廣東六校高三第三次聯(lián)考試題(數(shù)學理)

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1、 廣東六校 2019 年高三第三次聯(lián)考試題（數(shù)學理） 高三數(shù)學〔理科〕試題 2018. 2.8 本試卷共 4 頁， 21 小題，總分值 150 分、考試用時 120 分鐘、 參考公式：錐體體積公式 ，其中 S 為錐體的底面積， h 為錐體的高、 V 1 Sh 3 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共 8 小題，每題 5 分，共 40 分、在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的、 1、 A, B 是非空集合，命題甲： A B B ，命題乙： A B ，那么〔〕

2、 A. 甲是乙的充分不必要條件 B. 甲是乙的必要不充分條件 C. 甲是乙的充要條件 D. 甲是乙的既不充分也不必要條件 2. 復(fù)數(shù) 2i 〔〕 i 1 A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i 3. 點 N (x, y) 在由不等式組 x y 0確定的平面區(qū)域內(nèi)，那么 N ( x, y) 所在平面區(qū)域的面 x y 0

3、 x 2 積是 〔〕 A、 1 B、 2 C、 4 D、 8 4. 等差數(shù)列 { n} 中， ， ， ，那么 n 為〔〕 a a3 5 a2 a5 12 an 29 A.13B.14C.15D.16 5.

4、 函數(shù) 1 x 的圖像〔〕 y log 2 1 x A、關(guān)于原點對稱 B. 關(guān)于主線 y x 對稱 C.關(guān)于 y 軸對稱 D. 關(guān)于直線 y x 對稱 6. 假設(shè)某空間幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積是〔〕 A. 4 2 B. 2 2 C. 4 2 D. 2 2 3 3 7. 平面 , , ，直線 m, l ，點 A，有下面四個命題：

5、 A. 假 l ， m A那么 l 與 m 必 異面直 ； B. 假 l , l m 那么 m ； C.假 l ,m,l , m 那么 ； D.假 , m, l , l m ，那么 l . 其中正確的命 是〔〕 8. 某種游 中，黑、黃兩個“ 子狗”從棱和 1 的正方體 ABCD-A1B1C1D1 的 點 A 身沿 棱向前爬行，每爬完一條棱稱 “爬完一段” ，黑“ 子狗”爬行的路 是 1→ 1 1→?， AA A D 黃“ 子狗”爬行的路

6、是 AB→ BB1→?，它 都遵循如下 那么：所爬行的第 i +2 段與 第 i 段所在直 必 異面直 ( 其中 i 是正整數(shù) ). 黑“ 子狗” 爬完 2018 段、黃“ 子 狗”爬完 2017 段后各自停止在正方體的某個 點 ， 黑、黃“ 子狗” 的距離是 〔〕 A.0 B.1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 【二】填空 ：本大 共 7 小 ，考生作答 6 小 ，每 5 分， 分 30 分、 〔一〕必做 ：第 9、 10、 11、 12、 13 是必做 ，每道 考生都必 做答

7、、 9. 0 . 1 x2 dx 1 10. 函數(shù) f ( x) sin 2 x cos2x , x R的最小正周期 11. 在直角 ABC 中， C 90 ， A 30 ， BC 1， D 斜 AB 的中點，那么 AB CD =. 12. 假 雙曲 x2 y2 1 (a 0) 的一條 近 方程 3x 2 y 0 ，那么以雙曲 的 點 a2 9 和焦點分 焦點和 點的 的離心率 _____

8、_____. 13. 將“ 三角”中的數(shù)從左到右、從上到下排成一數(shù)列：1， 1，1， 1，2， 1， 1，3， 3， 1 ， 1， 4， 6， 4， 1，?，右 所示程序框 用來 出此數(shù)列的前假 干 并求其和，假 入 m=4那么相 最后的 出 S 的 是 __________. 〔二〕 做 ：第 14、 15 是 做 ，考生只能從中 做一 、 14、〔坐 系與參數(shù)方程 做 〕曲 C1 、 C 2 的極坐 方程分 ， 2cos( ) 2 ，那么曲 C1 上的點與曲 C2 上的點的最

