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1、高中數(shù)學(xué) 必修 5 在三角形中 ,已知兩角及一邊 ,或已 知兩邊及其中一邊的對(duì)角 ,可以利用正 弦定理求其他的邊和角 ,那么 ,已知兩邊 及其夾角 ,怎么求出此角的對(duì)邊呢 ?已知 三邊 ,又怎么求出它的三個(gè)角呢 ? 導(dǎo)入： 余弦定理是什么？怎樣證明？ 集體探究學(xué)習(xí)活動(dòng)一： RTX討論一： 在正弦定理的向量證法中， 我們是如何將一個(gè)向量數(shù)量化的？ 還有什么方法將一個(gè)向量數(shù)量化 嗎？ 22 22 2 c os2 c os2 )( cAbcb ABAABACAC ABACABAC BCBCa 即 Abccba c o s2222 同理可證 Baccab c o s2222 Cabbac c o s2
2、222 如圖所示，根據(jù)向量的數(shù)量積，可以得到 c a b B A C 數(shù)學(xué)建構(gòu) 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的 和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 2 b c c o s Acba 222 2 a c c o s Bcab 222 2 a b c o s Cbac 222 余弦定理 數(shù)學(xué)建構(gòu) RTX討論二： 回顧正弦定理的證明你還有 沒(méi)有其它的證明余弦定理的方法？ （ 1）坐標(biāo)法 （ 2）直角三角形的邊角關(guān)系 （ 3）正弦定理（三角變換） 證 明 方 法 RTX討論三： 已知三角形三邊，由余弦 定 理能求三個(gè)角嗎？請(qǐng)給出余弦定 理的變形式。 2bc acbc o s A 222
3、2 a c bcac o s B 222 2 a b cbac o s C 222 余弦定理變形式： 數(shù)學(xué)建構(gòu) 1.利用余弦定理可以解決哪兩類(lèi)解斜三 角形的問(wèn)題？ 2. “已知兩邊及其中一邊對(duì)角”能用 余弦定理求解嗎？ 集體探究學(xué)習(xí)活動(dòng)二： RTX討論四： 利用余弦定理可以解決哪兩 類(lèi)解斜三 角形的問(wèn)題？ 數(shù)學(xué)建構(gòu) 總結(jié)： 利用余弦定理，可以解決以下兩 類(lèi)解斜三角形的問(wèn)題： (1)已知 三邊 ，求三個(gè)角 (2)已知 兩邊和它們的夾角 ， 求第三邊和其它兩個(gè)角 例 1. 如圖，在 ABC中，已知 a=5， b=4， C=120 ，求 c. 解：由余弦定理，得 2 2 2 2 c o s 1 2
4、0c a b a b 因此 22 15 4 2 5 4 ( ) 61 2c 120 a b c C B A數(shù)學(xué)應(yīng)用： 已知在 ABC中，根據(jù)下列條件解三角形。 sin1 sin cBC b 解 ： （ ） 由 正 弦 定 理 ， 得 11 133 32 , 6 0 , 1 2 0 32 CC 1 1 160 90 6C A a 當(dāng) 時(shí) ， 1 1 212 0 30 3C A a 當(dāng) 時(shí) ， 26c,22b2,a ( 2 ) ;30B,33c3,b ( 1 ) 變式訓(xùn)練： 2 2 21 2 c o s 63 b a c a c B a o r a 解 ： （ ） 法 2 由 余 弦 定 理 ，
5、得 解 得 11 1 6 si n 2 6 si n 1 3 90 , 60 aB aA b AC 當(dāng) 時(shí) ， 由 正 弦 定 理 ， 得 = 22 3 3 , 3 0 1 2 0 a a b A B C AC 當(dāng) 時(shí) ， 為 等 腰 三 角 形 ， 26c,22b2,a ( 2 ) ;30B,33c3,b ( 1 ) 變式訓(xùn)練： 已知在 ABC中，根據(jù)下列條件解三角形。 RTX討論五： “已知兩邊及其中一邊對(duì)角” 能用余弦定理求解嗎？其中蘊(yùn)含 什么數(shù)學(xué)思想？ 2 2 2 2 c o s 2b c aA bc由 余 弦 定 理 ， 得 22 2 2 2 6 2 2 3 22 2 2 6 2 2
