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1、隨堂講義 第二部分 考前增分策略 專題三 解答題的解題方法與技巧 數(shù)學(xué)解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類重要題型，通 常是高考的把關(guān)題和壓軸題，具有較好的區(qū)分層次和選拔 功能目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識(shí)綜合型轉(zhuǎn)變?yōu)?知識(shí)、方法和能力的綜合型從廣東省和新課改省區(qū)高考 的命題情況來(lái)看，近兩年數(shù)學(xué)解答題主要涉及三角函數(shù)的 圖象性質(zhì)與三角變換、概率與統(tǒng)計(jì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾 何、數(shù)列、不等式、解析幾何等，總計(jì) 80分在高考考場(chǎng) 上，能否做好解答題，是高考成敗的關(guān)鍵 因此，在高考備考中，學(xué)會(huì)怎樣解題是一項(xiàng)重要內(nèi) 容本節(jié)以著名數(shù)學(xué)家波利亞的 怎樣解題 為理 論依據(jù)，結(jié)合具體的題目類型，分析解答數(shù)學(xué)解答
2、題的一般思維過(guò)程、解題步驟和答題格式 題型 1 三角函數(shù)的性質(zhì)與求值 Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 例 1 已知函數(shù) f ( x ) c o s 2 x 12 ， g ( x ) 1 1 2 s in 2 x . ( 1) 設(shè) x x 0 是函數(shù) y f ( x ) 圖象的一條對(duì)稱軸 ， 求 g (x 0 ) 的值 ( 2) 求函數(shù) h ( x) f ( x) g( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間 從所求結(jié)論涉及不同角三角函數(shù) ， 且次數(shù)不 同來(lái)看 ， 首先利用倍角公式、兩角和與差的三角變換公 式化簡(jiǎn)為 y Asin(x )或 y Acos(x )的形式 ， 再 根據(jù)正弦或余弦函數(shù)的性質(zhì)求解 思路點(diǎn)
3、撥： Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 解題模板 解析 (1 ) 由題設(shè)知 f( x ) 1 2 1 co s 2x 6 . x x 0 是函數(shù) y f (x ) 的圖象的一條對(duì)稱軸 ， 2x 0 6 k (k Z) ， 即 2x 0 k 6 (k Z) ， g (x 0 ) 1 1 2 s i n 2 x 0 1 1 2 s i n k 6 . 當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí) ， g (x 0 ) 1 1 2 sin 6 1 1 4 3 4 ； 當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí) ， g (x 0 ) 1 1 2 sin 6 1 1 4 5 4 . Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 解析 (2 )h( x ) f( x ) g (
4、x ) 1 2 1 co s 2x 6 1 1 2 s i n 2 x 1 2 co s 2x 6 s i n 2 x 3 2 1 2 3 2 co s 2 x 1 2 s i n 2 x 3 2 1 2 sin 2x 3 3 2 . 當(dāng) 2k 2 2x 3 2k 2 (k Z) ， 即 k 5 12 x k 12 (k Z) 時(shí) ， 函數(shù) h (x ) 1 2 s i n 2x 3 3 2 是增函數(shù) . 函數(shù) h (x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 k 5 12 ， k 12 (k Z) Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 方法歸納 【 解題步驟 】 第一步：將函數(shù) f( x ) 化簡(jiǎn)為： f (x )
5、1 2 1 c o s 2x 6 . 第二步：由條件求 2x 0 的值 ， 進(jìn)而求 g (x 0 ). 第三步：運(yùn)用三角變換公式化簡(jiǎn) h ( x ) 為正弦型函數(shù) . 第四步：由 s i n x ， c o s x 的單調(diào)性 ， 將 “ x ” 看作 一個(gè)整體 ， 轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題 . 第五步：明確規(guī)范 ， 表達(dá)結(jié)論 ， 反思回顧 ， 查看關(guān)鍵點(diǎn)、 易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范 . Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 【 名師心語(yǔ) 】 (1)本題在求解中靈活運(yùn)用二倍角的余弦公式，兩 角和的正、余弦公式，還引入輔助角，技巧性強(qiáng)，并考 查正余弦函數(shù)的性質(zhì)，是歷年的重點(diǎn) . (2)本題易錯(cuò)點(diǎn)： 想不到引入輔助角；
6、忽視在求 g(x0)時(shí)，討論 k的奇偶性 . Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 題型 2 立體幾何中線 、 面平行與垂直 例 2 如圖所示，四邊形 ABCD為矩形， AD 平面 ABE， AE EB BC，點(diǎn) F為 CE上的點(diǎn)，且 BF 平面 ACE. (1)求證： AE BE. (2)設(shè)點(diǎn) M在線段 AB上，且滿足 AM 2MB.試在線 段 CE上確定一點(diǎn) N，使得 MN 平面 DAE. Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 (1)通過(guò)線面垂直證明線線垂直 (2)這 是一道探索性問(wèn)題 ， 先確定點(diǎn) N的位置 ， 再進(jìn)行證 明 ， 要注意解題的方向性 ， 通過(guò)尋找到的條件 ， 證 明 MN 平面 DAE成
