時 , )(x 單 調(diào) 增 加 , 從 而 0)0()( x即 )0(1arctan)1ln( xx xx思 考 : 證 明 )10(arcsin )1ln(11 xxxxx 時 , 如 何 設 輔 助函 數(shù) 更 好 ? xxxxx arcsin1)1ln()1()( 2提 示 : 8 例 4 求 證 )1ln(arctan2

5、 2xxx 證 法 一 ： 設 )1ln(arctan2)( 2xxxxf 0)0( fxxxxxxxf arctan21 21 2arctan2)( 22 0)0()( fxf當 0 x 時 )(0)( xfxf 0)0()( fxf 0)0()( fxf當 0 x 時 0)( xf綜 上 可 知 ， 無 論 x 為 什 么 值 ， 總 有 )1ln(arctan2 2xxx 則 不 等 式 成 立 。當 0 x 時 )(0)( xfxf 9 例 4 求 證 )1ln(arctan2 2xxx 證 法 2： 設 )1ln(arctan2)( 2xxxxf 0)0( fxxxxxxxf arc

6、tan21 21 2arctan2)( 22 0)( xf arctan則 無 論 x 為 什 么 值 ， 總 有 )1ln(arctan2 2xxx 則 不 等 式 成 立對 f (x) 在 0 與 x 之 間 應 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 有xxxx arctan2)1ln(arctan2 2式 中 在 0 與 x 之 間 ， 由 于 與 x 同 號 ， 10 例 5 證 明 1( ) (1 )xf x x (0, )1ln ( ) ln(1 ) ln(1 ) ln f x x x x xx 1 1( ) (1 ) ln(1 ) ln ,1xf x x xx x ( ) ln

7、t t , 1t x x 1ln(1 ) ln , 0 1x x x x 1 1 1ln(1 ) ln 0,1 1x x x x 0 x ( ) 0f x 1( ) (1 )xf x x (0, ) 在證 明令 在 上 利 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得故 當 時 ，從 而 在 內(nèi) 單 調(diào) 增 加 。內(nèi) 單 調(diào) 增 加 。此 函 數(shù) 為 冪 指 函 數(shù) ， 兩 邊 取 對 數(shù) 11 例 5 證 明 方 程 2xxe 在 區(qū) 間 (0,1)內(nèi) 有 且 僅 有 一 個 實 根 。證 明 ： 設 2 xxexf 在 區(qū) 間 0,1 上 連 續(xù) ， 020 f 021 ef由 零 點 定 理

8、， ,1,0 使 0f即 2xxe 的 根 存 在 。 又 01 xexf x xf 單 調(diào) 增 加 。 xf 的 圖 形 至 多 與 x軸 有 一 個 交 點 ，所 以 方 程 僅 有 唯 一 解 。 12 二 、 函 數(shù) 的 極 值 及 其 求 法定 義 : ,),()(內(nèi)有定義在設函數(shù)baxf ,),(0 bax ，的一個鄰域若存在0 x 在 其 中 當 0 xx 時 ,)()( 0 xfxf (1) 則 稱 為 的 極 大 點 ,0 x )(xf稱 為 函 數(shù) 的 極 大 值 ;)( 0 xf,)()( 0 xfxf (2) 則 稱 為 的 極 小 點 ,0 x )(xf稱 為 函 數(shù)

9、 的 極 小 值 .)( 0 xf極 大 點 與 極 小 點 統(tǒng) 稱 為 極 值 點 . 13 注 意 : 3x1x 4x2x 5x xa boy 41,xx 為 極 大 點52 ,xx 為 極 小 點3x 不 是 極 值 點 2) 對 常 見 函 數(shù) , 極 值 可 能 出 現(xiàn) 在 導 數(shù) 為 0 或 不 存 在 的 點 .1) 函 數(shù) 的 極 值 是 函 數(shù) 的 局 部 性 質(zhì) .31292)( 23 xxxxf例 如 (P146例 4)1x 為 極 大 點 , 2)1( f 是 極 大 值 ; 1)2( f 是 極 小 值 .2x 為 極 小 點 , 12 xoy 1 2 14 定 理

