數(shù)學(xué)物理方程的解法

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1、2021-4-25 1 之 2021-4-25 2 2021-4-25 3 2021-4-25 4 1、 掌 握 微 分 幾 何 、 線 性 空 間 的 相 關(guān) 定 義 和 本 征 函 數(shù)集 的 應(yīng) 用 ；2、 掌 握 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 常 規(guī) 解 法 的 技 巧 ， 以 及 特 殊 函數(shù) 的 應(yīng) 用 ；3、 掌 握 格 林 函 數(shù) 在 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 求 解 中 的 應(yīng) 用 ， 掌握 積 分 方 程 的 數(shù) 值 求 解 方 法 ， 學(xué) 習(xí) 數(shù) 值 漸 近 方 法 。4、 學(xué) 習(xí) 和 提 高 編 程 分 析 實(shí) 際 問 題 的 能 力 。 2021-4-25 5 2021-4-2

2、5 6 第 一 章 微 分 幾 何 微 分 幾 何 的 產(chǎn) 生 和 發(fā) 展 是 與 數(shù) 學(xué) 分 析 密 切 相 連 的 ， 在 這 方 面 做 出 突 出 貢 獻(xiàn) 的 有 瑞 士 數(shù) 學(xué) 家 歐 拉 ， 法 國 的蒙 日 ， 德 國 的 高 斯 、 克 萊 因 等 。 在 波 的 輻 射 、 傳 播 、 散 射 、 反 射 等 應(yīng) 用 領(lǐng) 域 常遇 到 對 物 體 幾 何 形 狀 的 分 析 ， 而 微 分 幾 何 所 闡 明的 概 念 和 方 法 ， 在 這 一 方 面 成 為 有 力 的 工 具 。 經(jīng) 近 300年 的 發(fā) 展 ， 已 逐 漸 成 為 數(shù) 學(xué) 上 獨(dú) 具特 色 ， 應(yīng) 用

3、 廣 泛 的 學(xué) 科 。 2021-4-25 7 第 一 章 微 分 幾 何 微 分 幾 何 是 采 用 微 積 分 的 方 法 研 究 幾 何 圖 形 的 學(xué) 科 。 本 章 重 點(diǎn) 討 論 曲 面 理 論 的 基 本 原 理 。 微 分 幾 何 中 ， 由 于 運(yùn) 用 數(shù) 學(xué) 分 析 的 理 論 ， 就 可以 在 無 限 小 的 范 圍 內(nèi) 略 去 高 階 無 窮 小 ， 一 些 復(fù) 雜的 依 賴 關(guān) 系 可 以 變 成 線 性 的 ， 不 均 勻 的 過 程 也 可以 變 成 均 勻 的 ， 這 些 都 是 微 分 幾 何 特 有 的 研 究 方法 。 學(xué) 習(xí) 本 章 的 重 點(diǎn) 是 掌

4、 握 微 分 幾 何 基 本 概 念 理 解空 間 曲 面 的 定 義 、 定 理 及 重 要 幾 何 量 的 計(jì) 算 方 法 。 2021-4-25 第 一 章 微 分 幾 何 微 分 幾 何 涉 及 用 微 積 分 方 法 了 解 空 間 形 狀 及 其 性 質(zhì) 。 微 分 幾 何 解 決 問 題 的 一 般 思 路 是 ： 參 數(shù) 方 程 定義 幾 何 體 求 導(dǎo) 從 微 積 分 導(dǎo) 出 能 說明 幾 何 學(xué) 某 些 性 質(zhì)的 幾 何 量給 定 某 些 微分 量 求 解 確 定 幾 何 體幾 何 量 滿 足 的 條 件 （ 微 分 方 程 ）微 分 方 程 的 解 集 即 幾 何 體8

5、2021-4-25 9 第 一 章 微 分 幾 何 1、 三 維 空 間 中 的 曲 線 ；2、 三 維 空 間 中 的 曲 面 ；3、 曲 面 的 第 一 、 二 基 本 形 式 ；4、 曲 面 的 曲 率 ；5、 測 地 線 ；6、 張 量 簡 述 。 2021-4-25 10 第 一 章 微 分 幾 何 2021-4-25 11 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 在 E3 中 Descartes直 角 坐 標(biāo) 系 O-xyz 下 運(yùn) 動(dòng) 質(zhì) 點(diǎn) 的 位 置 為其 中 為 單 位 正 交 基 向 量 空 間 曲 線 定 義 ： 區(qū) 間 (a, b)上 點(diǎn) t 在 映 射 ： t (x

6、(t), y(t), z(t) 下 像 的 集 合曲 線 C的 表 示 ： 1.1.1 曲 線 的 表 示 式 中 t 稱 為 C 的 參 數(shù) C 可 用 向 量 形 式 的 參 數(shù) 方 程 表 示 為或 寫 為 分 量 形 式 的 參 數(shù) 方 程 x x(t) y y(t) z z(t) , t(a, b) 一 、 曲 線 的 表 示 ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k , ,i j k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( )r t x t i y t j z t k x t y t z t 2021-4-25 12 1.1 三 維

7、空 間 中 的 曲 線 假 定 所 研 究 的 曲 線 至 少 是 t 的 一 階 連 續(xù) 可 微 函 數(shù) 。 1.1.1 曲 線 的 表 示 二 、 正 則 定義 ：如 果 給 定 參 數(shù) 曲 線 C: , t(a, b) 若 ， 則 稱 t t0 的 對 應(yīng) 點(diǎn) 為 C 的 一 個(gè)正則點(diǎn) 若 ， 則 稱 t t0 的 對 應(yīng) 點(diǎn) 為 C 的 一 個(gè)奇點(diǎn)； 若 曲 線 上 所 有 點(diǎn) 正 則 ， 則 稱 C 為正則曲線， 并 稱 參 數(shù) t 為正則參數(shù)幾何意義： 視 參 數(shù) 曲 線 為 動(dòng) 點(diǎn) 軌 跡 ， 正 則 點(diǎn) 的 幾 何 意 義 則 是 當(dāng) 參 數(shù) 在 該 點(diǎn)處 作 微 小 變 動(dòng)

