人教課標(biāo)版高中數(shù)學(xué)選修4-4《曲線的參數(shù)方程》教案-新版

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1、 第二講 參數(shù)方程 2.1 曲線的參數(shù)方程 一、教學(xué)目標(biāo) （一）核心素養(yǎng) 通過這節(jié)課學(xué)習(xí)，了解參數(shù)方程的概念、 體會(huì)參數(shù)的意義，會(huì)進(jìn)行參數(shù)方程和普通方程的互化， 在直觀想象、數(shù)學(xué)抽象中感受不同參數(shù)方程的特點(diǎn)． （二）學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．通過實(shí)例，了解參數(shù)方程的含義，體會(huì)參數(shù)的意義． 2．能求解圓的參數(shù)方程并用圓的參數(shù)解決有關(guān)問題，了解圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義． 3．掌握基本的參數(shù)方程與普通方程的互化， ，感受集合語言的意義和作用． （三）學(xué)習(xí)重點(diǎn) 1．參數(shù)方程的概念． 2．圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用．

2、3．參數(shù)方程與普通方程的互化． （四）學(xué)習(xí)難點(diǎn) 1．參數(shù)方程與普通方程的互化的等價(jià)轉(zhuǎn)化． 2．根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程． 二、教學(xué)設(shè)計(jì) （一）課前設(shè)計(jì) 1．預(yù)習(xí)任務(wù) （ 1）讀一讀：閱讀教材第 21 頁至第 26 頁，填空： 一般的，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x, y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù)： x f (t) y ① g(t) 且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值，由方程組①確定的點(diǎn) M ( x， y) 都在這條

3、曲線上，那么方程組①叫做 這條曲線的 參數(shù)方程 ，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù) ．相對(duì)于參數(shù)方程而言，直 接給出點(diǎn)坐標(biāo) x, y 之間關(guān)系的方程 f ( x， y) 0 叫普通方程 ． （ 2）想一想：參數(shù)方程與普通方程如何轉(zhuǎn)化？ 一般地，可以通過消去 參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程 .反之，如果知道變數(shù) 個(gè)與參數(shù) t 的關(guān)系，例如 x f (t ) ，把它代入普通方程， 求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系那么就是曲線的參數(shù)方程． （ 3）寫一寫：圓的一般參數(shù)方程是什么？ 

4、 x, y 中的一 y g( x) ， ①圓心在原點(diǎn) ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為 ( θ為參數(shù) ); ②圓心在 (a,b) ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為 ( θ為參數(shù) ). 2．預(yù)習(xí)自測(cè) x＝ 1＋ sin θ (θ是參數(shù) )所表示曲線經(jīng)過下列點(diǎn)中的 () （ 1）方程 y＝ sin 2θ A.(1,1) B. ( 3 , 1 ) 2 2 C. ( 3 , 3) D. ( 2 2 3 , 1 ) 2

5、2 2 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的定義 【解題過程】將選項(xiàng)中的點(diǎn)一一代入曲線的參數(shù)方程中，顯然選項(xiàng) C 滿足題意 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程的定義求解 【答案】 C． x＝m， 為參數(shù) x＝m， ， 為參數(shù) x＝ 1， （ 2）下列方程：① (m ) ② ) ③ ④x＋ y＝ y＝m. (m n y＝ 2. y＝n. 0 中，參數(shù)方程的個(gè)數(shù)為 ( ) A． 1 B． 2 C．3 D．4 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的定

6、義 【解題過程】根據(jù)參數(shù)方程的定義，只有①是參數(shù)方程 【思路點(diǎn)撥】由參數(shù)方程的定義求解 【答案】 A （ 3）參數(shù)方程 x＝cos α， 化成普通方程為 _______________. α為參數(shù) ( ) y＝1＋sin α 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程與普通方程互化 x＝cos α， 【解題 過程 】由 變 形整 理得 cos x, sin y 1 ，兩 式分別平方相 加得 y＝1＋sin α x2 ( y 1)2 1 【思路點(diǎn)撥】利用三角恒等變換消去參數(shù) 【答案】

7、x2 ( y 1)2 1. x＝2＋cos α （ 4）P(x，y)是曲線 (α為參數(shù) )上任意一點(diǎn)，則 P 到直線 x－y＋4＝0 的距離的最y＝sin α 小值是 ________． 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的應(yīng)用 【解題過程】由 P 在曲線 x＝2＋cos α y＝sin α 上可得 P 的坐標(biāo)為 (2＋cos α，sin α)， 2cos α＋ π ＋ 6 4 由點(diǎn)到直線的距離公式得 d＝|cos α－sin α＋6|＝ ， 2

