分片實(shí)驗(yàn)與有限元法

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1、分片實(shí)驗(yàn)與有限元法 摘要：本文提出分片試驗(yàn)在有限元法中有著重要的作用，它是近代有限元發(fā)展的一個(gè)主要特色。得出分片試驗(yàn)對位移函數(shù)和應(yīng)變函數(shù)的要求，這些要求便是一個(gè)好的有限元法所應(yīng)保證的；分析了幾何方程弱形式與分片試驗(yàn)的關(guān)系，借此分析了雜交元、擬協(xié)調(diào)元如何滿足這些要求，以及在滿足這些要求的同時(shí)產(chǎn)生的對其他條件的影響；分析了精化直接剛度法、廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法如何保證分片試驗(yàn)的滿足；最后作為位移條件的應(yīng)用例子，改進(jìn)了BCIZ元。關(guān)鍵詞：分片試驗(yàn)，弱形式，網(wǎng)線函數(shù)，有限元法 1 引言 連續(xù)問題極大地推動(dòng)了有限元的發(fā)展，目前，成熟的構(gòu)造單元的方法有傳

2、統(tǒng)的位移法有限元[1]、應(yīng)力雜交元[4]、雜交混合元[5]、擬協(xié)調(diào)元[2][3]、廣義協(xié)調(diào)元[6]、雙參數(shù)法[7]、精化直接剛度法[8]等多種。有些方法在上已有證明，但這些方法的更為完善的證明仍是一個(gè)課題，而且其數(shù)學(xué)證明還很難被研究力學(xué)的人們所理解。人們?nèi)员容^普遍以事后的分片試驗(yàn)來驗(yàn)證單元的收斂性。盡管當(dāng)前仍有對分片試驗(yàn)的討論，但以往的大量實(shí)踐說明：通過分片試驗(yàn)的單元使用起來是令人放心的。通過分片試驗(yàn)是絕大多數(shù)有限元分析方法的共同點(diǎn)，近期有限元的發(fā)展可以說是以分片試驗(yàn)為一個(gè)主要內(nèi)涵的發(fā)展。 眾所周知，分片試驗(yàn)是與單元間的位移協(xié)調(diào)性密切相關(guān)的。人們在進(jìn)行有限元分析時(shí)，不可避免的涉及了單元

3、間的協(xié)調(diào)關(guān)系，這種協(xié)調(diào)關(guān)系與兩個(gè)單元有關(guān)，文[4][5]采用了單元邊界上的的位移插值函數(shù)，文[9]把這種位移插值函數(shù)成為“網(wǎng)線函數(shù)”。正式這種所謂的“網(wǎng)線函數(shù)”的采用，單元間的協(xié)調(diào)問題可以在單元內(nèi)獨(dú)立考慮。目前成功解決 連續(xù)問題的有限元法均有意或無意地使用了這種網(wǎng)線函數(shù)。本文通過網(wǎng)線函數(shù)給出了分片試驗(yàn)對應(yīng)變和位移的要求。 目前對各種有限元法分析的方法均是在單元一級上采用變分原理，從而得到單元的應(yīng)變（或應(yīng)力）的，由結(jié)點(diǎn)位移為參數(shù)表達(dá)的表達(dá)式，再把它們代入最小勢能原理得到剛度陣。各種有限元法在得到應(yīng)變（或應(yīng)力）的做法上不同，好的有限元法得到的應(yīng)變表達(dá)式已滿足了通過分片實(shí)驗(yàn)所應(yīng)滿足的條件。