8、時(shí) 動(dòng) 點(diǎn) 的 位 置 同 時(shí) 作 真 正 的 變 動(dòng) ( )r r t ( )r t0( ) 0r t 0( )r t 0( )r t0( ) 0r t 2021-4-25 13 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.1 曲 線 的 表 示 例1 若 參 數(shù) 曲 線 C: , tR ， 則 其 幾 何 圖 形僅 僅 表 示 一 點(diǎn) ， 而 不 是 正 常 的 曲 線 ， 此 時(shí) 所 有 的 參 數(shù) 值對 應(yīng) 于 圖 形 實(shí) 體 的 同 一 點(diǎn) 這 是 非 正 則 曲 線 的 極 端 例子 例2 半 徑 為 a， 螺 距 為 2v的 圓 柱 螺 線 ， 如 視 為 動(dòng) 點(diǎn) 的 軌跡

9、， 表 示 為 (t) (a cos (w t) , a sin (w t) , v t ) , tR ， 其 中 三 個(gè) 常 數(shù) a 0 , w 0 和 v 0 分 別 為 動(dòng) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 的 圓周 半 徑 、 角 速 率 和 向 上 速 率 此 時(shí)(t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ， 說 明 該 參 數(shù) 化 使 之 成 為 正 則 曲 線 。 或 者 稱 該 曲 線 是 （ , ） 上 的 正 則 曲 線 。( )r r t 常 矢rr 2021-4-25 14 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.1 曲 線 的 表 示 例3 半 立 方

10、拋 物 線 光 滑 曲 線(t) (t3 , t2 , 0) , tR ， 則 (t) (3t2 , 2t , 0) ， 故 此 時(shí) 其 奇 點(diǎn) 有 且 僅 有 一 個(gè) ： r(0) 該 曲 線 是 （ , 0） 和 （ 0, ） 上 的 正 則 曲 線 。同 一 條 曲 線 可 有 不 同 的 參 數(shù) 表 示 。 如 果 曲 線 C為 (t)， 用 t t (t 1)引 入 新 參 量 t1， 則 (t) (t (t1) 1 (t1)， 為 保 障 t, t1一 一 對 應(yīng) 且 為使 t, t1增 加 的 方 向 均 相 應(yīng) 于 曲 線 正 向 ， 要 求 三 、 同 一 曲 線 的 不 同

11、 參 數(shù) 表 示 1 0dtdt曲 線 C上 一 點(diǎn) 如 取 參 數(shù) t 時(shí) 為 正 則 點(diǎn) ， 則 在 取 t1表 示 時(shí) 也 為 正 則 點(diǎn)rr r r r r 2021-4-25 15 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.1 曲 線 的 表 示 可 以 選 取 弧 長 作 為 曲 線 的 參 數(shù) 并 能 夠 方 便 地 確 定 曲 線 的 切 線 是 曲 線 切 矢 量 的 長 度 。注 意 ： 弧 長 是 代 數(shù) 量 ； 弧 長 只 依 賴 于 曲 線 上 所 選 取 的 始 末 點(diǎn) ， 而 與 參 數(shù) 的 選 擇 無 關(guān) ； 對 正 則 曲 線 可 選 取 弧 長 s作

12、為 表 示 曲 線 的 新 參 數(shù) ， 這 時(shí) 切 矢 量 為 一 單 位 矢 量 。四 、 正 則 曲 線 的 意 義 設(shè) 曲 線 C: (t) , t(a, b) 正 則 ， 則 曲 線 從 參 數(shù) t0到 t處 的 弧 長為 0tt ds dtdtr 2 2 2( ) ( ) ( )dx t dy t dz tdt dt dtddtr其 中r r 2021-4-25 16 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.1 曲 線 的 表 示 選 取 弧 長 作 為 參 數(shù) 的 曲 線 稱 為 單 位 速 率 曲 線 。單 位 速 率 曲 線 的 意 義 類 比 ： 0tt ds dtd

13、tr 空 間 曲 線 質(zhì) 點(diǎn) 在 空 間 的 運(yùn) 動(dòng) 軌 跡參 數(shù) t 時(shí) 間 質(zhì) 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 速 度 質(zhì) 點(diǎn) 經(jīng) 歷 的 路 程drdt選 取 弧 長 作 為 曲 線 的 參 數(shù) 的 好 處 是 曲 線 上 每 一 點(diǎn) 的 切 向 量 都是 單 位 向 量 。 2021-4-25 17 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.1 曲 線 的 表 示 t 為 正 則 參 數(shù) ， 且 有 ds |r(t)| dt a2w2 + v2 dt s(t) s(t 0) tt0 |r(u)| du tt0 a2w2 + v2du a2w2 + v2 (t t0) 點(diǎn) (a, 0, 0)對 應(yīng)

14、 于 參 數(shù) t 0， 故 從 點(diǎn) (a, 0, 0)計(jì) 起 的 弧 長 參 數(shù) s(t) s(0) = t sqrt (a2w2+v2) 故 一 個(gè) 螺 紋 對 應(yīng) 于 參 數(shù) t取 值 區(qū) 間 為 t0， t0+|2/|的 長 度 為 s(2/) s(0) = |2/| sqrt (a2w2+v2) 2 2 2( ) 0r t a vw + 例4 圓 柱 螺 線 參 數(shù) 化 為 (t) (a cos(wt) , a sin(wt) , vt) , tR ，其 中 三 個(gè) 常 數(shù) a 0 , w 0 和 v 0 試 求 其 從 點(diǎn) (a, 0, 0) 計(jì) 起 的 弧 長 參 數(shù) ， 并 確

15、定 其 一 個(gè) 螺 紋 的 長 度 r解 ： 因 2021-4-25 18 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.2 空 間 曲 線 的 重 要 幾 何 量 一 、 曲 線 的 曲 率 r(t0) r(t0) r(t0+t)r(t0) r(t 0+t) O 考 慮 單 位 切 向 及 其 方 向 相 對 于 弧 長 的 變 化 率 定 義 ： 曲 率 ( )t s ( )t s sO( )sr ( )s sr曲 率 和 曲 率 矢 量 的 定 義 不 依 賴 于 正 則 參 數(shù) 的 選 取 ( ) ( ) ( )k s s st r曲 率 的 意 義 表 征 了 曲 線 的 切 向