6、c os 30 , 45 , 105 2B A B C 同 理 ， 26c,22b2,a ( 2 ) ;30B,33c3,b ( 1 ) 已知在 ABC中，根據(jù)下列條件解三角形。 變式訓(xùn)練： 解 課堂練習(xí) 課本第 15頁(yè)練習(xí)第 1、 3題 探究：余弦定理有哪些方面的應(yīng)用？ 集體探究學(xué)習(xí)活動(dòng)三： 例 2. 利用余弦定理證明， 在 ABC中， 2 2 2 2 2 2 ; . C a b c C a b c 當(dāng) 為 銳 角 時(shí) ， 當(dāng) 為 鈍 角 時(shí) ， 2 2 2 2 2 2 2 2 c o s 0 , 2 c o s CC c a b b c C a b a b c 證 明 ： 當(dāng) 為 銳 角
7、時(shí) ， 由 余 弦 定 理 ， 得 ， 即 2 2 2 . C a b c 同 理 可 證 ， 當(dāng) 為 鈍 角 時(shí) ， 數(shù)學(xué)應(yīng)用： 例 3.如圖所示，有兩條直線(xiàn) AB和 CD 相交成 80 角，交點(diǎn)是 O，甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn) O分別沿 OA， OC方向出發(fā)，速度 分別是 4km/h， 4.5km/h。 3時(shí)后兩人相距多遠(yuǎn)（精確到 0.1km）？ O D A Q C B P 80 解 經(jīng)過(guò) 3時(shí)后，甲到達(dá)點(diǎn) P， OP=4 3=12（ km），乙到達(dá)點(diǎn) Q， OQ=4.5 3=13.5（ km）。依余弦定理，知 1 6 . 4 ( k m ) 1 3 . 5 c o s 8 01221 3 .
8、512 P O QO Q c o s2 O POQOP 22 22 PQ 數(shù)學(xué)應(yīng)用： 例 4.在長(zhǎng)江某渡口處，江水以 km/h的速度 向東流。一渡船在江南岸的碼頭出發(fā)，預(yù)定 要在 0.1h后到達(dá)江北岸碼頭，設(shè)為正北 方向，已知碼頭在碼頭的北偏東 ， 并與碼頭相距 1.2km該渡船應(yīng)按什么方向 航行？速度是多少千米小時(shí)？（角度精確到 0.1 ，速度精確到 0.1km/h） A C D B N 15 數(shù)學(xué)應(yīng)用： 解：如圖，取方向?yàn)樗鞣较颍詾?一邊、為對(duì)角線(xiàn)作平行四邊形， 其中 1.2(km),AC=5 0.1=0.5(km), 船按方向開(kāi)出 A C D B N 15 數(shù)學(xué)應(yīng)用： 在 中，由余弦
9、定理，得 ，1 . 3 8)150 . 5 c o s ( 9 01 . 220 . 51 . 2BC 222 所以 （ km) 因此，船的航行速度為 1.17 0.1=11.7(km/h) 在中，由正弦定理，得 0 . 4 1 2 81 . 1 70 . 5 s i n 7 5BC BACA C s i nA B Cs i n 所以 所以 答：渡船按北偏西 的 方向，并以 km/h的 速度航行 A C D B N 15 數(shù)學(xué)應(yīng)用： .試 判 斷 該 三 角 形 的 形 狀 2 2 2si n , c os si n 2 A a a b c C B b ab 解 ： 由 正 弦 定 理 和 余
10、 弦 定 理 ， 得 2 2 2 2 2 a a b c b a b 22bc 整 理 ， 得 0 , 0b c b c A B C 為 等 腰 三 角 形 思考： 想想看有無(wú)其它的方法？ 2 s i n B c o s C ,i n A在 A B C 中，已知s 例5 . 數(shù)學(xué)應(yīng)用： 變式訓(xùn)練： 在 ABC中，若 b2sin2C+c2sin2B =2bccosBcosC， 試判斷三角形的形狀。 解： 由正弦定理， R為 ABC的外接圓半徑，將原式化為 2si n si n si na b c RA B C 4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B =8R2sinBsinCcos
