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1、 1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念. 2.了解微積分基本定理的含義. 1.下列積分的值為1的是( )CA. B.C. D.10 xdx10 xdx 10 ( 1)x dx10 12dx =x =1. 10 xdx 10 2.曲線y=cosx(0 x )與坐標軸所圍成圖形的面積是( )B 32A.2 B.3 C. D.452 由曲線y=cosx(0 x )的圖象及面積意義知，所求面積為S= |cosx|dx=3 cosxdx= 3sinx =3.32 320 2020 3. |x|dx等于 ( )C11A. xdx B. (-x)dxC. (-x)dx+ xdx
2、D. xdx+ (-x)dx11 0 111 1001 10 因為|x|= x (x0) -x (x0),所以 |x|dx= (-x)dx+ xdx.1 1 01 10 4.一物體在力F(x)=4x-1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向,從x=1運動到x=3處(單位:m),則力F所做的功為( ) DA.8 J B.10 JC.12 J D.14 J 由變力做功公式有W= (4x-1)dx=(2x2-x) =14 J. 31 31 5.做勻變速直線運動的物體，初速度為30 m/s,t s后的速度v=30-1.5t-4 ，則該物體停止運動時，運動的路程是 m.t1150081 設物體經過t
3、 s后停止.由30-1.5t-4 =0,得t= ,所以運動路程為s= (30-1.5t-4 )dt=(30t- t2- )=30 - ( )2- = (m). t1009 10090 t 34 3283t 091001009 1009 83 32100( )9341150081 1.定積分的概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點a=x0 x1xi-1xixn=b將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi-1,xi上任取一點i(i=1,2,n),作和式 f(i)x= .當n時，上述和無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分， 1ni 1 ( )n ii b a
4、 fn 記作： f(x)dx,即 f(x)dx= .a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做積式. (1)定積分 f(x)dx是一個常數(shù)；ba ba 1lim ( )n in i b an ba (2)定積分的幾何意義： ()當函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上恒為正時,定積分 f(x)dx的幾何意義是由曲線 和直線 所圍成的曲邊梯形的面積(如圖中陰影部分). bay=f(x) x=a, x=b(ab), y=0 ()一般情況下定積分 f(x)dx的幾何意義是介于x軸，函數(shù)y=f(x)的圖象以及直線 , 之間的曲邊梯形面積的代
5、數(shù)和(如圖)，其中在x軸上方的面積取正號,在x軸下方的面積取負號. x=a x=b ba (3)定積分的性質. kf(x)dx=k f(x)dx(k為常數(shù))； f(x)g(x)dx= f(x)dx g(x)dx; f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中acb). 2.微積分基本定理 如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且 ,則 f(x)dx=F(x) = F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一個原函數(shù).ba baba ba baba ca bcF(x)=f(x) ba baba 3.求定積分的方法 (1)定義法： ()分割：n等分區(qū)間a,b； ()近似代替：取點ixi-
6、1,xi，用f(i)近似地代替f(x)在xi-1,xi上的函數(shù)值; ()求和 f(i); ()取極限: f(x)dx= f(i). 1ni b an ba 1lim nn i b an (2)利用微積分基本定理求定積分 f(x)dx. ()求f(x)的一個原函數(shù)F(x); ()計算F(b)-F(a). (3)利用定積分的幾何意義求定積分. 4.定積分的簡單應用 (1)定積分在幾何中的應用：求曲邊梯形的面積. ba (2)定積分在物理中的應用： 求變速直線運動的路程:s= (v(t)為速度函數(shù)). 求變力所做的功:W= .v(t)dtbaF(x)dxba 例1 求下列定積分：（1） dx；（2）