16、量 相 對 于 弧 長 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 速 度 。其 值 的 大 小 代 表 了 曲 線 的 彎 曲 程 度 。 2021-4-25 19 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.2 空 間 曲 線 的 重 要 幾 何 量 定 義 曲 率 半 徑 ； 曲 率 矢 量 其 中 ， 是 與 正 交 的 單 位 矢 。 且 指 向 曲 線 的 凹 向 。 曲 率 ( ) ( ) ( )k s s st r曲 率 半 徑 ( ) 1/ ( )s k s曲 率 矢 量 ( ) ( ) ( ) ( )s s k s st r n( )sn ( )st( )t s ( )t s sO( )sr ( )s

17、 sr ( )st( )s st / ( )/ ( )s st t n 2021-4-25 20 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.2 空 間 曲 線 的 重 要 幾 何 量 一 、 曲 線 的 曲 率 密 切 面 方 程 如 果 密 切 面 上 的 點(diǎn) 用 定 義 密 切 平 面 曲 線 (s)在 s點(diǎn) 的 所 構(gòu) 成 的 平 面 ,t n表 示 ， 則 1 1 1( , , )x y z位 于 密 切 面 內(nèi) ， 即 r 1 1 1 ( , , ) 0, , 0 x x y y z zx y zx y z r t n命 ( ) ( ) ( )s s sb t n為 曲 線 在

18、 s處 的 從 法 向 單 位 矢 ， 它 是 密 切 面 的 法 線 。 r 2021-4-25 21 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.2 空 間 曲 線 的 重 要 幾 何 量 從 切 面 曲 線 (s)在 s點(diǎn) 的 ,t n描 述 曲 線 密 切 面 方 向 變 化 引 入 撓 率 ( ) ( ) ( )s s sb n 密 切 面 ,t b 所 構(gòu) 成 的 平 面 ,n b 法 平 面 二 、 曲 線 的 撓 率 由 上 式 所 確 定 的 函 數(shù) 稱 為 曲 線 在s點(diǎn) 的 撓 率 ( )s撓 率 的 絕 對 值 表 示 了 曲 線 的 密 切 面 （ 或 從 法 矢

19、 量 ） 隨 s的 旋 轉(zhuǎn) 速 率 r 2021-4-25 22 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.2 空 間 曲 線 的 重 要 幾 何 量 1） 當(dāng) 曲 線 以 弧 長 為 參 數(shù) 表 示 時(shí) ， 即 ( ) ( ), ( ), ( )s x s y s z sr r 三 、 曲 線 的 曲 率 撓 率 的 計(jì) 算 公 式 曲 率撓 率 22 22 2 222 2( ) ( ) d yd x d zds ds dsk s sr 2( ) , , / ( )s sr r r r 2） 當(dāng) 曲 線 以 一 般 參 數(shù) t 表 示 曲 率 322( ) d d dk t dt dt

20、 dtr r r 撓 率 22 3 22 3 2( ) , ,d d d d dt dt dt dt dt dt r r r r r 2021-4-25 23 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.2 空 間 曲 線 的 重 要 幾 何 量 例 5 對 曲 率 非 零 的 曲 線 C 而 言 ， C 為 平 面 曲 線 的 充 要 條 件是 其 撓 率 函 數(shù) 恒 等 于 零 證 明 ： 只 要 證 明 “ 從 法 向 量 恒 等 于 常 向 量 ” 等 價(jià) 于 “ 撓 率函 數(shù) 恒 等 于 零 ” ， 而 這 由 (s) ， 即 可 得 證 如 果 曲 線 的 撓 率 恒 為 零

21、， 則 (s) 常 矢 量 。 于 是 0 ( ) ( )s sb r b r 由 此 得 ( )s constb r設(shè) s 0是 曲 線 上 任 一 點(diǎn) ， 則 由 上 式 得 0 ( ) ( ) 0s sr r b 可 見 (s)位 于 通 過 s0， 法 線 為 的 平 面 上 ， 即 其 是 一 平 面 曲 線 。 還 可 類 似 證 明 曲 率 恒 為 零 的 曲 線 為 直 線 。 b bbr n 2021-4-25 24 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.2 空 間 曲 線 的 重 要 幾 何 量 物理意義： 撓 率 是 刻 劃 曲 線 彎 曲 狀 況 的 又 一

22、個(gè) 重 要 的 幾 何 量 ，因 而 又 可 稱 之 為 曲 線 的 第 二 曲 率 ； 由 于 撓 率 體 現(xiàn) 了 密 切 平 面 的 扭 轉(zhuǎn) 狀 況 ， 通 常 說 它 表示 了 曲 線 的 扭 曲 程 度 當(dāng) 撓 率 非 零 時(shí) ， 稱 其 倒 數(shù) 為 撓 率 半 徑 2021-4-25 25 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.2 空 間 曲 線 的 重 要 幾 何 量 曲率、撓率的意義：沿 曲 線 的 變 化 告 訴 我 們 曲 線 自 身 在 空 間 中 是 如 何 旋 轉(zhuǎn) 彎 曲 的n , ,t n b , ,t n b 的 變 化 又 由 微 分 決 定 。 , ,

23、t n b由 的 定 義 kt n所 以 曲 率 描 述 了 方 向 的 變 化 。t因 為 是 三 維 空 間 R 3中 三 個(gè) 相 互 垂 直 的 單 位 向 量 。 故 R3中 , ,t n b任 一 向 量 都 是 它 們 的 線 性 組 合 ， 如 果 ， 如 能 確 定 a b cb t n ba,b,c 則 也 就 確 定 了 b 2021-4-25 26 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.2 空 間 曲 線 的 重 要 幾 何 量 a b c at b t t t n t b同 理 的 表 達(dá) 式 中 僅 剩 一 個(gè) 非 零 系 數(shù) ， 既 然 不 能 用 已 知