11、BcosC， 所以 8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC， 因?yàn)?sinBsinC0， 所以 sinBsinC=cosBcosC， 即 cos(B+C)=0， 從而 B+ C=90 ， A=90 ， 故 ABC為直角三角形。 解 2：將已知等式變形為 b2(1 cos2C)+c2(1 cos2B)=2bccosBcosC， 由余弦定理得 變式訓(xùn)練： 在 ABC中，若 b2sin2C+c2sin2B =2bccosBcosC， 試判斷三角形的形狀。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 22 a b c a c bb c b c a b a
12、c 2 2 2 2 2 2 2 22 a c b a b cbc a c a b 即得， 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ( ) ( ) 4 a b c a c bbc a 得 b2+c2=a2， 故 ABC是直角三角形。 變式訓(xùn)練： 在 ABC中，若 b2sin2C+c2sin2B =2bccosBcosC， 試判斷三角形的形狀。 例 6.如圖，是三角形中邊上 的中線(xiàn)，求證： .)2(21AM BCACAB 222 證： 設(shè) ABM ，則 AMC 在 ABM中，由余弦定理，得 B M c o s .2AMBMAMAB 222 在 ACM中，由余弦定理，得 22 2 2 c o s( 1
13、 8 0 ) .A M M CA C M CAM 因?yàn)?cos(180 ） cos ,BM=MC= 1/2BC, 所以 , 2 12 BCAMACAB 2222 因此， .)2(21AM BCACAB 222 數(shù)學(xué)應(yīng)用： RTX討論六： 余弦定理的應(yīng)用體現(xiàn)在哪些方面？ 本節(jié)課我有什么收獲？ RTX探討七： 對(duì)本三連堂內(nèi)容學(xué)生個(gè)人小結(jié)和集體小結(jié)： 教師課堂總結(jié) 三角形中的邊角關(guān)系 余弦定理 定 理 內(nèi) 容 定 理 證 明 定 理 應(yīng) 用 課堂總結(jié) ( 1) 已 知 三 邊 ， 求 三 個(gè) 角 ( 2) 已 知 兩 邊 和 它 們 的 夾 角 ， 求 第 三 邊 和 其 它 兩 個(gè) 角 。 2 2
14、 2 2 2 2 2 2 2 2 c os 2 c os 2 c os a b c bc A b a c ac B c a b ab C 課堂作業(yè)： 1. 第 16-17頁(yè)習(xí)題 1、 4、 5、 6、 7題 ; 2.學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)第 5、 7頁(yè)。 拓展思維作業(yè) 在 ABC中， （ 1）若 求 A； （ 2若 求最大的內(nèi)角。 sin : sin : sin ( 3 1 ) : ( 3 1 ) : 10A B C 2 2 2si n si n si n si n si nA B C B C 解：（ 1）由正弦定理得 a2=b2+c2+bc， 即 b2+c2 a2= bc，所以 2 2 2 1 c o s , 22 b c aA bc 故 A=120 ； 解：（ 2）因?yàn)椋?所以 C為最大角， 3 1 3 1 1 0 設(shè) a=( 1)k， b=( +1)k， c=10k， 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 1 ) ( 3 1 ) 1 0c o s 2 2 ( 3 1 ) ( 3 1 ) a b c k k kC ab k 1 2 故最大內(nèi)角 C為 120 . 拓展思維作業(yè) 創(chuàng)新型作業(yè)或異想天開(kāi)，提出新問(wèn)題與方法 請(qǐng)給出用三角形三邊表示三角形面積 一個(gè)公式，并用正弦或余弦定理證明。
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