9、 距離 2 cos() 1 0 4 ________. N O 15、〔幾何 明 做 〕 A M B 如圖，點  M  為  O 的弦  AB 上的一點，連接  MO .  MN  OM  ， MN 交圓于  N ，假設(shè)

10、  MA  2，  MB  4 ，那么  MN  . 【三】解答題：本大題共 6 小題，總分值 80 分、解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟、 16、〔本小題總分值 12 分〕 在 ABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a, b,c ， S 是該三角形的面積， 〔1〕假設(shè) B ， B ，a / /b ，求角 B a (2sin cos B,sin B cos B) b (sin B cosB,2sin ) 2 2

11、 的度數(shù)； 〔2〕假設(shè) a 8， 2 ， S 8 3 ，求 b 的值 . B 3 17〔本小題總分值 12 分〕 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是 2 和 3 假設(shè)兩人射擊是否擊中目標，相互 3 4 之間沒有妨礙；每人各次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有妨礙 ⑴求甲射擊 3 次，至少 1 次未擊中 目標的概率； ．．． ⑵假設(shè)某人連續(xù) 2 次未擊中 目標，那么停止射擊，問：乙恰好射擊 4 次后，被中止射 ．．

12、． 擊的概率是多少？ ⑶設(shè)甲連續(xù)射擊 3 次，用 表示甲擊中目標時射擊的次數(shù)，求 的數(shù)學期望 E . 〔結(jié)果能夠用分數(shù)表示〕 18. 〔本小題總分值 14 分〕 D C A 如圖，四邊形 ABCD 中〔圖 1〕， E 是 BC 的中點， DB 2 ， 5 ， AB 2. 將〔圖 1〕沿直 D C DC 1, BC AD E A E 線

13、 BD 折起，使二面角 A BD C 為 600 〔如圖 2〕 〔 1〕求證： AE 平面 BDC ； B B 〔 2〕求異面直線 AB 與 CD 所成角的余弦值； 圖2 圖 1 〔 3〕求點 B 到平面 ACD 的距離 . 19〔本小題總分值 14 分〕函數(shù) 2 . f x x (1 2a )x 4a 1 ln(2 x 1) 2 2 〔1 〕 a 1 ，

14、求函數(shù) f x 極大 和極小 ; 〔2 〕 a R 函數(shù) f x 的 區(qū) . 20. 〔本小 分 l4 分〕如 ， P 是拋物 C ： 1 2 上橫坐 大于零的一點，直 y x 2 線 l 點 P 并與拋物 C 在點 P 的切 垂直，直 l 與拋物 C 相交于另一點 Q . 〔1〕當點 P 的橫坐

15、 2 ，求直 l 的方程； 〔2〕假 OP OQ 0 ，求 點 P , Q , O 的 的方程 . 21. 〔本小 分 l4 分〕數(shù)列 an 的前 n 和 Sn ，正數(shù)數(shù)列 bn 中 b2 e, (e 為 自 然 對 數(shù) 的 底 2.718 ) 且 n N * 總 有 2n 1 是 Sn 與 an 的 等 差 中 項 ， bn 1 是bn與bn 1 的等比中 . (1) 求 : n N

16、* 有 an an 1 2n ； (2) 求 ： n N * 有 3 1) ln b1 ln b2 ln bn 3an . (an 1 2 2018 屆第三次六校聯(lián)考 高三數(shù)學〔理科〕試題答案 2018.2.8 一、 ： 1、 B； 2、 A； 3、 C； 4、 C； 5、A； 6、 B； 7、D； 8、 D 【二】填空 ： 9. ； 10. ； 11.-1