8、 2 π － 2＋6 當(dāng) cos α＋ 4 ＝－ 1 時(shí)， d 最小， dmin ＝ 2 ＝－ 1＋3 2. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程的應(yīng)用得到點(diǎn)設(shè)置，再轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解【答案】－ 1＋3 2 (二)課堂設(shè)計(jì) 1．問題探究 探究一 結(jié)合實(shí)例，認(rèn)識(shí)參數(shù)方程★ ●活動(dòng)① 歸納提煉概念 在過去的學(xué)習(xí)中， 我們已經(jīng)掌握了一些求曲線方程的方法， 但在求某些曲線方程時(shí)， 直接確定曲線上點(diǎn)的坐標(biāo) x, y 的關(guān)系并不容易，我們先看下來的例子： 一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)底面 500m 高處以

9、 100m/s 的速度作水平直線飛行．為使投放的救援物質(zhì)準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)？（不計(jì)空氣阻力，重力加速度 g 9.8m / s2 ） 設(shè)飛機(jī)在點(diǎn) A 將物質(zhì)投出機(jī)艙，在過飛機(jī)航線且垂直于底面的平面上建立如右圖的平面 直角坐標(biāo)系，其中 x 軸為該平面與地面的交線， y 軸經(jīng)過 A 點(diǎn)．記物質(zhì)從被投出到落地這段時(shí) 間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)曲線為 C， M (x，y) 為 C 上任意點(diǎn)，設(shè) t 時(shí)刻時(shí)， x 表示物質(zhì)的水平位移， y 表示物 質(zhì)距地面的高度

10、.由物理知識(shí)，物資投出機(jī)艙后，沿 Ox 方向以 100m/ s 的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)， x 100t 沿 Oy 反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)，即： 1 gt 2 y 500 2 令 y 0, t 10.10s ，代入 x 100t ，解得 x 1010m . 所以，飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離約為 1010m 時(shí)投放物資，，可以使其準(zhǔn)確落在指定地 點(diǎn) . 由上可知：在 t 的取值范圍內(nèi)，給定 t 的一個(gè)值，就可以惟一確定 x, y 的值，反之也成立 . 一般的，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x, y 都是某

11、個(gè)變數(shù) t 的函數(shù)： x f (t) y ① g(t) 且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值，由方程組①確定的點(diǎn) M ( x， y) 都在這條曲線上，那么方程組①叫做 這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)．相對(duì)于參數(shù)方程而言，直 接給出點(diǎn)坐標(biāo) x, y 之間關(guān)系的方程 f ( x， y) 0 叫普通方程． 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù) x, y 的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義，也可以沒有明顯實(shí)際意 義的變數(shù) . 【設(shè)計(jì)意圖】從生活實(shí)例到數(shù)學(xué)問題，從特殊到一般，體會(huì)概念的提煉、抽

12、象過程．●活動(dòng)② 鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋 x 3t (t為參數(shù) ) 例 1 已知曲線 C 的參數(shù)方程是 2t 2 y 1 （ 1）判斷點(diǎn) M 1(0,1), M 2 (5,4) 與曲線 C 的位置關(guān)系； （ 2）已知點(diǎn) M (6, a) 在曲線 C 上，求 a 的值 . 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程． 【解題過程】（1）把點(diǎn) M 1 的坐標(biāo) (0,1) 代入方程組，解得 t 0 ，所以 M 1 在曲線 C ．把點(diǎn) M 2 的 5 3t ，無解，所以 M 2 不在曲線 C .

13、 坐標(biāo) (5,4) 代入方程組，得 2t2 4 1 （ 2）因?yàn)辄c(diǎn) M (6, a) 在曲線 C 上，所以 6 3t ，解得 t 2, a 9 a 2t 2 1 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程與曲線的關(guān)系來求解． 【答案】（1） M 1 在曲線 C ， M 2 不在曲線 C ； （2） a 9 ． 同類訓(xùn)練 已知某條曲線 C 的參數(shù)方程為 x 1 2t R) 且點(diǎn) M ( 3,4) 在該曲線上 . y at 2

14、(t為參數(shù) , a (1)求常數(shù) a 的值； (2)判斷點(diǎn) P(1,0)， Q(3，－ 1)是否在曲線 C 上？ 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程． 【解題過程】 (1)將 M(－3,4)的坐標(biāo)代入曲線 C 的參數(shù)方程 x＝1＋2t， － 3＝ 1＋ 2t， 得 消 y＝at2， 4＝at2， 去參數(shù) t，得 a＝1. x＝1＋2t， (2)由上述可得，曲線 C 的參數(shù)方程是 y＝t2， 把點(diǎn) P 的