24、 量 刻 畫 它 ，就 把 它 定 義 為 撓 率 。因 為 0t b所 以 ( ) ( ) ( )b t b t n b n b b b由 b a b c bn b n t n n n b a b c cb b b t b n b b 為 零因 為 0 t b t b t b所 以 0kt b t b n b kt n 0n b定 義 n b 為 曲 線 的 撓 率 ， 則 b n 2021-4-25 27 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 1.1.3 曲 線 在 一 點(diǎn) 鄰 近 的 性 質(zhì) ( ); ( ), ( ), ( )s s s sr t n b一 、 Frenet標(biāo) 架在

25、曲 線 上 與 自 身 幾 何 屬 性 密 切 相 關(guān) 的 標(biāo) 架 場 Frenet標(biāo) 架 按 照 標(biāo) 架 運(yùn) 動(dòng) 的 一 般 規(guī) 律 ， 對 于 無 逗 留 點(diǎn) 的 曲 線 r ， 其Frenet標(biāo) 架 關(guān) 于 曲 線 弧 長 s 的 運(yùn) 動(dòng) 公 式 （ 作 微 小 位 移 時(shí) 的 變換 公 式 ） 為 這 組 公 式 稱 為 Frenet 公 式 （ 曲 線 論 基 本 方 程 ） ， 它 包 含 了曲 線 幾 何 的 最 基 本 信 息 ： 弧 長 ， 曲 率 ， 撓 率 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 0( ) ( )dr Tdss kds sd s kds ds sd

26、ss st tn nb b 2021-4-25 28 1.1 三 維 空 間 中 的 曲 線 二 、 曲 線 在 一 點(diǎn) 鄰 近 的 性 質(zhì)在 明 確 了 Frenet公 式 之 后 ， Frenet標(biāo) 架 關(guān) 于 弧 長 的 各 階 導(dǎo)向 量 在 Frenet標(biāo) 架 下 的 分 量 就 都 可 以 用 曲 率 、 撓 率 以 及 它們 的 各 階 導(dǎo) 數(shù) 等 幾 何 量 具 體 表 示 出 來 。一 階 近 似二 階 近 似 2 30 0 0 0 0 0 01 1 ( ) 2 6s s k s k sr r t n b 三 階 近 似 ( Frenet 近 似 )意 義 ：如 果 撓 率 正

27、 ， 隨 s的 增 加 曲 線 沿 法 線 的 正 方 向 穿 過 密 切 面 ，反 之 則 反 向 穿 過 ；該 曲 線 段 近 似 于 一 段 圓 柱 螺 線 ， 撓 率 正 ， 右 螺 旋 ， 負(fù) ， 左 螺 旋 1.1.3 曲 線 在 一 點(diǎn) 鄰 近 的 性 質(zhì) 2021-4-25 29 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 一 、 曲 面參 數(shù) u,v在 二 維 區(qū) 域 D內(nèi) 變 化 時(shí) ， 依 賴 于 兩 個(gè) 參 數(shù) 的 矢 量設(shè) 端 點(diǎn) 的 軌 跡 確 定 出 的 曲 面 可 表 為( , )u vr 是 D中 任 一 固 定 點(diǎn) 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 ( ,

28、 ) ( , ), ( , ), ( , )u v x u v y u v z u vr 0 0( , )u v固 定 0v v u讓 在 D中 變 動(dòng) 得 0( , )u v r r u曲 線0u u v 0( , )u v r r v曲 線 參數(shù)曲線網(wǎng)如 果 0 0, 0u v u v r r即 點(diǎn) 處 u曲 線 的 切 向 量 與 v曲 線 的 切 向 量 不 平 行 ， 則稱 該 點(diǎn) 為 曲 面 上 的 正 則 點(diǎn) 。 反 之 為 奇 點(diǎn) 。 由 正 則 點(diǎn) 所 構(gòu) 成的 曲 面 稱 為 正 則 曲 面 。0 0( , )u v 2021-4-25 30 二 、 正 則 坐 標(biāo) 網(wǎng)對

29、正 則 曲 面 ， 在 點(diǎn) (u0,v0)處 若 根 據(jù) ru和 rv 的 連 續(xù)性 ， 則 存 在 該 點(diǎn) 的 一 個(gè) 鄰 域 ， 使 得 在 此 鄰 域 內(nèi) 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 于 是 在 這 塊 曲 面 上 每 一 點(diǎn) 有 惟 一 的 一 條 u曲 線 和 一 條 v曲 線 ，且 這 兩 條 曲 線 不 相 切 。 這 樣 的 兩 族 曲 線 構(gòu) 成 正 則 坐 標(biāo) 網(wǎng) 。0u v r r 0u v r r例 6 球 面 方 程 可 表 示 為 ( , ) ( sin cos , sin sin , cos )a a ar0,0 ,0 2a因 為 ( cos cos

30、, cos sin , sin )a a ar ( sin sin , sin cos ,0)a ar 2sin (sin cos ,sin sin ,cos )a r r故 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) 為 零 。 即 除 球 面 上 南 北 極 外 ， 球 面 上 的經(jīng) 線 ( 等 于 常 數(shù) )和 緯 線 ( 等 于 常 數(shù) ) 構(gòu) 成 正 則 曲 線 網(wǎng) 。0, 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 2021-4-25 31 一 、 切 平 面曲 面 在 某 點(diǎn) 處 所 構(gòu) 成 的 平 面 為 曲 面 在 該 點(diǎn) 的 切 平 面的 切 平 面 上 的 點(diǎn) ， 則如 果 用 1 1 1( , ,

31、 )x y z 1.2.1曲 面 的 切 平 面 與 法 向 量 ( , ), ( , ), ( , )x u v y u v z u vr上 式 即 切 平 面 方 程 。 表 示 曲 面 1 1 1( , , ) 0 0u vx x y y z zx y zu u ux y zv v v r r r 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 ,u vr r 2021-4-25 32 二 、 法 向 量曲 面 的 切 平 面 的 法 線 稱 為 曲 面 在 切 點(diǎn) 處 的 法 線 。曲 面 的 單 位 法 向 量 為 u vu vN r rr r 1.2.1曲 面 的 切 平 面 與 法 向