4、 2 分片的要求 因有限元法最終列出的是勢能的方程，因此分片試驗(yàn)可以看作：在常應(yīng)變情況下，位移的不協(xié)調(diào)部分對勢能無貢獻(xiàn)，在薄板彎曲問題中，可如下表達(dá)： (1) 其中,A：單元域， 為位移的不協(xié)調(diào)部分,有： (2) 為位移， 為位移的協(xié)調(diào)部分。 方程(1)可以理解為：在常內(nèi)力情況下，不協(xié)調(diào)位移對應(yīng)變能無貢獻(xiàn)。把(2)式代入方程(1) (3) 對(3)式中的 項(xiàng)應(yīng)用格林公式，并應(yīng)用坐標(biāo)變換公式： (4) 其中 、 分別為位移協(xié)調(diào)部分在單元邊界的法向和切向的導(dǎo)數(shù)，即為文中的網(wǎng)線函數(shù)， 、 為單元邊界外法

5、線的方向余弦。對含 的項(xiàng)再分步積分得： （ >r時(shí) ）(5) r表示單元的邊數(shù)， 表示結(jié)點(diǎn)的位移參數(shù)。對(3)中的含 項(xiàng)也進(jìn)行分步積分并整理有： (6) 同樣，對 項(xiàng)再分步積分得： (7) ai、bi、ci為由各邊的nx與ny組成的參數(shù)， 表示位移函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的值。 (4)、(5)、(6)、(7)便是通過分片檢驗(yàn)所需滿足的方程。 (4)、(5)是從應(yīng)變的角度反映了分片試驗(yàn)對單元的要求，這里稱之為應(yīng)變約束條件；(6)、(7)是從位移的角度反映了分片試驗(yàn)對單元的要求，這里稱之為位移約束條件。成熟的有限元法都自覺或不自覺地應(yīng)用

6、了這些條件。 傳統(tǒng)的位移法構(gòu)造的協(xié)調(diào)元自動(dòng)滿足了上述各式，下面對其它有限元分析方法進(jìn)行分類分析。 3 使用應(yīng)變約束的有限元法 方程(4)、(5)是對應(yīng)變的要求，沒有涉及剛體位移，同時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變之間只有一個(gè)線性關(guān)系，所以，假設(shè)應(yīng)變或應(yīng)力的有限元法都應(yīng)滿足這兩個(gè)方程。 方程(4)、(5)表達(dá)的是應(yīng)變與位移之間的關(guān)系，它們必然與彈性力學(xué)的幾何方程： (8) 有著密切的關(guān)系。把幾何方程(3.1)寫成弱形式： (9) 、 、 為權(quán)函數(shù)，應(yīng)用兩次格林公式變換上述方程： (10) 在上式中，單元邊界上的 、 、 分別以它們對應(yīng)

7、的網(wǎng)線函數(shù) 、 、 代替： (11) 如果方程(11)中 、 、 是應(yīng)力的變分，即滿足了齊次的平衡方程： (12) 則方程(12)變?yōu)椋? (13) 此即為薄板彎曲問題在單元上的最小余能原理的變分方程。 方程(11)與(13)便是連續(xù)性方程弱形式中的兩個(gè)典型形式。在方程(11)與(13)中當(dāng) 、 、 分別取常數(shù)，另兩個(gè)為零時(shí)，便可得到方程(4)或(5)，即符合分片試驗(yàn)的要求。 擬協(xié)調(diào)元與雜交混合元便是采用方程(11)對應(yīng)變或應(yīng)力進(jìn)行離散，而應(yīng)力雜交元采用的是(13)式。不同的是應(yīng)力雜交元與雜交混合元是由假設(shè)應(yīng)力出發(fā)，而

8、擬協(xié)調(diào)元是由假設(shè)應(yīng)變?nèi)胧?。而?yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系只是一個(gè)線性變換，如果應(yīng)力與應(yīng)變設(shè)在同一空間，僅是設(shè)應(yīng)力與設(shè)應(yīng)變的不同是不會(huì)影響最終結(jié)果的。 從方程(11)與(13)的來源(9)式可以看出，幾類單元中的應(yīng)變（或應(yīng)力）只在較弱的意義上滿足相容方程。因平衡方程與連續(xù)性方程是一對對偶的微分方程組，有限元法中已經(jīng)使用了平衡方程的弱形式—最小勢能原理，這里使用了連續(xù)性方程的弱形式也許更為合理?？梢则?yàn)證，單元應(yīng)變滿足相容條件的強(qiáng)形式與弱形式對單元的精度一般影響不大。 由以上討論可見，在有限元分析中選常數(shù)作檢驗(yàn)函數(shù)是保證單元通過分片檢驗(yàn)的關(guān)鍵。而這一點(diǎn)在以上提到的三種有限元法中都能自然得到滿足。