17、 ； 12. 2 13 ； 13.15 ； 4 13 做 ： 14. 2 115. 2 2 【三】解答 ： 16. 解：〔 1〕 a / /b 4cos B sin 2 B cos2B 0 2 4cos B 1 cos B 2cos 2 B 1 0 cos B 1 2 2 B (0,180 0 ) B 60 ???????? 6 分 〔 2〕 S 8 3 1

18、 ???????? 7 分 8 3 ac sin B 2 得 c 4 ???????? 8 分 b2 a2 c2 2ac cos B 82 42 2 8 4cos120 0 ???????? 10 分 b 4 7 ???????? 12 分 17. 解：〔 1〕 “甲 射 3 次，至少 1 次未 中目 ” 事件 A ，由 意，射 3 次， 1 相當于 3 次獨立重復(fù) ，故 P〔 A

19、1〕 =1-P〔 A1 〕 =1- 2 ) 3 = 19 ( 27 3 答：甲射 3 次，至少 1 次未 中目 的概率 19 ；???????? 4 分 27 (2) “乙恰好射 4 次后，被中止射 ” 事件 A ， 由于各事件相互獨立， 2 故 P〔A2 〕= 1 1 3 1 + 1 1 3 3 = 3 ， 4 4 4 4 4 4 4 4 64

20、 答：乙恰好射 4 次后，被中止射 的概率是 3 ???????? 8 分 64 〔3〕依照 意 服從二 分布， 2 ???????? 12 分 E 3 2 3 〔3〕方法二： p( 0) C30 (1) 3 1 p( 1) C31 ( 2) ( 1) 2 6

21、 3 27 3 3 27 p( 2) C 2 ( 2 )2 (1)1 12 p( 1) C3 (2 )3 ( 1)0 8 3 3 3 27 3 3 3 27 0 1 2 3 E 0 1 6 12 3 8 ??????? p 1 6 12 8 1 27 2 2 ? 12 分 27

22、 27 27 27 27 27 27 明：〔1〕，〔 2〕兩 沒有文字 明分 扣 1 分，沒有答， 分 扣 1 分。 第〔 3〕 方法 ，算 數(shù)的扣 2 分 18. 解： （1） 如 取 BD中點 M， 接 AM，ME。因 AB AD 2. AM BD ?? 1 分 因 DB 2 ， DC 1, BC 5 足： DB 2

23、 DC 2 BC 2 , 因此 BCD 是 BC 斜 的直角三角形， BD DC , 因 E 是 BC 的中點 , 因此 ME為 BCD 的中位 1 ， ME // CD BD , 1 ?? 2 分 2 ME ME 2 AME = 600 ?? 3 分 AME 是二面角 A BD C 的平面角 AM BD , ME BD 且 AM、 ME是平面 AME內(nèi)兩相交于 M的直 BD 平面 AEM A

24、E 平面 AEM BD AE ?? 4 分 因 AB AD 2. , DB 2 ABD 等腰直角三角形 1 ， AM BD 1 2 AE2 AM 2 ME 2 2AM ME cos AME 1 1 2 1 1 cos60 3 AE 3 4 2 4 2 AE2 ME 2 1 AM 2 AE ME ?? 6 分

25、平面 BDC ?? 7 分 BD ME , BD 面 BDC , ME 面 BDC AE 〔2〕如 ，以 M 原點 MB為 x ， ME為 y ，建立空 直角坐 系，?? ..8 分 那么由〔 1〕及條件可知 B(1,0,0), ， E(0, 1 ,0) 3 ,D ( 1,0,0) ,C ( 2 1 , 1,1,0) A( 0, )

26、 2 2 ?? 9 分 1 , 3 ), CD AB (1, (0, 1,0), 2 2 , 異面直 AB 與 CD 所成角 那么 ?? 10 分 cos  AB CD AB CD 1 ?? 11 分 2 2 2

