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1、第三章 1 知識網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建2 要點歸納 主干梳理3 題型探究 重點突破章末復習提升 1.歸納和類比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整體的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推測未知,都能用于猜想,推理的結(jié)論不一定為真,有待進一步證明. 2.演繹推理與合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是數(shù)學中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式,另一方面,合情推理與演繹推理又是相輔相成的,前者是后者的前提,后者論證前者的可靠性. 3.直接證明和間接證明是數(shù)學證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)
2、論追溯到條件的證明方法,在解決數(shù)學問題時,常把它們結(jié)合起來使用,間接證法的一種方法是反證法,反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā),推出矛盾的證明方法. 題型一歸納推理和類比推理歸納推理和類比推理是常用的合情推理,兩種推理的結(jié)論“ 合情”但不一定“ 合理” ,其正確性都有待嚴格證明.盡管如此,合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用.運用合情推理時,要認識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的.在解決問題時,可以先從觀察入手,發(fā)現(xiàn)問題的特點,形成解決問題的初步思路,然后用歸納、類比的方法進行探索、猜想,最后用邏輯推理方法進行驗證. 例1觀察下列各式：ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b
3、511, ,則a10b10等于()A.28 B.76 C.123 D.199解析記anbnf(n),則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11. 通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(n N,n 3),則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案C 跟蹤訓練1自然數(shù)按下表的規(guī)律排列 則上起第2 014行,左起第2 015列的數(shù)為()A.2 0142 B.2 0152C.2 0132 014 D.2
4、 0142 015解析經(jīng)觀察可得這個自然數(shù)表的排列特點：第一列的每個數(shù)都是完全平方數(shù),并且恰好等于它所在行數(shù)的平方,即第n行的第1個數(shù)為n2；第一行第n個數(shù)為(n1)21； 第n行從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞減1；第n列從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞增1.故上起第2 014行,左起第2 015列的數(shù),應(yīng)是第2 015列的第2 014個數(shù),即為(2 0151)212 0132 0142 015.答案D 題型二直接證明高考題對直接證明的考查,各種題型均有體現(xiàn),尤其是解答題,一直是考查證明方法的熱點與重點.綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法,也是解決數(shù)學問題常用的思維方式.如果從解題的切入點的
5、角度細分,直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等,應(yīng)用綜合法證明問題時,必須首先想到從哪里開始起步,分析法就可以幫助我們克服這種困難,在實際證明問題時,應(yīng)當把分析法和綜合法結(jié)合起來使用. 而上述不等式顯然成立,故原不等式成立. 跟蹤訓練2如圖,在四面體BACD中,CBCD,AD BD,且E,F分別是AB,BD的中點,求證：(1)直線EF 平面ACD；證明要證直線EF 平面ACD,只需證EF AD且EF 平面ACD.因為E,F分別是AB,BD的中點,所以EF是 ABD的中位線,所以EF AD,所以直線EF 平面ACD. (2)平面EFC 平面BCD.證明要證平面E
6、FC 平面BCD,只需證BD 平面EFC,又因為CBCD,F為BD的中點,所以CF BD.所以平面EFC 平面BCD. 題型三反證法如果一個命題的結(jié)論難以直接證明時,可以考慮反證法.通過反設(shè)結(jié)論,經(jīng)過邏輯推理,得出矛盾,從而肯定原結(jié)論成立.反證法是高中數(shù)學的一種重要的證明方法,在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到,在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn),它所反映出的“ 正難則反” 的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題. 例3如圖所示,已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi),M,N分別為AB、DF的中點.(1)若平面ABCD 平面DCEF,求直線MN與
7、平面DCEF所成角的正弦值；解如圖所示,取CD的中點G,連接MG,NG,設(shè)正方形ABCD,DCEF的邊長為2, 平面ABCD 平面DCEF, MG 平面DCEF, MNG是MN與平面DCEF所成的角. (2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線.證明假設(shè)直線ME與BN共面,則AB 平面MBEN,且平面MBEN與平面DCEF交于EN, 兩正方形不共面, AB 平面DCEF.又AB CD,所以AB 平面DCEF,而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線, AB EN.又AB CD EF, EN EF,這與EN EFE矛盾,故假設(shè)不成立. ME與BN不共面,即它們是異面直線. 證明假設(shè)a,b,
8、c都不大于0,即a 0,b 0,c 0, 30,且(x1)2(y1)2(z1)2 0, abc0,這與abc 0矛盾,因此假設(shè)不成立, a,b,c中至少有一個大于0. 課堂小結(jié)1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理(1)歸納推理的基本模式：a,b,c M且a,b,c具有某屬性,結(jié)論任意d M,d也具有某屬性.(2)類比推理的基本模式：A具有屬性a,b,c,d；B具有屬性a ,b ,c ；結(jié)論：B具有屬性d .(a,b,c,d與a ,b , c ,d 相似或相同). 2.使用反證法證明問題時,常見的“ 結(jié)論詞” 與“ 反設(shè)詞” 列表如下：原結(jié)論詞 反設(shè)詞 原結(jié)論詞 反設(shè)詞至少有一個 一個也沒有 對所有x成立 存在某個x不成立至多有一個 至少有兩個 對任意x不成立 存在某個x成立至少有n個 至多有n1個 p或q 綈 p且綈 q至多有n個 至少有n1個 p且q 綈 p或綈 q
高中數(shù)學 第三章 推理與證明章末復習提升課件 北師大版選修1-2