32、量 正 負(fù) 號(hào) 取 決 于 法 線 正 方 向 的 選 取 。 在 電 磁 理 論 與 天 線 工 程 中研 究 反 射 面 或 波 面 時(shí) ， 總 取 其 正 向 指 向 波 源 。曲 面 法 向 量 也 滿 足 參 數(shù) 變 換 下 的 不 變 性 。 如 果 在 一 種 參 數(shù)描 述 下 某 點(diǎn) 為 正 則 點(diǎn) ， 則 在 另 一 種 參 數(shù) 描 述 下 一 定 也 是 正則 的 。 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 2021-4-25 33 一 、 一 些 常 見 的 曲 面1)橢 圓 錐 面 1 2( , ) ( tan cos , tan sin , )u v u v u v

33、ur 1.2.2曲 面 舉 例 2)橢 圓 拋 物 面 2( , ) ( cos , sin , )u v au v bu v ur3)橢 球 面 ( , ) ( cos cos , cos sin , sin )u v a u v b u v c ur4)雙 曲 拋 物 面 2( , ) ( ch , sh , )u v au v bu v ur5)單 葉 雙 曲 面 ( , ) ( ch cos , ch sin , sh )u v a u v b u v c vr6)雙 葉 雙 曲 面 ( , ) ( sh cos , sh sin , ch )u v a u v b u v c ur

34、1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 2021-4-25 34 1)橢 圓 錐 面 1.2.2曲 面 舉 例 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 1 22 2 21 2, cos , sin ,r z v ztg v ztg v zx y ztg tg + program tuo_yuan_zhui use msimsl integer i,j real*8 x,y,z,theta1,theta2,f open(10,file=1橢 圓 錐 面 .txt) write(10,*) x , y , z write(*,*)請 輸 入 兩 個(gè) 張 角 (用 角 度 表 示 )： read(*

35、,*)theta1,theta2 theta1=theta1*3.1415926535897932384626433832795/180. theta2=theta2*3.1415926535897932384626433832795/180. do i=0,50 do j=0,360,5 f=j*3.1415926535897932384626433832795/180. z=i*(5./50.) x=z*dcos(f)*dtan(theta1) y=z*dsin(f)*dtan(theta2) write(10,11)x,y,z end do end do11 format(1x,3(f9

36、.5,5x) end 2021-4-25 35 1.2.2曲 面 舉 例 2)橢 圓 拋 物 面 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 a=2, b=3x= -15:0.1:15;y= -20:0.1:20;X,Y = meshgrid(x,y);Z=(X./2).2 + (Y./3).2;surfc(X, Y, Z);shading interp;%hidden onxlabel(x); ylabel(y);zlabel(z);colormap default;title(橢 圓 拋 物 面 );axis equal; 2222 byaxz + 2021-4-25 36 1.2.2曲 面

37、舉 例 3)橢 球 面 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 xc=0;yc=0;zc=0;xr=5;yr=4;zr=3;X,Y,Z=ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr,100);surf(X, Y, Z);shading interp;colormap copper;title(橢 球 面 );axis equal; 1222222 + czbyax 2021-4-25 37 1.2.2曲 面 舉 例 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 4)雙 曲 拋 物 面 2( , ) ( ch , sh , )u v au v bu v ur2222 byaxz X=-10:

38、0.1:10;Y=-15:0.1:15;x,y=meshgrid(x,y);Z=(x./2).2-(y./3).2;Surfc(x,y,z);Shading interp;Xlabel(X);ylabel (y);ylabel(z);Colormap jet; a=2,b=3 2021-4-25 38 1.2.2曲 面 舉 例 5)單 葉 雙 曲 面 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 program dan_ye_shuang_qu_mian use msimsl integer i,j real x,y,z,theta,fai,a,b,u open(10,file=5單 葉 雙 曲 面

39、 .txt) write(10,*) x , y , z write(*,*)請 輸 入 三 個(gè) 參 量 ： (a,b,c) read(*,*)a,b,c !a=2.d0 !b=2.d0 !c=2.0 do u=-2,2,0.1 do j=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180. x=a*cosh(u)*cos(fai) y=b*cosh(u)*sin(fai) z=c*sinh(u) write(10,11)x,y,z end do end do11 format(1x,3(f9.5,5x) End 2 2 2, cos , s

40、in ,1r u v achu v bchu v cshvx y za b c + 2021-4-25 39 1.2.2曲 面 舉 例 6)雙 葉 雙 曲 面 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 2 2 2, cos , sin ,1r u v ashu v bshu v cchuz x yc a b 這 里 取2, 2, 1a b c program shuang_ye_shuang_qu_mian use msimsl integer i,j real x,y,z,theta,fai,a,b,u open(10,file=6雙 葉 雙 曲 面 .txt) write(10,*) x ,

41、 y , z !write(*,*)請 輸 入 二 個(gè) 參 量 ： (a,b,c) !read(*,*)a,b,c a=2.d0 b=2.d0 c=2.0 do u=1,3,0.1 do j=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180. x=a*sinh(u)*cos(fai) y=b*sinh(u)*sin(fai) z=c*cosh(u) write(10,11)x,y,z end do end do c=-2 do u=1,3,0.1 do j=1,360,5 fai=j*3.14159265358979323846264338

42、32795/180. x=a*sinh(u)*cos(fai) y=b*sinh(u)*sin(fai) z=c*cosh(u) write(10,11)x,y,z end do end do11 format(1x,3(f9.5,5x) End 2, 2, 1a b c 2021-4-25 40 二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面將 xoz平 面 上 的 曲 線 ( ) 0: ( )x f vC a v bz g v 1.2.2曲 面 舉 例 繞 z軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 ， 該 曲 線 掃 過 的 軌 跡 為 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 其 參 數(shù) 方 程 為 ( , ) ( ( )cos , ( )sin , (

43、)u v f v u f v u g vr (0 2 , )u a v b因 為 ( sin , cos ,0)( cos , sin , ) uv f u f uf u f u grr 2 2 ( cos , sin , )/( )u vu vN fg u fg u ff f f g r rr r 1.2 三 維 空 間 中 的 曲 面 2021-4-25 41 一 、 曲 面 第 一 基 本 形 式 設(shè) C： 1 2( ), ( ),( )u u t v v t t t t 1.3 曲 面 的 第 一 二 基 本 形 式 為 曲 面 上 一 條 曲 線 ， 即 若 用 s表 示 C的 弧