27、 12 由 1 3 可知 n ( 3,0, 2) 足， AD ( 1, , ), CD (0, 1,0), 2 2 0, n 是平面 ACD的一個法向量 , ?? 12 分 n AD 0, n CD 點 B 到平面 ACD 的距離 d，那么 AB 在法向量 n 方向上的投影 d 那么 ?? 13 分因此 d ?? 14 分 d AB n 3 0 3 2 21 n 2 2 7 3 0 2

28、 〔2〕， (3) 解法二： 取 AD中點 N， 接 MN,那么 MN是 ABD 的中位 ,MN//AB, 又 ME//CD 因此直 AB 與 CD 所成角 等于 MN與 ME所成的角， 即 EMN 或其 角中 小之一?? 8 分 DE ，N 在 Rt AED 斜 中點 AE 面 BCD , DE 面 BCD AE 因此有 NE= ,MN= 1 AB ,ME= 1 , 1 AD 2 2 2 2 2 2 2 coscos EMN MN 2 ME 2 NE 2 ?? .

29、9 分 2MN ME = 2 1 2 ?? 10 分 4 4 4 2 2 2 1 4 2 2 (3) 點 B 到平面 ACD 的距離 d，那么三棱 B-ACD 的體 1 , ?? 11 VB ACD d S ACD 3 分

30、 又由〔 1〕知 AE是 A-BCD的高、 BD CD VB ACD VA BCD 1 ? ..12 分 AE S BCD 3 1 3 1 1 3 3 2 2 6 2 E 為 BC中點， AE BC AC AB 2 又 , DC 1, AD 2 , ACD 為等腰 S ACD 1 CD AD 2 2 1 1 2 2 ?? 13 分 1 CD

31、 1 7 2 2 2 2 2 4 B 到平面 ACD 的距離 3 ?? 14 分 3VB ACD 3 2 21 d 6 S ACD 7 7 解法三： (1) 4 BC 2 , 因 DB 2 ， DC 1, BC 5 足： DB 2 DC 2 BD 如 ，以

32、D 原點 DB為 x ， DC為 y ，建立空 直角坐 系，?? ..2 分 那 么 條 件 可 知 D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,1,0) ， E(1,1 ,0) ,A(a,b,c)( a>0,b>0,c>0) ?? .3 2 分  , DC ,1 分 由 圖 知 得 AB AD 2. a2 b2 c2 ( a 2)

33、2 b2 c2 2 2 a 1,b2 c2 1 ? ..4 分 平面 BCD的法向量可取 ur , uuur uuur n1 (0,0,1) ur (2,0,0) ，因此平面 ABD的一個法向量 (0, c, b) 5 分 DA (1, b, c), DB n

34、 1 那么 二面角 A BD C 的余弦 ur uur ur uur ? ..6 cos n1 n2 b cos60 n1, n2 ur uur b2 c2 n1 n2 分 從而有

35、b 1 , c 3 , A(1, 1 , uur (0,0, uuur 7 分 3 ), EA 3 ), DC (0,1,0) uur uuur 2 uur 2 2 2 2 uuur 0 EA DC , EA DB 因此 AE 平面 BDC 9 分 EA DC 0, EA DB 〕

36、 (2) 由 〔 1 〕 A(1, 1 , ， D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,1,0) ， 3 ) 2 2 1 3 AB (1, , ), CD (0, 1,0), 異面直 AB 與 CD 所成角 , 那么 ?? 10 分 cos AB CD

37、 AB CD 1 2 ?? 11 分 2 (3) 由 2 1 4 AD ( 1, 1 3 (0, 可知 n ( 3,0, 2) 足， , ), CD

38、 1,0), 2 2 n AD 0, n CD 0, n 是平面 ACD的一個法向量 , ?? 12 分 點 B 到平面 ACD 的距離 d，那么 AB 在法向量 n 方向上的投影 d 那么 ?? 13 分因此 d ?? 14 分 d AB n 3 0 3 2 21 n 2

