高中數(shù)學 第一講 線性變換與二階矩陣 1_1_1 幾類特殊線性變換及其二階矩陣課件 新人教A版選修4-2

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1、第一講線性變換與二階矩陣 一線性變換與二階矩陣 (一)幾類特殊線性變換及其二階矩陣 1.理解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換及二階矩陣的概念.2.會求幾何元素在某變換作用下的像,會求變換公式及對應的二階矩陣. 1 2 3 4 5 6 7 81.線性變換名師點撥在表達式(*)中,x,y都是關(guān)于x,y的常數(shù)項為0的一次式,通常稱“一次表達式”為“線性表達式”,所以上述變換稱為“線性變換”. 答案:(2,11) 1 2 3 4 5 6 7 8名師點撥二階矩陣僅僅是一個包含兩行、兩列的數(shù)表,它既不是數(shù),也不是代數(shù)式.手寫矩陣時要注意數(shù)與數(shù)之間的間距. 1 2 3 4 5 6 7 8答案

2、:3 1 2 3 4 5 6 7 83.特殊矩陣名師點撥1.矩陣通常用大寫的英文字母A,B,C表示.2.零矩陣和單位矩陣是常用的兩個矩陣. 1 2 3 4 5 6 7 8【做一做3】 在下列矩陣中,二階單位矩陣是()解析:由二階單位矩陣的定義知,選C.答案:C 1 2 43 5 6 7 8 1 2 43 5 6 7 8名師點撥1.(x,y)為平面內(nèi)任意一點的坐標,(x,y)是旋轉(zhuǎn)后的相應點的坐標.2.角可正可負,為正角說明按逆時針方向旋轉(zhuǎn)|,為負角說明是按順時針方向旋轉(zhuǎn)|. 1 2 43 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 85.反射變換平面上的任意一點P變成它關(guān)于直線l的對稱點P的線

3、性變換叫做關(guān)于直線l的反射. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8【做一做5】 在直角坐標系xOy內(nèi),求任意一點P(x,y)關(guān)于直線y=-x 的反射變換的坐標變換公式及相應矩陣. 解:P(x,y)關(guān)于直線y=-x的對稱點為P(-y,-x),則坐標變換公式 1 2 3 4 5 6 7 86.伸縮變換在直角坐標系xOy內(nèi),將每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋1倍,縱坐標變?yōu)樵瓉淼膋2倍,其中k1,k2均為非零常數(shù),稱這樣的幾何變換為伸縮變換. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 87.投影變換設l是平面內(nèi)一條給定的直線,對平

4、面內(nèi)的任意一點P作直線l的垂線,垂足為點P,則稱點P為點P在直線l上的投影.將平面上每一點P變成它在直線l上的投影P,這個變換稱為關(guān)于直線l的投影變換. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8【做一做7】 在直角坐標系xOy內(nèi),關(guān)于直線y=2x的投影變換的矩陣為()答案:B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8名師點撥在直角坐標系xOy內(nèi),將每一點P(x,y)沿著與x軸平行的方向平移ky個單位長度變成點P,其中k是非零常數(shù),稱這類變換為平行于x軸的切變變換.同理,平行于y軸的切變變換是指直角坐標系內(nèi)的每一點P(x,y)沿著與y軸平行的方向平移k

5、x個單位長度(其中k是非零常數(shù))的線性變換. 1 2 3 4 5 6 7 8 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六【例1】 請寫出在平面直角坐標系xOy內(nèi),將每一點繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)30的變換對應的二階矩陣.分析:先寫出旋轉(zhuǎn)變換公式,再寫出二階矩陣.解:根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換公式, 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六反思本題中的旋轉(zhuǎn)變換是按順時針方向旋轉(zhuǎn)的,所以代入旋轉(zhuǎn)變換坐標公式時,要用負角表示. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六反思只要明確了點A、點A與直線y=kx的關(guān)系,此類題可靈活求 解,在點A、點A及直線

6、l中可知二求一. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六反思熟記伸縮變換的坐標變換公式及相應的二階矩陣是解決此類題的金鑰匙. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六【例4】 在直角坐標系xOy內(nèi),求關(guān)于直線y=3x的投影變換對應的二階矩陣.分析:根據(jù)投影變換的定義,在關(guān)于直線l的投影變換下,點P與它的像P應滿足PP l,且點P在直線l上. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六解:設平面內(nèi)任一點P(x,y)在關(guān)于直線y=3x的投影變換下的對應點為P(x,y),則有PP與直線y=3x垂直,且點P在直線PP上,反思解決此類問題

7、,要緊扣概念,依據(jù)概念解題. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六【例5】 已知一切變變換是將坐標平面內(nèi)的任意一點(x,y)沿與x軸平行的方向平移2y個單位長度,則點P(1,2)在此變換作用下的像P為()A.(3,2)B.(5,2)C.(-1,2)D.(2,5)點P(1,2)在此變換作用下的像P為(5,2).答案:B 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六錯因分析:在旋轉(zhuǎn)變換中,把旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)方向搞錯了,逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角代入旋轉(zhuǎn)變換公式時為正角,順時針方向旋轉(zhuǎn)的角代入旋轉(zhuǎn)變換公式時為負角. 1 2 3 4 51.在直角坐標系xOy內(nèi),將點A(1,2)繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150后的點的坐標為() 1 2 3 4 5解析:設點A繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150后的點的坐標為(x,y),答案:B 1 2 3 4 52.在直角坐標系xOy內(nèi),點P(1,1)在關(guān)于直線x=5的反射變換作用下的像為()A.(9,1) B.(1,9)C.(-1,1) D.(1,-1)解析:點P(1,1)關(guān)于直線x=5的對稱點為(9,1).答案:A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 54.點P(2,3)在關(guān)于直線l的投影變換作用下的像為P(-1,1),則直線l的方程為. 答案:3x+2y+1=0 1 2 3 4 5