44、長 ， 則 ( ) ( ), ( )t u t v t r r 則 u vd du dv r r r2 2 22u u u v v vds d d du dudv dv r r r r r r r r 2 2 2= 2ds Edu Fdudv Gdv曲 面 第 一 基 本 形 式 u uu vv vEFG r rr rr r它 們 是 曲 面 上 點(diǎn) 的 函 數(shù) 對 給 定 點(diǎn) 為 常 數(shù) 。 但 與 曲 面 參 數(shù) 選 取 有 關(guān) 。第 一 基 本 量 1.3 曲 面 的 基 本 形 式 2021-4-25 42 1)計(jì) 算 弧 長 2 21 1 2 22t tt tds du du dv

45、dvL dt E F G dtdt dt dt dt dt 1.3 曲 面 的 第 一 二 基 本 形 式 1 1 1 1 12 2 2 2 2: ( ), ( ): ( ), ( )C u u t v v tC u u t v v tP為 曲 面 上 任 一 點(diǎn) ，2)確 定 曲 面 上 兩 曲 線 的 夾 角 PC2 C11dr2drf二 、 曲 面 第 一 基 本 形 式 的 應(yīng) 用 曲 面 上 相 交 于 P的 兩 條 曲 線 切 向 量 分 別 為 1 1 1 2 2 2,u v u vd du dv d du dv r r r r r r則 C1,C2在 P點(diǎn) 處 的 夾 角 為1

46、 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 21 2 1 1 1 1 2 2 2 2( )cos 2 2d d Edu du F du dv du dv Gdv dvd d Edu Fdu dv Gdv Edu Fdu dv Gdv r rr r 1.3 曲 面 的 基 本 形 式 2021-4-25 43 1.3 曲 面 的 第 一 二 基 本 形 式 二 、 曲 面 第 一 基 本 形 式 的 應(yīng) 用 曲 線 C1,C2在 P點(diǎn) 處 正 交 的 充 要 條 件 為1 2 1 2 2 1 1 2( ) 0Edu du F du dv du dv Gdv dv如 果 曲 線 C1,C2分

47、別 為 曲 面 上 的 u曲 線 和 v曲 線 ， 則cos FEG為 兩 參 數(shù) 曲 線 夾 角 的 公 式 。3)確 定 曲 面 塊 的 面 積 , ,u v u v D r r設(shè) 給 定 曲 面 曲 面 塊 的 面 積 為2u vD DA dudv EG F dudv r r 1.3 曲 面 的 基 本 形 式 2021-4-25 44 1.3 曲 面 的 第 一 二 基 本 形 式 例 7 寫 出 平 面 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 第 一 基 本 形 式 。( , ,0), 1, 1, 0 x y E G Fr解 ： 對 平 面 2 2 2ds dx dy 2 2 2, , 0E f G

48、 f g F第 一 基 本 形 式 為 對 旋 轉(zhuǎn) 面 ( , ) ( ( )cos , ( )sin , ( )u v f v u f v u g vr ( ( )sin , ( )cos ,0)u f v u f v ur ( ( )cos , ( )sin , ( )v f v u f v u g vr第 一 基 本 形 式 為 2 2 2 2 2 2ds f du f g dv 1.3 曲 面 的 基 本 形 式 2021-4-25 45 1.3 曲 面 的 第 一 二 基 本 形 式 曲 面 的 第 二 基 本 形 式2 22Ldu Mdudv NdvL,M,N 是 曲 面 上 點(diǎn)

49、的 函 數(shù) 。 在 給 定 點(diǎn) 是 常 數(shù) 。 但 與參 數(shù) 的 選 取 有 關(guān) 。 2, , / u v uuL EG F r r r三 、 曲 面 第 二 基 本 形 式 2, , /u v uvM EG F r r r 2, , /u v vvN EG F r r r 1.3 曲 面 的 基 本 形 式 2021-4-25 46 1.3 曲 面 的 第 一 二 基 本 形 式 例 8 求 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 第 二 基 本 量 。解 ： 2 2 2, , 0E f G f g F故 第 二 基 本 量 為 對 旋 轉(zhuǎn) 面 ( , ) ( ( )cos , ( )sin , ( )u v

50、f v u f v u g vr( ( )sin , ( )cos ,0)u f v u f v ur ( ( )cos , ( )sin , ( )v f v u f v u g vr 2 2 2 2/0 /L fg f gMN f g f g f g 因 為 ( ( )cos , ( )sin ,0)uu f v u f v ur ( ( )sin , ( )cos ,0)uv f v u f v ur ( ( )cos , ( )sin , ( )vv f v u f v u g vr 2 2 ( cos , sin , )/( )N g u g u f f g 1.3 曲 面 的 基

51、本 形 式 2021-4-25 47 1.4 曲 面 的 曲 率 1.4 曲 面 的 曲 率 u vd du dvds ds dsrt r r 對 給 定 點(diǎn) ， 、 為 已 知 。曲 線 的 曲 率 k僅 取 決 于 它 在 P點(diǎn) 的 切 線 方 向 （ du： dv） 及曲 線 的 主 法 線 與 曲 面 法 線 的 夾 角 。設(shè) P(u,v)是 曲 面 上 一 給 定 點(diǎn) 。C是 該 曲 面 上 過 P點(diǎn) 的 任 一 曲 線 。C在 P點(diǎn) 的 切 矢 量 和 曲 率 矢 量 為一 、 曲 面 上 曲 線 的 曲 率 Nnt q P CS22 d kdsr n設(shè) 是 曲 面 在 P點(diǎn) 的