7、立 思路點(diǎn)撥： Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 解題模板 解析 (1 ) 證明 ： AD 平面 A BE ， AD BC ， BC 平面 A BE ， 則 AE BC . 又 BF 平面 ACE ， AE BF ， 又 BC 、 BF 平面 B C E ， BC BF B ， AE 平面 BC E ， 又 BE 平面 BC E ， AE BE. Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 ( 2) 在 AB E 中 ， 過(guò)點(diǎn) M 作 MG AE 交 BE 于點(diǎn) G ， 在 BEC 中 ， 過(guò)點(diǎn) G 作 GN BC 交 EC 于點(diǎn) N ， 連接 M N. 由比例關(guān)系 ， 易得 CN 1 3 CE . MG AE
8、 ， MG 平面 ADE ， AE 平面 ADE ， MG 平面 ADE . 同理 ， GN 平面 ADE . 又 GN MG G ， 平面 M G N 平面 ADE . 又 MN 平面 M G N ， MN 平面 ADE . 點(diǎn) N 為線段 CE 上靠近點(diǎn) C 的一個(gè)三等分點(diǎn) Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 方法歸納 【 解題步驟 】 第一步：由線面垂直、線線平行的性質(zhì)，判定 AE 平面 BCE. 第二步：由線面垂直定義，得 AE BE. 第三步：探求出點(diǎn)的位置 . 第四步：證明符合要求 . 第五步：給出明確答案，反思回顧，查看關(guān)鍵 點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范 . Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 【
9、名師心語(yǔ) 】 (1)在書(shū)寫(xiě)格式上容易混亂、沒(méi)條理，思路不清晰 . (2)本題易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)于這類探索性問(wèn)題找不到切入 口，入手難 . (3)本題要確定點(diǎn) N，使得 MN 平面 DAE，我們往 往是利用平行確定出點(diǎn) N，然后再去證明結(jié)論成立 . Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 題型 3 數(shù)列中 an與 Sn的關(guān)系 例 3 已知數(shù)列 a n 的各項(xiàng)均 為正數(shù)， S n 為其前 n 項(xiàng)和 ， 對(duì)于任意的 n N * ， 滿足關(guān)系式 2S n 3a n 3. ( 1) 求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式 ( 2) 設(shè)數(shù)列 b n 的通項(xiàng)公式是 b n 1 lo g 3 a n lo g 3 a n 1 ， 前 n
10、項(xiàng)和為 T n .求證：對(duì)于任意的正整數(shù) n ， 總有 T n 1. 思路點(diǎn)撥： (1)從 an與 Sn的關(guān)系入手 ， 考察 an Sn Sn 1(n 2)， 可求數(shù)列 an的通項(xiàng) (2)利用裂項(xiàng)相消 法求和 ， 求 Tn， 達(dá)到證明目的 Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 解析 解題模板 (1) 當(dāng) n 1時(shí) ， 由 2Sn 3an 3， 得 2a1 3a1 3， a1 3. 當(dāng) n 2時(shí) ， 由 2Sn 3an 3， 得 2Sn 1 3an 1 3. 兩式相減 ， 得 2(Sn Sn 1) 3an 3an 1， 即 2an 3an 3an 1. an 3an 1. 又 a1 3 0， an是首項(xiàng)
11、為 3， 公比為 3的等比數(shù)列 ， an 3n， an的通項(xiàng)公式為 an 3n. Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 ( 2) 證明： b n 1 lo g 3 a n lo g 3 a n 1 1 lo g 3 3 n lo g 3 3 n 1 1 （ n 1 ） n 1 n 1 n 1 ， T n b 1 b 2 b n 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 1 1 n 1 1. 故對(duì) n N * ， 總有 T n 1. Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 方法歸納 【 解題步驟 】 第一步：當(dāng) n 2 時(shí) ， a n S n S n 1 ， 求 a n 與 a n 1 的遞推關(guān)系 ， 轉(zhuǎn)化
12、為特殊數(shù)列 . 第二步：求 a 1 ， 檢驗(yàn) ， 求得通項(xiàng)公式 . 第三步：將 b n 1 n （ n 1 ） 1 n 1 n 1 裂項(xiàng) ， 求出 T n . 第四步：寫(xiě)出明確、規(guī)范的答案 ， 反思回顧；查看關(guān) 鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范 . Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 【 名師心語(yǔ) 】 (1)數(shù)列中 an與 Sn的關(guān)系，等比 (差 )數(shù)列的通項(xiàng)與 求和是歷年高考的考查重點(diǎn) . (2)本題易錯(cuò)有兩點(diǎn)： 忽視對(duì) n 1和 n2分兩類 進(jìn)行討論；部分學(xué)生變形能力差，無(wú)法求和，導(dǎo)致 證明 Tn0這一隱含條件，第 (2)題中缺乏分類討論 的思想意識(shí)，忽略直線 AB與 x軸垂直的情況 (3)以向量為載體，