15、坐標(biāo) (1,0)代入方程組，解得 t＝ 0，因此 P 在曲線 C 上，把點(diǎn) Q 的坐標(biāo) (3，－ 1)代入 3＝1＋2t， 方程組，得到 －1＝t2 ， 這個(gè)方程組無解，因此點(diǎn) Q 不在曲線 C 上． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程和曲線的關(guān)系來求解． 【答案】 (1) a 1 ； (2) P 在曲線 C 上，點(diǎn) Q 不在曲線 C 上． 【設(shè)計(jì)意圖】鞏固基礎(chǔ)，加深理解與應(yīng)用． 探究二 探究圓的參數(shù)方程 ●活動(dòng)① 互動(dòng)交流、初步實(shí)踐 結(jié)合以上參數(shù)方程的定義，你能的得到圓的參數(shù)方程嗎？先看下面例子 當(dāng)物體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體中各個(gè)

16、點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng) (如右圖 )．那么，怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？ 如圖 1，設(shè)圓 O 的半徑是 r，點(diǎn) M 從初始位置 M0(t＝0 時(shí)的位 置 )出發(fā)，按逆時(shí)針方向在圓 O 上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) M 繞點(diǎn) O 轉(zhuǎn) 圖 2- 1- 2 動(dòng)的角速度為 ω.以圓心 O 為原點(diǎn)， OM0 所在的直線為 x 軸，建立直 角坐標(biāo)系．顯然，點(diǎn) M 的位置由時(shí)刻 t 惟一確定，因此可以取 t 為參數(shù)． 【設(shè)計(jì)意圖】 通過現(xiàn)實(shí)問題的求解， 加深對(duì)參數(shù)方程中參數(shù)的意義的理解． 圖 1 ●活動(dòng)② 建立模型，加深認(rèn)識(shí) 如果在時(shí)刻 t，點(diǎn) M 轉(zhuǎn)過的角度

17、是 θ，坐標(biāo)是 M(x， y)，那么 θ＝ωt.設(shè)|OM|＝r，如何用 r 和 θ表示 x，y 呢？ 由三角函數(shù)定義，有 x y cos ωt＝r ，sin ωt＝ r ， x＝rcos ωt， 即  (t 為參數(shù) ) y＝rsin ωt. 考慮到 θ＝ωt，也可以取 θ為參數(shù)，于是有 x＝rcos θ， (θ為參數(shù) ) y＝rsin θ. 這就得到了以原點(diǎn)為圓心，半徑為 r 的圓參數(shù)方程 .其中 θ的幾何意義是 轉(zhuǎn)到 OM 的位置時(shí)， OM 0 轉(zhuǎn)過的角度． 

18、 OM0 繞點(diǎn)  O 逆時(shí)針旋 【設(shè)計(jì)意圖】 通過對(duì)問題的求解， 得出圓的參數(shù)方程， 同時(shí)為求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的參數(shù)方程作鋪墊． ●活動(dòng)③ 歸納梳理、靈活應(yīng)用 若圓的圓心坐標(biāo)為 (a, b) ，半徑為 r 的圓的參數(shù)方程是什么呢？ 此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： (x a)2 ( y b)2 r 2 ，由 sin 2 cos2 1，故令 x a cos , y b sin ，整理得： r r x a

19、 r cos y b r sin  ( 為參數(shù) ) 一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍 . 【設(shè)計(jì)意圖】由特殊到一般，體會(huì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、歸類整理意識(shí)． 探究三 探究參數(shù)方程和普通方程的互化★▲ ●活動(dòng)① 歸納梳理、體會(huì)內(nèi)在聯(lián)系 我們除了用普通方程表示曲線外， 還可以用參數(shù)方程表示曲線， 它們是同一曲線的兩種不同的 表達(dá)形式 .但由參數(shù)方程直接判斷曲線的類型不太容易，例如 x cos 3 為何曲線？ y sin 這就需要我們轉(zhuǎn)化為普通再判斷，那么兩者如何

20、轉(zhuǎn)化？ 由 x cos 3 得 cos x 3 ， 所以 ( x 3)2 y2 1 ，表示以 (3,0) 為圓心，半徑為 1 的圓 . y sin sin y 一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程 .反之，如果知道變數(shù) x, y 中的一 個(gè)與參數(shù) t 的關(guān)系，例如 x f (t ) ，把它代入普通方程， 求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系 y g( x) ， 那么就是曲線的參數(shù)方程． 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使 x, y 的取值范圍保持一致，即等價(jià)轉(zhuǎn)化 . 【設(shè)計(jì)