39、 2 7 3 0 2 19. 〔 1〕 a 1, x 2 5 ln(2 x 1), x 1 f ( x) 3x 2 2 2 f (x) = x 35 = (2 x

40、1)( x 3) 5 = 2x 1 x 2 ，?????? 1 2x 1 2x 1 2x 1 分 令 f (x) =0，那么 x = 1 或 x =2???????? 2 分 2 x 〔 1 ， 1 〔 1 ， 2 〔 2 ，

41、 2 + 〕 2 2 1 〕 2〕 2 f ( x) + 0 0 +

42、 f (x) 極 極 大 小 ??????? ?4 分 f x 極大 =f ( 1) 5 ln 2 11 ，f x 極小 =f (2) 5 ln5 4 ????????

43、 2 2 8 2 5 分 〔2〕 f ( x) = x 〔 1+2 a 〕 + 4a 1 = (2 x 1)( x 1-2) 4a 1 = 2x 1 x 2a 2x 1 2x 1 2x 1 令 f ( x) =0，那么 x = 1 或 x =2 a ????? 6 分 2

44、 i 、當 2 a > 1 , 即 a > 1 ， 2 4 x 〔 1 ， 1 〔 1 ， 2 〔 2 a ， 2 a + 〕 2 2 1 〕 2 a 〕 2

45、 f ( x) + 0 0 + f (x) 因此 f ( x) 的增區(qū) 〔 1 ， 1 〕和〔 2 a ， + 〕，減區(qū) 〔 1 ， 2 a 〕????? 8 分 2 2 2 ii 、當 2 a = 1 , 即 a = 1 ， f (x) = 2x 1 0 在〔 1 ， + 〕上恒成立，

46、 2 2 4 2 x 1 2 因此 f ( x) 的增區(qū) 〔 1 ， + 〕????? 10 分 2 iii 、當 1 <2 a < 1 , 即 1 < a < 1 ， 2 2 4 4 x 〔 1 ， a 2 〔 2 a ， 1 〔 1 ， 1 〕 2

47、 2 2 2 a 〕 2 + 〕 + 0 0 + f ( x) f (x) 因此 f (x) 的增區(qū) 〔 1 ， 2 a 〕和〔 1 ， + 〕，減區(qū) 〔 2 a ， 1 〕????? 12 2 2 2 分 iv 、當 2 a 1 , 即 a 1 ， 2 4 x 〔 1 ， 1 2

48、 2 1 〕 2  〔 1 ， 2 + 〕 f ( x) f (x) 因此 f ( x) 的增區(qū) 〔 1 2  0 + ，+ 〕，減區(qū) 〔 1 ， 1 〕????? 14 分 2 2 上述： a 1 ， f ( x) 的增區(qū) 〔 1 ，+ 〕，減區(qū) 〔 1 ， 1 〕 4 2 2 2 1 < a < 1 ， f ( x) 的增

49、區(qū) 〔 1 ， 2 a 〕和〔 1 ， + 〕，減區(qū) 〔 2 a ， 1 〕 4 4 2 2 2 a = 1 ， f (x) 4 a > 1 ， f (x) 4  的增區(qū) 〔 1 ， + 〕 2 的增區(qū) 〔 1 ， 1 〕和〔 2 a ， + 〕，減區(qū) 〔 1 ， 2 a 〕 2 2 2 明：假如前面 程完整，最后沒有 上述，可不扣分 20 解：〔Ⅰ〕把 x 2 代入 ，得 y 2，

50、 y 1 x2 2 ∴點坐 P 〔 2， 2〕 . ???????? 1 分 由 y 1 x2 ，①得 y x ， 2 ∴ 點 P 的切 的斜率 k切 2，???????? 2 分 直 l 的斜率 k1 1 1 ???????? 3 分 , k切 2 ∴直 l 的方程 y 2 1 ，即 x 2 y 6 0 ???????? 4 分