13、創(chuàng)新考查探索性問(wèn)題，應(yīng)引起 高度重視 . Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 題型 6 函數(shù)的單調(diào)性 、 極值與最值問(wèn)題 例 6 已知函數(shù) f ( x ) 2ax a 2 1 x 2 1 (x R) ， 其中 a R . ( 1) 當(dāng) a 1 時(shí) ， 求曲線 y f ( x ) 在點(diǎn) (2 ， f ( 2) ) 處的切線 方程 ( 2) 當(dāng) a 0 時(shí) ， 求函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間與極值 Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 ( 1) 已知解析式和切點(diǎn)求切線方程 ， 先求斜率 ， 用點(diǎn)斜式方程求切線方程 ( 2) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解題步驟： 求導(dǎo) 求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn) 確定導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間中 的正負(fù)
14、 確定函數(shù)在區(qū)間中的單調(diào)性 思路點(diǎn)撥： Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 解析 (1 ) 當(dāng) a 1 時(shí) ， f ( x ) 2x x 2 1 ， f ( 2 ) 4 5 . 又 f( x ) 2 （ x 2 1 ） 2 x 2 x （ x 2 1 ） 2 2 2x 2 （ x 2 1 ） 2 ， f (2 ) 6 25 ， 曲線 y f( x ) 在點(diǎn) (2 ， f (2 ) 處的切線方程為 y 4 5 6 25 (x 2) ， 即 6x 25y 32 0. 【 解題模版 】 Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 (2 )f( x ) 2a （ x 2 1 ） 2x （ 2 a x a 2 1 ） （
15、x 2 1 ） 2 2 （ x a ）（ ax 1 ） （ x 2 1 ） 2 . 由于 a 0 ， 以下分兩種情況討論： 當(dāng) a 0 ， 令 f( x ) 0 ， 得 x 1 1 a ， x 2 a. 當(dāng) x 變化時(shí) ， f ( x ) ， f ( x ) 的變化情況見(jiàn)下表： x ， 1 a 1 a 1 a ， a a (a ， ) f(x ) 0 0 f (x ) 極小值 極大值 Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 f ( x ) 在區(qū)間 ， 1 a ， (a ， ) 內(nèi)為減函數(shù) ， 在區(qū)間 1 a ， a 內(nèi)為增函數(shù) . 函數(shù) f (x ) 在 x 1 1 a 處取得極小值 f 1 a ， 且
16、 f 1 a a 2 . 函數(shù) f (x ) 在 x 2 a 處取得極大值 f( a ) ， 且 f( a ) 1. 當(dāng) a 0 時(shí) ，令 f ( x ) 0 ， 得到 x 1 a ， x 2 1 a . 當(dāng) x 變化時(shí) ， f ( x ) ， f ( x ) 的變化情況見(jiàn)下表： Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 x ( ， a ) a a ， 1 a 1 a 1 a ， f ( x ) 0 0 f(x) 極大值 極 小值 f ( x ) 在區(qū)間 ( ， a ) ， 1 a ， 內(nèi)為增函數(shù) ， 在區(qū)間 a ， 1 a 內(nèi)為減函數(shù) . 函數(shù) f (x ) 在 x 1 a 處取得極大值 f( a )
17、， 且 f( a ) 1. 函數(shù) f (x ) 在 x 2 1 a 處取得極小值 f 1 a ， 且 f 1 a a 2 . Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 【 解題步驟 】 第一步：由導(dǎo)數(shù)幾何意義，求切線方程 . 第二步：求 f(x)的導(dǎo)數(shù) f(x). 第三步：求方程 f(x) 0的根 . 第四步：利用 f(x) 0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的 x的值按 從小到大的順序?qū)⒍x域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列 出表格 . 第五步：由 f(x)在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷 f(x) 在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性 . 第六步：明確、規(guī)范地表述結(jié)論，反思回顧，查 看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范 . Z 重 點(diǎn) 方 法 講 解 【名師心語(yǔ)】 (1 ) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的單調(diào)性與極值 ， 并考查函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思 想 . (2 ) 本題中 f (x) 0 的根為 x 1 1 a ， x 2 a. 要確定 x 1 ， x 2 的大小 ， 就必須對(duì) a 的正、負(fù)進(jìn)行分類討論 ， 這就是本 題的關(guān)鍵點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn) . (3 ) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) ， 這是歷年高考的重點(diǎn) ， 求 解時(shí)要養(yǎng)成好的解題習(xí)慣 ， 規(guī)范答題 .
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