10、2（ 極 值 存 在 的 必 要 條 件 ）( ) 0.f x 0( ) 0f x ( )y f x如 果 在 x0處 可 導 ， 且 在 x0處 取 得 極 值 ， 則（ 證 明 略 ）使 的 點 稱 為 函 數(shù) 的 駐 點 。( )y f x定 理 2告 訴 我 們 ， 可 導 函 數(shù) 的 極 值 點 必 定 是 駐 點 ，但 駐 點 未 必 是 極 值 點 。 尋 求 函 數(shù) 的 極 值 點 首 先 要 找( )y f x 的 駐 點 以 及 不 可 導 的 點 ， 再 判 斷 其 是 否 為極 值 點 。 15 定 理 3 (極 值 第 一 判 別 法 ) ,)( 0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設

11、函數(shù)xxf 且 在 空 心 鄰 域內(nèi) 有 導 數(shù) , ,0時由小到大通過當xx(1) )(xf “左 正 右 負 ” , ;)( 0取極小值在則xxf(2) )(xf “左 負 右 正 ” , .)( 0取極大值在則xxf (自 證 ) 點 擊 圖 中 任 意 處 動 畫 播 放 暫 停 x)(xf )(xf 0 xx 0 xx 0 x 0 )( 0 xf 為 極 小 值0 x 為 極 小 點如 ： 16 例 1. 求 函 數(shù) 32)1()( xxxf 的 極 值 .解 : 1) 求 導 數(shù) 235( ) 3f x x 1323 x 3 5235 xx2) 求 極 值 可 疑 點令 ,0)(

12、xf 得 ;521 x 令 ,)( xf 得 2 0.x 3) 列 表 判 別x)(xf )(xf 0520 0 33.0)0,( ),0( 52 ),(52 0 x 是 極 大 點 ， 其 極 大 值 為 0)0( f是 極 小 點 ， 其 極 小 值 為52x 33.0)(52 f 17 定 理 4 (極 值 第 二 判 別 法 )二 階 導 數(shù) , 且處具有在點設函數(shù)0)( xxf,0)( 0 xf 0)( 0 xf,0)()1( 0 xf若則 在 點 取 極 大 值 ;)(xf 0 x,0)()2( 0 xf若則 在 點 取 極 小 值 .)(xf 0 x 證 : (1) )( 0 x

13、f 0 0)()(lim0 xx xfxfxx 0)(lim0 xx xfxx ,0)( 0知由 xf 存 在 ,0 ,0 0時當 xx 0)( 0 xx xf時，故當00 xxx ;0)( xf時，當 00 xxx ,0)( xf 0 x 0 x 0 x 由 第 一 判 別 法 知 .)( 0取極大值在xxf(2) 類 似 可 證 . 18 例 2. 求 函 數(shù) 1)1()( 32 xxf 的 極 值 . 解 : 1) 求 導 數(shù) ,)1(6)( 22 xxxf )15)(1(6)( 22 xxxf2) 求 駐 點令 ,0)( xf 得 駐 點 1,0,1 321 xxx3) 判 別因 ,0

14、6)0( f 故 為 極 小 值 ;0)0( f又 ,0)1()1( ff 故 需 用 第 一 判 別 法 判 別 .,1)(左右鄰域內(nèi)不變號在由于 xxf .1)(沒有極值在 xxf 1 xy1 19 試 問 為 何 值 時 ,a xxaxf 3sin31sin)( 32x在 時 取 得 極 值 ,解 : )(xf 由 題 意 應 有 )32( f 2 a又 )(xf )32( f )(xf 取 得 極 大 值 為 3)(32 f ,3coscos xxa )32(3cos)32cos( a 0,3sin3sin2 xx 0并 求 出 該 極 值 。 指 出 它 是 極 大 還 是 極 小