21、意圖】通過實(shí)例體會(huì)參數(shù)方程與普通方程的互化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象意識(shí)． ●活動(dòng)② 鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋 例 2 如圖，已知點(diǎn) P 是圓 x2＋ y2 ＝16 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) A(12,0)，當(dāng)點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段 PA 的中點(diǎn) M 的軌跡 . 【知識(shí)點(diǎn)】圓的參數(shù)方程、點(diǎn)的軌跡方程． 【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合 【解題過程】設(shè)動(dòng)點(diǎn) M(x，y)， x＝4cos θ， ∵圓 x2＋ y2＝16 的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù) )， y＝

22、4sin θ， ∴設(shè)點(diǎn) P(4cos θ， 4sin θ)， 4cos θ＋12 4sin θ 由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 x＝ 2 ，且 y＝ 2 ， x＝2cos θ＋6， 轉(zhuǎn)化為普通方程得 ( x 6)2 y2 4 ∴點(diǎn) M 的軌跡方程為 y＝2sin θ， 因此點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) (6,0)為圓心，以 2 為半徑的圓． 【思路點(diǎn)撥】借助于圓的參數(shù)方程來得到點(diǎn)的軌跡方程，即代入法． 【答案】點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) (6,0)為圓心，以 2 為

23、半徑的圓． 同類訓(xùn)練 將例 1 中的定點(diǎn) A 的坐標(biāo)改為 ( 4,0) ，其它條件不變，求線段 PA 的中點(diǎn) M 的軌跡 【知識(shí)點(diǎn)】圓的參數(shù)方程、點(diǎn)的軌跡方程． 【解題過程】設(shè)動(dòng)點(diǎn) M(x，y)， x＝4cos θ， ∵圓 x2＋ y2＝16 的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù) )，y＝4sin θ， ∴設(shè)點(diǎn) P(4cos θ， 4sin θ)， 由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 x 4cos 4 ，且 y＝ 4sin θ 2 ， 2

24、 ∴點(diǎn) M 的軌跡方程為 x 2cos 2 ，轉(zhuǎn)化為普通方程得 (x 2)2 y 2 4 y 2sin 因此點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) (6,0)為圓心，以 2 為半徑的圓． 【思路點(diǎn)撥】借助于圓的參數(shù)方程來得到點(diǎn)的軌跡方程，即代入法． 【答案】點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) (2,0)為圓心，以 2 為半徑的圓． 【設(shè)計(jì)意圖】鞏固檢查參數(shù)方程與曲線的關(guān)系． 例 3 把下列參數(shù)方程化為普通方程

25、，并說明它們各表示什么曲線？ （ 1） x t 1 (t為參數(shù) ) （2） x sin cos ( 為參數(shù) ) y 1 2 t y 1 sin 2 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程化為普通方程． 【解題過程】（1）由 x t 1 1，有 t x 1 ，代入 y 1 2 t ，得到 y 2x 3 .又因?yàn)? x t 1 1，所以與參數(shù)方程等價(jià)的普通方程是 y 2x 3(x 1) ，即以 (1,1) 為端點(diǎn)的一

26、條射 線（包括端點(diǎn)）  . （ 2）把  x  sin  cos  平方后減去  y  1 sin 2  ，得到  x2  y ，又因?yàn)? x sin  cos  2 sin(  ) ，所以  x  [  2,  2]  ，即與參數(shù)方程等價(jià)的普通方程是 4 x2  y ，  x  [  2,  2

27、]  ，即開口向上的拋物線的一部分  . 【思路點(diǎn)撥】先由一個(gè)方程求出參數(shù)的表達(dá)式，再代入另一個(gè)方程，或者利用三角恒等變換消 去參數(shù)． 【答案】（1） y 2 x 3( x 1) ；（ 2） x2 y ， x [ 2 , 2] ． 同類訓(xùn)練 化下列曲線的參數(shù)方程為普通方程 ,并指出它是什么曲線． x＝1＋2 t， x＝ cos θ＋ sin θ， (1) t (t 為參數(shù) )；(2) (θ為參數(shù) )． y＝3－4 y＝ sin θcos θ 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程化為普通方程．