52、法 向 量 ， 則 在 方 向 上 的 投 影 為N kn N22 cos d d dk k ds ds ds r r Nn N N 2021-4-25 48 1.4 曲 面 的 曲 率 考 慮 曲 面 經(jīng) 過 P點(diǎn) 沿 某 固 定 切 線 方 向 的 曲 線 的 曲 率 。把 曲 面 上 曲 線 在 某 點(diǎn) 的 曲 率 矢 在 曲 面 法 向 量 上 的 投 影 稱 為曲 線 在 該 點(diǎn) 的 法 曲 率若 用 曲 線 C的 密 切 面 去 截 曲 面 ， 則 截 線 是 一 平 面 曲 線 ，由 于 曲 面 上 過 給 定 點(diǎn) 的 任 意 兩 條 曲 線 只 要 在 該 點(diǎn) 具 有相 同 的

53、 切 線 方 向 和 主 法 線 方 向 ， 則 曲 率 相 同 ， 因 此 該曲 線 與 曲 線 C曲 率 相 同 ，即 研 究 曲 面 上 的 曲 率 可 轉(zhuǎn) 化 為 研 究 平 面 曲 線 的 曲 率 。 2 22 22 2n Ldu Mdudv Ndvk Edu Fdudv Gdvk N二 、 曲 面 的 法 曲 率也 稱 為 曲 面 沿 方 向 du： dv的 法 曲 率 1.4 曲 面 的 曲 率 2021-4-25 49 1.4 曲 面 的 曲 率 曲 面 上 給 定 點(diǎn) 處 的 法 曲 率 一 般 與 du： dv有 關(guān) 。定 義 ： 如 果 曲 面 上 某 點(diǎn) 沿 各 個(gè) 方

54、 向 的 法 曲 率 均 相 等 ，則 稱 此 點(diǎn) 為 臍 點(diǎn) 。三 、 主 曲 率 和 主 方 向曲 面 上 某 點(diǎn) 為 臍 點(diǎn) 的 充 要 條 件 是 曲 面 在 該 點(diǎn) 處 的 第 一 、 二 基本 量 成 比 例 。定 義 ： 對 于 曲 面 上 的 非 臍 點(diǎn) ， 稱 法 曲 率 的 極 值 為 曲 面 在 該 點(diǎn)的 主 曲 率 。 是 法 曲 率 取 極 值 的 方 向 稱 為 主 方 向 。對 于 臍 點(diǎn) ， 一 切 方 向 共 同 的 法 曲 率 可 以 稱 為 主 曲 率 ， 任 一方 向 可 視 為 主 方 向 。 1.4 曲 面 的 曲 率 2021-4-25 50 1.

55、4 曲 面 的 曲 率 定 理 2： 曲 面 上 兩 個(gè) 非 臍 點(diǎn) 的 主 方 向 是 正 交 的 。 定 理 1： 對 于 曲 面 上 的 非 臍 點(diǎn) ， 有 兩 個(gè) 主 曲 率 ， 兩 個(gè) 主 方 向 。如 果 曲 面 上 某 條 曲 線 ， 它 的 每 一 點(diǎn) 的 切 線 方 向 都 是 曲 面 在 該點(diǎn) 的 一 個(gè) 主 方 向 ， 則 稱 這 條 曲 線 為 曲 率 線 。證 明 ： F=M=0 是 參 數(shù) 曲 線 為 曲 率 線 的 充 分 必 要 條 件 。若 參 數(shù) 曲 線 是 曲 率 線 ， 則四 、 曲 率 線 , 0du o dv 應(yīng) 滿 足 曲 率 線 方 程 2 2(

56、 ) ( ) ( ) 0EM FL du LG EN dudv FN GM dv0, 0EM FL FN GM由 于 曲 率 線 正 交 ， 而 參 數(shù) 曲 線 又 是 曲 率 線 ， 故 F=0,從 而 M=0反 之 亦 可 得 證 。 1.4 曲 面 的 曲 率 2021-4-25 51 1.4 曲 面 的 曲 率 解 ：例 9 求 曲 面 上 的 曲 率 線 。2 2( , , )u v u vr 2 2 2 2 (0,0,0) 04 4 1uv ui vj kM u vN r 2 2 2 2 2 2 2 (0,0,2)4 4 1 4 4 1uu ui vj kL u v u vN r所

57、 以 (1,0,2 )u ur (0,1,2 )v vr(0,0,2)uur (0,0,2)vvr (0,0,0)uvr2 21 4 , 1 4 , 4E u G v F uv 2 2 2 2 2 2 2 (0,0,2)4 4 1 4 4 1vv ui vj kN u v u vN r 1.4 曲 面 的 曲 率 2021-4-25 52 1.4 曲 面 的 曲 率 將 EFGLMN代 入 曲 率 線 方 程 2 2 2u v c 1/22 28 4 4 1u v再 用 2 2( ) ( ) ( ) 0EM FL du LG EN dudv FN GM dv去 除 等 式 兩 邊 ， 得2 2

58、 2 2( ) 0uvdu v u dudv uvdv由 此 得 0udu vdv 或 0vdu udv其 解 代 表 一 族 同 心 圓 。u bv 代 表 過 原 點(diǎn) 的 直 線 族 。uv平 面 上 的 這 兩 族 曲 線 在 所 討 論 曲 面 上 的 像 就 是 曲 面 上 的 曲 率 線原 點(diǎn) 處 為 臍 點(diǎn) 。 1.4 曲 面 的 曲 率 2021-4-25 53 1.4 曲 面 的 曲 率 如 果 選 擇 曲 面 上 的 曲 率 線 網(wǎng) 作 為 新 參 數(shù) 的 參 數(shù) 曲 線 網(wǎng) 。 則F=M=0,u 曲 線 和 v曲 線 均 為 曲 率 線 。 曲 面 上 任 一 點(diǎn) 的 法

59、 曲 率設(shè) k1， k2分 別 對 應(yīng) 于 主 方 向 dv 0和 du 0的 主 曲 率 ， 則 k1 L/Ek2=N/Gdu:dv方 向 上 的 法 曲 率 寫 為 矢 量 形 式 即五 、 法 曲 率 隨 方 向 的 變 換 規(guī) 律 2 22 2n Ldu Ndvk Edu Gdv u vdu dv t r r22 2 2cos EduEdu Gdv設(shè) 此 方 向 與 u曲 線 切 線 方 向 的 夾 角 為 22 2 2sin GdvEdu Gdv 1.4 曲 面 的 曲 率 2021-4-25 54 1.4 曲 面 的 曲 率 于 是 由 法 曲 率 的 表 達(dá) 式 可 得上 式 為