7、 (4-x-|x-2|)dx.1140 21 x （1）因為 dx表示曲線y= 與直線x=，x=1及x軸所圍成的面積（如圖），所以 dx= .11 21 x21 x11 21 x 2 (2) (4-x-|x-2|)dx= (4-x)dx- |x-2|dx表示OBD的面積與OAE及ABC和的差(如圖), 故 (4-x-|x-2|)dx= 44-2 22=4. 40 40 40 40 12 12 解定積分的概念，利用定積分的幾何意義求定積分是常用技巧之一. (2010廣東潮州調研)已知f(x)為偶函數(shù)且 f(x)dx=8，則 f(x)dx等于( )40 66 DA.0 B.4 C.8 D.16 原
8、式= f(x)dx+ f(x)dx，因為原函數(shù)為偶函數(shù)，所以在y軸兩側的圖象對稱，所以對應的面積相等， 則 f(x)dx=2 f(x)dx=16.0 6 6066 66 計算下列定積分:(1) (2sinx-3ex+2)dx;(2) (sinx-sin2x)dx；(3) dx.例203020 1 sin2x (1) (2sinx-3ex+2)dx=2 sinxdx-3 exdx+2 dx=2(-cosx) -3ex +2x=-2(cos-cos0)-3(e-e0)+2(-0)=7-3e+2.(2)函數(shù)y=sinx-sin2x的一個原函數(shù)為 y=-cosx+ cos2x,所以 (sinx-sin
9、2x)dx=(-cosx+ cos2x) =(- - )-(-1+ )=- .00 0 00 0 012 30 12 0312 14 1412 (3)原式= dx= |sinx-cosx|dx= |sinx-cosx|dx+ |sinx-cosx|dx= |cosx-sinx|dx+ |sinx-cosx|dx= sinx+cosx) -(cosx+sinx)=2( -1). 20 2(sin cos )x x2040 244 0 2404 242 利用微積分基本定理求定積分，其關鍵是求出被積分函數(shù)的原函數(shù).求一個函數(shù)的原函數(shù)與求一個函數(shù)的導數(shù)是互逆運算,因此應熟練掌握一些常見函數(shù)的導數(shù).此外
10、,如果被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分的性質 f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx，根據函數(shù)的定義域,將積分區(qū)間分解為若干部分,代入相應的解析式,分別求出積分值，相加即可. baca bc 例3 求由曲線y2=x,y=x2所圍成的圖形的面積. 如圖所示.由 y2=x y=x2，得出交點的橫坐標為x=0及x=1.因此所圍成圖形的面積S= dx- x2dx=( - ) = - = .10 10 x 10 3223 x 313 x 23 13 13 求平面圖形的面積，關鍵是弄清該圖形的生成函數(shù)關系及其位置. 例4 一點在直線上從時刻t=0(s)開始以速度v=t2-4t+3
11、(m/s)運動，求： (1)在t=4 s時的位置； (2)在t=4 s時運動的路程. (1)在時刻t=4 s時該點的位置為 (t2-4t+3)dt=( t3-2t2+3t) = (m),即在t=4 s時刻該點距出發(fā)點 m. 40 40 434313 (2)因為v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3)，所以在區(qū)間0,1及3,4上，v(t)0，在區(qū)間1,3上，v(t)0,所以在t=4 s時的路程為s= (t2-4t+3)dt+| (t2-4t+3)dt|+ (t2-4t+3)dt= (t2-4t+3)dt- (t2-4t+3)dt+ (t2-4t+3)dt=4(m).即在t=4 s時運動的路
12、程為4 m.1 0 31 4310 31 43 因為位置決定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定積分，而路程是位移的絕對值之和，因此需判斷在0,4上，哪些時間段的位移為負值. 若直線l:y=t2-t(0t ,t為常數(shù))與函數(shù)f(x)=x2-x的圖象以及y軸所成的封閉圖形的面積為S1(t)，若直線l與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為S2(t),已知g(t)=S1(t)+S2(t),當g(t)取最小值時，求t的值. 12 先確定出封閉圖形S1(t),S2(t)的面積,建立面積的函數(shù)關系式，最后求最值. 由y= x2-x y=t2-t,得交點坐標為(t,t2-t)和(1-t,t2-t),