28、 【解題過程】 (1)∵x＝1＋2 t，∴ 2 t＝x－ 1. ∵－ 4 t＝－ 2x＋2，∴ y＝3－4 t＝ 3－ 2x＋2. 即 y＝－ 2x＋ 5(x≥1)，它表示一條射線． (2)∵x＝cos θ＋sin θ＝ 2sin θ＋ π 4 ， ∴ x∈ [ － 2， 2] ． x2＝ 1＋ 2sin θcos θ， 將 sin θcos θ＝ y 代入，得 x2＝1＋2y. ∴普通方程為 y＝12x2－12(－ 2≤x≤ 2)，它是拋物線的一部分． 【思路點(diǎn)撥】先由一個(gè)方程求出參數(shù)的表達(dá)式，再代入

29、另一個(gè)方程，或者利用三角恒等變換消 去參數(shù)． 【設(shè)計(jì)意圖】鞏固檢查參數(shù)方程與普通方程的互化． ●活動(dòng)③ 強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用 例 4 若 x，y 滿足 (x－1)2＋(y＋ 2)2＝4，求 2x＋ y 的最值．【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)． 【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化與化歸思想． 【解題過程】令 x－ 1＝ 2cos θ，y＋2＝2sin θ，則有 x＝ 2cos θ＋1，y＝ 2sin θ－ 2， 故 2x＋ y＝4cos θ＋2＋2sin θ－ 2＝ 4cos θ＋2sin θ＝ 2 5sin(θ＋φ)． ∴－ 2 5≤2x

30、＋y≤25. 即 2x＋ y 的最大值為 2 5，最小值為－ 2 5. 【思路點(diǎn)撥】考慮利用圓的參數(shù)方程將求 2x＋y 的最值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題．【答案】 2x＋y 的最大值為 2 5，最小值為－ 2 5. 同類訓(xùn)練 已知點(diǎn) M(x， y)是圓 x2＋y2＋ 2x＝0 上的動(dòng)點(diǎn)，若 4x＋3y－ a≤0恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)． ． 【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸思想． 【解題過程】由 x2＋y2＋ 2x＝0，得 (x＋ 1)2＋ y2＝1，又點(diǎn) M 在圓上， ∴ x＝－ 1＋ cos θ，且 y＝sin

31、θ， 因此 4x＋3y＝4(－ 1＋ cos θ)＋3sin θ 4 ＝－ 4＋5sin(θ＋φ) ≤－ 4＋ 5＝ 1.(φ由 tan φ＝ 3確定 ) ∴ 4x＋3y 的最大值為 1. 若 4x＋ 3y－a≤0恒成立，則 a≥(4x＋ 3y)max， 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 [1，＋ ∞)． 【思路點(diǎn)撥】考慮利用圓的參數(shù)方程將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值，在利用求三角函數(shù)最值問題． 【答案】 [1，＋ ∞)． 【設(shè)計(jì)意圖】熟練利用參數(shù)方程求解某些最值問題． 3.課堂總結(jié) 知識(shí)梳理 （ 1）一般的，在平面直角坐標(biāo)系中，

32、如果曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x, y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù)： x f (t) ① y g(t) 且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值，由方程組①確定的點(diǎn) M ( x， y) 都在這條曲線上，那么方程組①叫做 這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)．相對(duì)于參數(shù)方程而言，直 接給出點(diǎn)坐標(biāo) x, y 之間關(guān)系的方程 f ( x， y) 0 叫普通方程． （ 2）一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程 .反之，如果知道變數(shù) x, y 中的一 個(gè)與參數(shù) t 的關(guān)系，例如 x

33、 f (t ) ，把它代入普通方程， 求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系 y g( x) ， 那么就是曲線的參數(shù)方程． x＝ rcos θ， ( 為參數(shù) ) ; （ 3）①圓心在原點(diǎn) ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為 y＝ rsin θ. x a r cos ②圓心在 (a, b) ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為 b ( 為參數(shù) ) . y r sin 重難點(diǎn)歸納 （ 1）參數(shù) t （也可用其它小寫字母表示）是聯(lián)系變數(shù) x, y 的橋梁，它可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可

34、以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù)； 參數(shù)方程和普通方程都是在直角坐標(biāo)系之下同一曲線的兩種不同表的形式． （ 2）參數(shù)方程和普通方程互化時(shí)，一定使 x, y 的取值范圍保持一致，即等價(jià)轉(zhuǎn)化．（三）課后作業(yè) 基礎(chǔ)型 自主突破 1．下列方程中能表示曲線參數(shù)方程的是 ( ) A. 2x 3y t 0 x 2ty x 2t 4 x 5k 3 B. 3x 2t C. 3u 2 D. 3 2k y y y 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的含義． 【解題過程】 A 是含參數(shù)的方程 ,B 中的 x, y 并不都由參數(shù)