60、 法 曲 率 隨 方 向 變 化 的 公 式 ， 如 果 k 10, 橢 圓 點(diǎn) 兩 個(gè) 主 曲 率 同 號(hào) 。 法 截 線 朝 同 向 彎 曲 ，即 曲 面 在 該 點(diǎn) 鄰 近 的 點(diǎn) 位 于 切 平 面 同 側(cè) 。 2) kG0, 雙 曲 點(diǎn) 兩 個(gè) 主 曲 率 異 號(hào) 。 兩 條 法 截 線 中 一 條 朝法 向 量 方 向 彎 曲 ， 另 一 條 朝 法 向 量 反 方 向 彎 曲 。 即 曲 面 在 該 點(diǎn) 附 近 曲 面 處 于 切 平 面 的 兩 側(cè) 。 3) k G=0 拋 物 點(diǎn) 兩 主 曲 率 中 至 少 有 一 個(gè) 為 零 。 如 果 另 一 主 曲 率 也 為 零 ，

61、這 樣 的 點(diǎn) 為 平 點(diǎn) 。 如 果 另 一 主 曲 率 大 于 零 ， 則 除 一 個(gè) 方 向 外 ， 一切 法 截 線 都 朝 切 平 面 同 側(cè) 彎 曲 。 1.4 曲 面 的 曲 率 2021-4-25 57 1.4 曲 面 的 曲 率 1.4 曲 面 的 曲 率 例 求 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 高 斯 曲 率 和 平 均 曲 率 。 ( )cos , ( )sin , ( ), ( ) 0u u u ur解 ： ( ( )cos , ( )sin , ( )( ( )sin , ( )cos ,0)u u u uu urr 2 220u uuEFG r rr rr r 2 2 2EG

62、F 2 2 2cos , sin ,cos , sin ,sin , cos ,0cos , sin ,0uuuu EG Fr rnrrr 2021-4-25 58 1.4 曲 面 的 曲 率 1.4 曲 面 的 曲 率 2 2 2 20uuuL n rM n rN n r 若 取 xoz平 面 上 最 初 的 曲 線 為 ,即 取 坐 標(biāo) z作 為 最 初 的曲 線 的 參 數(shù) ， 則 有 x zz u u于 是 2 201 1L M N， ， 2021-4-25 59 1.4 曲 面 的 曲 率 1.4 曲 面 的 曲 率 由 于 F=M=0， 所 以 旋 轉(zhuǎn) 面 的 坐 標(biāo) 曲 線 是

63、曲 率 線 ， 并 且 主 曲 率 為1 2 3/22 2 1/2( 1)1( 1)Lk ENk G平 均 曲 率 為故 高 斯 曲 率 為 1 2 2 2( 1)k k jj j = - +21 2 2 3/2+ 1+2 2 ( 1)k k j jjj j -= + 曲 面 的 參 數(shù) 表 示 為 ,在 點(diǎn) (u,v)處 曲 面 的 法 向 量 記 為 曲 面 上 該 點(diǎn) 處 的 兩 個(gè) 主 曲 率 分 別 用 k1 (u,v)和 k2 (u,v)表 示 ， 則 點(diǎn) 2021-4-25 60 1.4 曲 面 的 曲 率 稱 為 曲 面 在 點(diǎn) (u,v)處 的 主 曲 率 中 心 。 當(dāng) 點(diǎn)

64、 (u,v)沿 曲 面 變 化 時(shí) ，曲 面 的 曲 率 中 心 也 變 化 ， 曲 面 上 所 有 相 應(yīng) 的 主 曲 率 中 心 的 集 合所 確 定 的 曲 面 曲 率 中 心 曲 面 ， 即七 、 焦 散 面 1 ( , ) ( , ) ( 1,2)( , )i iu v u v ik u vr N ( , )u vN1 ( , ) ( , ) ( , ) ( 1,2, ,( , ) )( , )i iu v u v u v i u v Sk u v r N曲 面 某 點(diǎn) 的 主 曲 率 中 心 稱 焦 點(diǎn) ， 曲 率 中 心 曲 面 稱 焦 散 面 。 1.4 曲 面 的 曲 率 (

65、 , )u vr 2021-4-25 61 1.5 測 地 線 1.5 測 地 線 一 、 Gauss-Weingarten公 式 空 間 曲 線 對 空 間 曲 面 有 完 全 類 似 的 情 況 。 引 入 活 動(dòng) 標(biāo) 架 ( ); ( ), ( ), ( )s s s sr t n b 曲 線 特 性 Frenet標(biāo) 架 空 間 曲 面Frenet公 式 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 0( ) ( )s k ss k ss st tn nb b Frenet標(biāo) 架之 間 的 變 化 ( , ); , ,u vu v r r r N用 于 描 述 空 間 曲 面 特 性

66、2021-4-25 62 1.5 測 地 線 1 211 11 111 212 12 121 222 22 22 11 1221 22 ( ) ( )uu u vuv u vvv u vu u vv u vQ QQ Q r r r Nr r r Nr r r NN r rN r r用 分 別 點(diǎn) 乘 第 4第 5式 ， 得把 , ,u v r r N 對 u,v的 偏 導(dǎo) 數(shù) 用 的 線 性 組 合 表 示 為, ,u v r r N11 1221 22 Q QL M E FM N Q Q F G上 式 給 出 第 一 、 二 基 本 形 式 矩 陣 之 間 的 關(guān) 系 。,u v r r 1.5 測 地 線 2021-4-25 63 1.5 測 地 線 Q矩 陣 為 曲 率 矩 陣 。Q矩 陣 行 列 式 對 應(yīng) 高 斯 曲 率 ；Q矩 陣 跡 的 一 半 平 均 曲 率Q矩 陣 的 兩 個(gè) 特 征 值 主 曲 率 。11 122 221 222 2 LG MF EM FLQ QEG F EG FMG NF NE MFQ QEG F EG F可 解 得 11 1221 22 ( )