9、構(gòu)造三角形單元時(shí)，常取面積坐標(biāo)作為檢驗(yàn)函數(shù)基，因三個(gè)面積坐標(biāo)之和為1，固在離散每個(gè)應(yīng)變時(shí)，檢驗(yàn)函數(shù)應(yīng)取遍三個(gè)面積坐標(biāo)，這樣便保證了檢驗(yàn)函數(shù)為常數(shù)時(shí)式(5)或(6)成立。 精化直接剛度法雖然從設(shè)位移出發(fā)，但又對應(yīng)變矩陣進(jìn)行了修正。以下討論其應(yīng)變的改進(jìn)作用。 在方程(4)的兩邊同時(shí)除以單元的面積 ，變?yōu)椋? (14) 上式表達(dá)了單元的平均應(yīng)變所應(yīng)滿足的方程。可把上式寫成如下矩陣形式： (15) 其中 與文[7]中相一致， 為結(jié)點(diǎn)參數(shù)矢量。一般的有限元法得到的應(yīng)變表達(dá)式： (16) 其單元的平均應(yīng)變： (17) 不一定滿

10、足式(14)，因此把平均應(yīng)變進(jìn)行修正，即換成式(18)中表達(dá)的所需形式，修正后的應(yīng)變陣為： (18) 這樣便保證了單元能夠通過分片檢驗(yàn)。此外，得到 時(shí)還可使用(6)式，從而得到與式(14)不盡相同的形式。 因此，可以說精化直接剛度法是通過修正單元的平均應(yīng)變，使其通過分片試驗(yàn)的有限元分析方法。精化直接剛度法實(shí)施起來是巧妙而方便的。 4 使用位移約束的有限元法 使用位移約束方程的方式有兩種：第一種是位移的廣義參數(shù)的個(gè)數(shù)不增加，改變以往的采用結(jié)點(diǎn)參數(shù)確定各廣義參數(shù)的方法，廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法便是采用這種方法；第二種方法是采用增加位移中的廣義參數(shù)的做法。此外兩種做法也可

11、混合使用。 4.1 廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法 方程(6)、(7)反映了分片檢驗(yàn)對位移函數(shù)的要求，與其相應(yīng)的有限元法是廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法。從(6)、(7)可以看出，若使單元通過分片檢驗(yàn)，則應(yīng)包含條件： 或 （i=1,…,r）(19) 廣義協(xié)調(diào)元與雙參數(shù)法在確定位移廣義參數(shù)的時(shí)候包含上述方程。這兩種有限元法得到的位移插值函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的表達(dá)不一定精確，有時(shí)會(huì)有一個(gè)高階小量的誤差。而邊界位移條件是直接由結(jié)點(diǎn)位移表示的，因此在做分片檢驗(yàn)時(shí)會(huì)有一定的誤差，即不很準(zhǔn)確地通過分片檢驗(yàn)。這一點(diǎn)可由文[8]中的算例看出。 對于某些特殊形狀的單元來說，方程(19)只是方程(6)和(7)的充分條件，非必要條件，這一點(diǎn)可以從十二參矩形單元中看出。眾所周知，矩形薄板單元不滿足 連續(xù)，可以驗(yàn)證它同樣不滿足(19)式。但這種單元能通過分片試驗(yàn)而且計(jì)算精度較高，其原因是它滿足方程(6)和(7)。 4.2 增加位移中的廣義參數(shù)