35、t 確定 ,C 中的 x, y 不是由同一個(gè)參數(shù)確定 ,D 正確 . 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程的含義進(jìn)行判斷． 【答案】 D x＝1＋t2 2．曲線 (t為參數(shù) ) 與 x 軸交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是 ( ) y＝t－1 A． (0,1) B． (1,2) C． (2,0) D． ( 2,0) 【知識(shí)點(diǎn)】曲線與參數(shù)方程． 【解題過程】設(shè)與 x 軸交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (x，y)，令 y＝0 得 t＝1，代入 x＝ 1＋t2，得 x＝ 2，∴曲線與 x 軸的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (2,0)． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)曲線與參數(shù)方程的關(guān)系判斷．

36、 【答案】  C 3．曲線  x＝－ 1＋ cos θ，y＝2＋sin θ  (θ為參數(shù) )的對(duì)稱中心  (  ) A. 在直線  y＝ 2x 上  B.在直線  y＝－ 2x 上  C.在直線  y＝x－1 上  D.在直線  y＝x＋1 上 【知識(shí)點(diǎn)】圓的參數(shù)方程． 【解題過程】由  x＝－ 1＋cos θ，y＝2＋sin θ，  得  cos θ＝x＋1， sin θ＝y(tǒng)－2.

37、 所以 (x＋1)2＋(y－2)2＝ 1.曲線是以 (－1，2)為圓心， 1 為半徑的圓， 所以對(duì)稱中心為 (－1，2)，在直線 y＝－ 2x 上.故選 B． 【思路點(diǎn)撥】將圓的參數(shù)方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【答案】 B ．若 ， y 滿足 2＋y2＝1，則 x＋ 3y 的最大值為 ( ) 4x x A． 1 B．2 C．3 D．4 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的應(yīng)用． x＝ cos θ， 3y＝ 3sin θ＋ 【解題過程】由于圓 x

38、2＋y2＝1 的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù) )，則 x＋ y＝ sin θ cos θ＝2sin ( ) ，故 x＋ 3y 的最大值為 2.故選 B. 6 【思路點(diǎn)撥】利用三角代換求解． 【答案】 B． 5．圓心在點(diǎn) (-1,2),半徑為 5 的圓的參數(shù)方程為 ________. 【知識(shí)點(diǎn)】普通方程化為參數(shù)方程． x 1 5 cos 【解題過程】 因?yàn)槭菆A心在點(diǎn) (-1,2),半徑為 5 的圓，所以參數(shù)方程為 2 ( 為參數(shù) ) ．

39、 y 5sin 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角代換公式來求解． x 1 5cos 【答案】 2 ( 為參數(shù) ) ． y 5sin 6．設(shè) y＝tx(t 為參數(shù) )，則圓 x2＋y2－4y＝ 0 的參數(shù)方程是 _________． 【知識(shí)點(diǎn)】普通方程與參數(shù)方程互化． 2 【解題過程】把 y＝ tx 代入 x2＋y2－ 4y＝0 得 x＝ 4t 2， y＝ 4t 2， 1＋ t 1＋ t x＝ 4t 2， ∴參數(shù)方程為 1＋t (t 為參數(shù) )． 4t2

40、 y＝1＋t2 【思路點(diǎn)撥】利用代入法求解． x＝ 4t 2， 1＋t (t 為參數(shù) ) 【答案】 4t2 y＝1＋t2 能力型 師生共研 x＝2＋sin2θ 7．將參數(shù)方程 (θ為參數(shù) )化為普通方程為 () y＝sin2θ A． y＝x－2 B．y＝ x＋2 C． y＝x－2(2 ≤x≤ 3) D．y＝x＋ 2(0 ≤y≤ 1) 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程化為普通方程． 【解題過程】消去 2

41、2 sin θ，得 x＝ 2＋ y，又 0≤ sinθ≤1，∴ 2≤x≤ 3. 【思路點(diǎn)撥】注意三角函數(shù)的有界性，參數(shù)方程的等價(jià)轉(zhuǎn)化． 【答案】 C x＝2cos θ (θ為參數(shù)， 0≤θ<2π)． 8．已知曲線 C 的參數(shù)方程為 y＝3sin θ 判斷點(diǎn) A(2,0)，B ( 3, 3) 是否在曲線 C 上？若在曲線上，求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值． 2 【知識(shí)點(diǎn)】曲線與參數(shù)方程． x＝ 2cos θ， 【解題過程】把點(diǎn) A(2,0)的坐標(biāo)代入 y＝ 3sin θ， 得 c