13、又因為0t ，所以t2-t=(t- )2- (- ,0)，而函數(shù)y=x2-x的頂點坐標為( ,- )，1212 14 14 12 14 由定積分的幾何意義，得g(t)=S1(t)+S2(t)= (x2-x)-(t2-t)dx+2 (t2-t)-(x2-x)dx=( x3- x2)-(t2-t)x +2(t2-t)x-( x3- x2)= t3- t2-t3+t2+2(t2-t) -( - )-(t2-t)t+ t3- t2=-2t3+ t2-t+ .0t 12t13 12 t0 13 12 t1313 12 12 13 18 12 1413 125 2 16 故g(t)=-6t2+5t-1=-
14、(3t-1)(2t-1).令g(t)=0，解得t= 或t= (舍去).當t (0, )時，g(t)0，函數(shù)g(t)在區(qū)間( , )上單調遞增.故當t= 時，函數(shù)g(t)有最小值.13 121313 12 13 121 3 13 解決此問題的關鍵是正確的確定圖形的位置，再利用定積分的幾何意義求得圖形面積函數(shù)的解析式. 1.定積分的概念.(1)定積分的定義是由實際問題抽象概括出來的，它的解決過程充分體現(xiàn)了“由直到曲”、由“有限到無限”的極限的思想.(2)利用定積分的定義求定積分可以分為四步：分割、近似代替、求和、取極限.注意：定積分是一個數(shù)值(極限值)，它只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關，而與積分變量
15、無關,即 f(x)dx= f(t)dt= f(u)du. ba ba ba f(x)dx, |f(x)|dx,| f(x)dx|三者在幾何意義上的不同.當f(x)0,即函數(shù)f(x)的圖象全部在x軸上方時， f(x)dx= |f(x)|dx=| f(x)dx|，都表示界于x軸、曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊形的面積；當f(x)0，即函數(shù)f(x)的圖象全部在x軸下方時， |f(x)|dx=| f(x)dx|表示界于x軸、曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊形的面積，而 f(x)dx0,其結果是面積的相反數(shù)；ba ba baba ba ba ba baba 當函數(shù)f(x
16、)的圖象在x軸上方和下方都有時, |f(x)|dx表示界于x軸、曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b之間各部分面積,如圖陰影部分所示.ba 2.微積分基本定理使我們找到了求定積分的一般方法，不需要根據定義求和式的極限，只要求出積函數(shù)的任意一個原函數(shù)，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，再計算原函數(shù)在積分區(qū)間上的改變量即可.分段函數(shù)的定積分及絕對值函數(shù)的定積分問題，都可以實施分段求解的方法.3.定積分的應用主要有求平面圖形面積、變速運動路程及變力做功三個方面.(1)利用定積分求平面圖形面積的關鍵是畫出幾何圖形，結合圖形位置， 確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，從而得到面積的表達式，再利用微積分基本定理求出積
17、分值.對于由兩條曲線所圍成的圖形面積計算問題，一定要注意結合圖形特征，適當?shù)剡M行分段處理，要善于進行分解. (2)利用定積分解決變速運動問題和變力做功問題，關鍵是求出物體作變速運動的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達式，再利用微積分基本定理計算即得所求. 學 例 1 (2009廣東卷)已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛甲車、乙車的速度曲線分別為v甲、v乙(如圖所示)，那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是( ) AA.在t1時刻,甲車在乙車前面B.t1時刻后,甲車在乙車后面C.在t0時刻,兩車的位置相同D.t 0時刻后,
18、乙車在甲車前面 在t0時刻之前，因為v甲v乙，所以甲車一直在乙車前面.在t0時刻以后，因為v乙v甲,所以乙車會在t0后的某個時刻追上甲車，然后超過甲車.所以C，D兩個判斷都不正確. 由定積分的物理意義可知，速度曲線與直線x0，xt1及x軸所圍成的平面圖形的面積為物體在0t1時段內的位移.由圖知,在0t1時段內甲車的位移大于乙車的位移,所以在t1時刻,甲車在乙車前面,故選A. 學 例 2 (2009福建卷) (1+cosx)dx等于( )DA. B. 2C. -2 D. +222 因為原式=(x+ sinx) =( +sin )- - +sin(- )=+2，故 選D. 222222 本 節(jié) 完 ， 謝 謝 聆 聽立足教育，開創(chuàng)未來
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