15、，例 3 1)21( a 12 a 20 內(nèi) 容 小 結1. 可 導 函 數(shù) 單 調(diào) 性 判 別Ixxf ,0)( )(xf 在 I 上 單 調(diào) 遞 增Ixxf ,0)( )(xf 在 I 上 單 調(diào) 遞 減2. 連 續(xù) 函 數(shù) 的 極 值(1) 極 值 可 疑 點 : 使 導 數(shù) 為 0 或 不 存 在 的 點(2) 第 一 充 分 條 件)(xf 過 0 x 由 正 變 負 )( 0 xf 為 極 大 值)(xf 過 0 x 由 負 變 正 )( 0 xf 為 極 小 值(3) 第 二 充 分 條 件 0)(,0)( 00 xfxf )( 0 xf 為 極 大 值)( 0 xf 為 極 小

16、 值0)(,0)( 00 xfxf 21 思 考 與 練 習1. 設 ,1)( )()(lim 2 ax afxfax 則 在 點 a 處 ( ).)()( xfA 的 導 數(shù) 存 在 ,；且0)( af)()( xfB 取 得 極 大 值 ; )()( xfC 取 得 極 小 值 ;)()( xfD 的 導 數(shù) 不 存 在 . B提 示 : 利 用 極 限 的 保 號 性 . 22 2. 設 )(xf 在 0 x 的 某 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) , 且 ,0)0( f,2cos1 )(lim0 xxfx 則 在 點 0 x 處 ).()(xf(A) 不 可 導 ;(B) 可 導 , 且 ;0)0

17、( f(C) 取 得 極 大 值 ;(D) 取 得 極 小 值 . D提 示 : 利 用 極 限 的 保 號 性 . ,2)(lim 0 xxfx 23 3. 設 )(xfy 是 方 程 042 yyy 的 一 個 解 ,若 ,0)( 0 xf 且 ,0)( 0 xf 則 )(xf 在 )(0 x(A) 取 得 極 大 值 ;(B) 取 得 極 小 值 ;(C) 在 某 鄰 域 內(nèi) 單 調(diào) 增 加 ;(D) 在 某 鄰 域 內(nèi) 單 調(diào) 減 少 .提 示 : ,)(代入方程將xf 0)(4)( 00 xfxf A得令,0 xx 24 作 業(yè)P149 1（ 1） （ 2） ； 2；3 (2)(4)

18、 ; 4 ； 5(2), (3) (6); 6； 7； 8. 25 思 考 與 練 習 1,0 上 ,0)( xf 則 ,)1(,)0( ff )0()1( ff 或 )1()0( ff 的 大 小 順 序 是 ( ) )0()1()0()1()( ffffA )0()0()1()1()( ffffB )0()1()0()1()( ffffC )0()1()0()1()( ffffD 提 示 : 利 用 )(xf 單 調(diào) 增 加 , )10()()0()1( fff 及B1. 設 在 26 . ),( 21 )1,( 2121 e2. 曲 線 21 xey 的 凹 區(qū) 間 是凸 區(qū) 間 是拐

19、點 為提 示 : )21(2 22 xey x ),( 2121),( 21 及 yo x)1,( 2121 e )1,( 2121 e ; ; 27 4、 設 函 數(shù) ( )y y x 3 2 22 2 2 1y y xy x ( )y y x 22 3x yy x y y 0y y x 1x y 11 021y xy ( )y y x 1x 1.y 由 方 程所 確 定 ， 求 的 極 值 。令 得 代 入 原 方 程 得由 ， 所 以 函 數(shù) 在處 有 極 小 值 解 方 程 兩 邊 同 時 對 x求 導 整 理 得 28 ( )f x ( , )a ( )f x ( , )a ( ) 0f x x a( ) ( )( ) f x f aF x x a 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x a f x f x f aF x x a ( ) 0f x ( )f x( ) 0,F x ( )F x 9、 設 函 數(shù) 在 內(nèi) 連 續(xù) ， 在內(nèi) 存 在 ， 且 ， 證 明 當 時 ， 函 數(shù)單 調(diào) 增 加 。 因 ， 故 單 調(diào) 增 加 ， 因 此 從 而 知單 調(diào) 增 加 。解 ( ) ( ) , ( , )f x f a xx a