42、os θ＝1 且 sin θ＝0，由于 0≤θ<2π，解之得 θ＝0，因此點(diǎn) A(2,0)在曲線 C 上，對(duì)應(yīng)參數(shù) θ＝ 0. 同理，把 B ( 3, 3) 代入?yún)?shù)方程，得 2 － 3＝2cos θ， 3 cos θ＝－ 2 ， 3 ∴ θ， 1 2＝3sin sin

43、 θ＝2. 5 3 5 又 0≤θ<2π，∴ θ＝ 6π，所以點(diǎn) B ( 3, 2 ) 在曲線 C 上，對(duì)應(yīng) θ＝6π. 【思路點(diǎn)撥】利用曲線與參數(shù)方程的關(guān)系求解． 【答案】 A， B 是在曲線 C 上， A，B 對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值分別為 θ＝0、θ＝ 5π． 6 探究型 多維突破 2＋y2－8xcos θ－ 6ysin θ＋7cos2θ＋ ＝

44、 ．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，動(dòng)圓 θ∈ R) 的圓心為 9 x 8 0( P(x，y)，求 2x－y 的取值范圍． 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的應(yīng)用． x＝4cos θ， 【解題過程】由題設(shè)得 (θ為參數(shù)， θ∈R)． y＝3sin θ， 于是 2x－y＝ 8cos θ－3sin θ＝ 73sin(θ＋φ)， 8 φ由tan φ＝－ 3確定 所以－ 73≤2x－y≤ 73. 所以 2x－y 的取值范圍是 [－ 73， 73] ． 【思路點(diǎn)撥】利用參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最

45、值來求解． 【答案】 [－ 73， 73] ． x＝4cos θ 10．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)，且 0≤θ<2π)，點(diǎn) y＝4sin θ M 是曲線 C1 上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求線段 OM 的中點(diǎn) P 的軌跡的直角坐標(biāo)方程； (2)以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρcos θ － ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求點(diǎn) P 到直線 l 距離的最大值． 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程、極坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離．

46、【解題過程】 (1)曲線 C1 上的動(dòng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (4cos θ， θ，坐標(biāo)原點(diǎn) O(0,0) ， 4sin ) 設(shè) P 的坐標(biāo)為 (x， y)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 1 1 x＝2(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝2(0＋4sin θ)＝2sin θ， 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (2cos θ，2sin θ)， x＝2cos θ θ為參數(shù)，且 ≤θ π)， 因此點(diǎn) P 的軌跡的參數(shù)方程為

47、 ( 0 <2 y＝2sin θ 消去參數(shù) θ，得點(diǎn) P 軌跡的直角坐標(biāo)方程為 x2＋ y2＝4. (2)由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系得 直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 x－ y＋ 1＝ 0.又由 (1)知，點(diǎn) P 的軌跡為圓心在原點(diǎn)，半徑為 2 的圓， 因?yàn)樵c(diǎn) (0,0)到直線 x－y＋1＝0 的距離為 |0－0＋1| ＝ 1 ＝ 2， 12＋ (－ 1)2 2 2 所以點(diǎn) P 到直線 l 距離的最大值為 2＋ 2

48、 2 . 【思路點(diǎn)撥】普通方程側(cè)重于判斷曲線的形狀 ,參數(shù)方程側(cè)重于表示曲線上的點(diǎn)． 【答案】（1）P 軌跡的直角坐標(biāo)方程為 x2 ＋y2＝4；（2）2＋ 22． 自助餐 x sin 2 為參數(shù) ．下列點(diǎn)在方程 ( ) 所表示的曲線上的是 () 1 y cos2 A. (2,7) B. (1 , 2) C. (1 , 1) D. (1, 1) 3 3

49、 2 2 【知識(shí)點(diǎn)】曲線與參數(shù)方程． 【解題過程】選 D.由方程 ( θ為參數(shù) ),令 x sin 2 1 得 , k , k Z y cos 2 1. 2 【思路點(diǎn)撥】利用曲線點(diǎn)的與參數(shù)方程的關(guān)系求解． 【答案】 D 2．把方程 xy＝1 化為以 t 為參數(shù)的參數(shù)方程是 ( ) 1 x＝ sin t x＝cos t， x＝ tan t， x＝t2 C. A. 1 B.1 1 D.1 y

