《（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)強(qiáng)化練（三）不等式選講 理 選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)強(qiáng)化練（三）不等式選講 理 選修4-5（4頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專項(xiàng)強(qiáng)化練(三) 選修4－5：不等式選講(理獨(dú))
題型一 含絕對值不等式
1．解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2.
解：當(dāng)x≤－2時，不等式化為(2－x)＋x(－x－2)＞2，即－x2－3x>0，解得－3＜x≤－2；
當(dāng)－2＜x＜2時，不等式化為(2－x)＋x(x＋2)＞2，
即x2＋x>0，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；
當(dāng)x≥2時，不等式化為(x－2)＋x(x＋2)＞2，
即x2＋3x－4>0，解得x≥2.
所以原不等式的解集為{x|－3＜x＜－1或x＞0}．
2．解不等式：|x＋2|－|x－1|≤1.
解：令f(x)＝|x＋2|－|x－1|.
當(dāng)x≤－2時，f
2、(x)＝－(x＋2)－(1－x)＝－3，
此時f(x)＝|x＋2|－|x－1|≤1恒成立；
當(dāng)－2
3、≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3＋2＝1.
即|x＋5y|≤1.
[臨門一腳]
1．形如|x＋a||x－b|≥c(≤c)不等式的解法常用零點(diǎn)分段討論法，其步驟為：(1)求零點(diǎn)；(2)劃分區(qū)間、去絕對值號；(3)分別解去掉絕對值的不等式；(4)取每個結(jié)果的并集，特別注意在分段時不要漏掉區(qū)間的端點(diǎn)值．
2．絕對值不等式也可用|x－a1||x－a2|的幾何意義求解集．
3．應(yīng)用絕對值不等式||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|求最值，一定要寫出等號成立的條件．
題型二 基本不等式的應(yīng)用
1．已知a，b是正數(shù)，求證：a2＋4b2＋≥4.
證明
4、：因?yàn)閍，b是正數(shù)，
所以a2＋4b2≥4ab.
所以a2＋4b2＋≥4ab＋≥2 ＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，且ab＝時取等號．
即a2＋4b2＋≥4.
2．已知a，b，c均為正數(shù)，求證：a2＋b2＋c2＋＋＋2≥6.
證明：法一：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，＋＋≥3(abc)－，
所以2≥9(abc)－.
故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－，
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，所以原不等式成立．
法二：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，所以
5、a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.同理＋＋≥＋＋.所以a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ca＋＋＋≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時取等號．所以原不等式成立．
[臨門一腳]
1．基本不等式應(yīng)用于證明關(guān)鍵是和積轉(zhuǎn)化，所以進(jìn)行證明前一定要觀察不等式兩邊式子結(jié)構(gòu)的特征系數(shù)、方次．
2．要根據(jù)條件特征選擇使用三元還是兩元的基本不等式，等號成立條件一定要寫．
3．多次使用基本不等式時要關(guān)注多個等號成立條件是否能夠同時成立．
題型三 柯西不等式的應(yīng)用
1．求函數(shù)y＝3sin x＋2的最大值．
解：y＝3sin x＋2＝3sin x＋4，
由柯西不等式得
y2＝(3sin x＋4)2≤(32＋
6、42)(sin2x＋cos2x)＝25，
當(dāng)且僅當(dāng)4sin x＝3|cos x|，即sin x＝，|cos x|＝時等號成立，所以ymax＝5.
所以函數(shù)y＝3sin x＋2的最大值為5.
2．已知a，b，c∈R,4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．
解：由柯西不等式，得[(2a)2＋b2＋(c)2]≥(2a＋b＋c)2.
因?yàn)?a2＋b2＋2c2＝4，所以(2a＋b＋c)2≤10.
所以－≤2a＋b＋c≤，
所以2a＋b＋c的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝，c＝時等號成立．
3．設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz＝1，求證：＋＋≥xy＋yz＋zx.
證明：∵x，y
7、，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz＝1，
∴＋＋＝＋＋，
∴由柯西不等式可得(xy＋yz＋zx)≥2＝2＝(xy＋yz＋zx)2.
∴＋＋≥xy＋yz＋zx.
4．設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1＋a2＋a3＝. 求證： ＋＋≥1.
證明：法一：因?yàn)閇(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a1)]≥3
3＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝a3時等號成立．
又a1＋a2＋a3＝.
所以2≥9，
所以＋＋≥1.
法二：由柯西不等式得9＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a1)]＝2＋2＋2[()2＋()2＋()2]≥＋＋2＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)()2＝()2＝()2，
即a1＝a2＝a3＝時取等號，
所以＋＋≥1.
[臨門一腳]
1．二元柯西不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立．
2．三元柯西不等式可以用向量形式記憶：即|α||β|≥|αβ|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，得α＝kβ時，等號成立．
3．利用柯西不等式來證明不等式和基本不等式一樣也要關(guān)注式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、系數(shù)、方次、等號成立條件，如果不能夠直接使用，要對所給條件進(jìn)行變形后才能使用．
4．利用柯西不等式求最值等問題， 也要關(guān)注式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、系數(shù)、方次，最后一定要寫出等號成立條件.
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（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)強(qiáng)化練（三）不等式選講 理 選修4-5