51、 (x 2) 2 〔Ⅱ〕 P( x0 , y0 ), 那么 1 2 y0 2 x0 . ∵ 點 P 的切 斜率 k切 x0 ，因 x0 0. ∴直 l 的斜率 k1 1 1 ， k切 x0 直 l 的方程 y 1 x02 1 ( x x0 ). ②???????? 5 分

52、 2 x0 設(shè) Q (x1, y1) ，且 M ( x , y ) 為 PQ 的中點， 因 OP OQ 0 ，因此 點 P , Q , O 的 的 心 M ( x , y ) 半徑 PM ，???????? 6 分 r 且 x 0 x1 y

53、0 y 1 x 0 x 1 1 x 0 2 x1 2 0 ，???????? 8 分 4 因此 x 0 x1 0 〔舍去〕或 x 0 x1 4 ???????? 9 分 立①②消去 y ，得 由 意知 方程的兩根， x2 2 x xo2 2 0 x 0 , x1

54、 x0 因此 x 0 x1 x 0 2 2 4 ，又因 x 0 0 ，因此 x0 2 ， y 0 1 ； 因此 x1 2 2 ， y 1 4 ???????? 11 分 ∵ M 是 PQ 的中點，∴ x 2 , ???????? 12 分 2

55、 y 5 . 2 r 2 ( x x )2 ( y y ) 2 27 ???????? 13 分 0 0 4 因此 點 P, Q, O 的 的方程的方程

56、 (x 2 ) 2 ( y 5 2 27 ???????? 14 分 2 ) 4 2 21 解： (1) 2n 1 是 Sn 與 an 的等差中 Sn 2n an a1 S1 2 a1 a1 1 分

57、 1 Sn 2n an Sn 1 2n 1 an 1 an 1 Sn 1 Sn 2n 1 an 1 ( 2n an ) 2 n an an 1 2an 1 2 n an

58、 分 2 法一 : 2n 1 an 1 4n 2n an 2 n 1 an 1 2 n an 4n (2n 1 an 1 2 n an ) (2n an 2n 1 an 1 ) (22 a2 2a1 ) 3分 4n 4 n 1 4 4 ( 4n 1) 2 n

59、1 an 1 2 4 (4n 1) 3 3 2 n 1 1 1 n 2 1 分 an 1 3 2 3 2 n ,an 3 2 3 2n 4

60、 an 1 2 n 1 1 n 0,an an 1 2 n 1 1 0, 3 ( n 2 ) 1 3 3 n 2 2 an an 1 2 n

61、 分 5 〔 2〕由〔 1〕得 an 1 2 n 2 1 3 3 2n

62、 3 (an 1) 2n 1 1 3 2 n 1 1, 3an 1 2n 2 1 2n 1 6 分 2 2n 2 2n 只需證：2n 1 1 ln b1 ln b2 ln bn 2n 1 bn 1 是bn與 bn 1 的等比中項 bn

63、 1 bn2 bn b2 e, bn 0 時 2 b1 b2 e b1 1 1 4e 分 n 1 ， b1 2 7

64、 4e 8 b1 1 9 1,b1 1 e e 2 b1 ln b1 ln 1 0 (21 1 1) , ln b1 ln( b1 1) 1

65、 21 1 所證不等式成立 8分 時 n 2 bn 1 bn2 bn bn2 ln bn 1 2 ln bn ln bn 2ln bn

66、. 2 n 2 ln b2 2 n 2 分 1 9 ln b1 ln b2 ln bn 0 1 2 2 n 2 ( 2 n 1 1) 3 (an 1) 分 2 10 2 2 2 又 ln( bn 1 1) bn 1) bn 1 bn ) ln(bn 1) 2 ln(bn 1) 分 ln( bn ln(bn 11 ln(bn 1) 2 ln(