50、＝t－ y＝ sin t y＝cos t y＝ tan t 2 【知識(shí)點(diǎn)】普通方程與參數(shù)方程互化． 【解題過程】 A 顯然代入不成立， B,C 選項(xiàng)中 x 1 ，不成立， D 選項(xiàng)滿足要求． 【思路點(diǎn)撥】把選項(xiàng)的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化． 【答案】 D 3．圓的參數(shù)方程為 x＝2＋4cos θ， (0 ≤θ<2π)，若圓上一點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)參數(shù) θ＝4π，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo) y＝－ 3＋4sin θ 3 是 ________． 【知識(shí)點(diǎn)】曲線與參數(shù)方程． 4

51、 【解題過程】將 θ＝3π代入?yún)?shù)方程中，解得 x 0, y 3 3 ，所以 P( 0, 3 3) ． 【思路點(diǎn)撥】利用曲線上的點(diǎn)與參數(shù)方程的關(guān)系． 【答案】 (0，－ 3 3)． x＝－ 2＋cos θ， y 4．點(diǎn) (x，y)是曲線 C： y＝sin θ (θ為參數(shù)， 0≤θ＜2π)上任意一點(diǎn)，則 x的取值范圍是 ________． 【知識(shí)點(diǎn)】圓的參數(shù)方程、直線斜率． 【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想 x＝－ 2＋cos θ， 【解題過程】曲線 C： 是以 (－ 2,0)為圓心， 1 為半徑的圓，即

52、(x＋2)2 ＋y2＝ y＝sin θ y 1.設(shè) x＝ k，∴ y＝ kx.當(dāng)直線 y＝kx 與圓相切時(shí)， k 取得最小值與最大值， ∴ |－ 2k| ＝1，k2＝1，∴ y的范圍為 － 3， 3 k2＋1 3x 3 3 . 【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)形結(jié)合的思想求解． 【答案】 － 33， 33 ． 5．根據(jù)所給條件，把曲線的普通方程化為參數(shù)方程： （ 1） y2 x y 1 0 ，設(shè) y t 1, t 為參數(shù)； （ ） x2 y2 1 ，設(shè) x 3cos , 為參數(shù) . 2 4 9

53、 【知識(shí)點(diǎn)】普通方程與參數(shù)方程互化． 【解題過程】（1）將 y t 1, 代入方程 y 2 x y 1 0 ，解得 x t 2 3t 1 ，所以參數(shù)方程為 x t 2 3t 1(t為參數(shù) ) y t 1 （ 2）將 x 3 cos , 代入方程 x2 y2 1 y 2 sin ，由于參數(shù) 的任意性，可取 y 2sin ， 9 4 x 3cos ( 為

54、參數(shù) ) ． 所以參數(shù)方程為 2 sin y 【思路點(diǎn)撥】普通方程化為參數(shù)方程，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化． 【答案】（1） x t 2 3t 1 x 3cos y t 1 (t為參數(shù) ) ；（2） ( 為參數(shù) ) y 2 sin x＝ a＋ tcos θ， (a， b 為正常數(shù) )中， 6．在方程 y＝ b＋ tsin θ (1)當(dāng) t 為參數(shù)， θ為常數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線？ (2)當(dāng) t 為常數(shù)， θ為參數(shù)時(shí)

55、，方程表示何種曲線？ 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的含義． 【數(shù)學(xué)思想】分類討論的思想． 【解題過程】（1）方程 x＝a＋tcos θ， ① ， 是正常數(shù) ， (a b ) y＝b＋tsin θ， ② (1)①sin θ－② cos θ得 xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝ 0. ∵ cos θ、 sin θ不同時(shí)為零，∴方程表示一條直線． (2)(ⅰ )當(dāng) t 為非零常數(shù)時(shí)， x－ a 原方程組為 t ＝ cos θ， ③ y－

56、b t ＝ sin θ. ④ ③ 2＋④ 2 得 x－a 2 y－ b 2 ＋ ＝ 1， t2 t2 即 (x－a)2＋ (y－b)2＝t2 ，它表示一個(gè)圓． 【思路點(diǎn)撥】 (1)運(yùn)用加減消元法，消 t； (2)當(dāng) t＝0 時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)，當(dāng) t 為非零常數(shù)時(shí)， 利用平方關(guān)系消參數(shù) θ，化成普通方程，進(jìn)而判定曲線形狀． 【答案】（1）方程表示一條直線； （2）(ⅰ)當(dāng) t 為非零常數(shù)時(shí)，它表示一個(gè)圓， (ⅱ)當(dāng) t＝0 時(shí)， 表示點(diǎn) (a， b)．