有限元分析理論基礎(chǔ)

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1、有限元分析概念 有限元法：把求解區(qū)域看作由許多小的在節(jié)點(diǎn)處相互連接的單元（子域）所構(gòu)成，其模型給出基本方程的分片（子域）近似解，由于單元（子域）可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀、復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件 有限元模型：它是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。 有限元分析：是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。并利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。 線彈性有限元是以理想彈性體為研究對(duì)象的，所考慮的變形建立在小變形假設(shè)的

2、基礎(chǔ)上。在這類問題中，材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，滿足廣義胡克定律；應(yīng)力與應(yīng)變也是線性關(guān)系，線彈性問題可歸結(jié)為求解線性方程問題，所以只需要較少的計(jì)算時(shí)間。如果采用高效的代數(shù)方程組求解方法，也有助于降低有限元分析的時(shí)間。 線彈性有限元一般包括線彈性靜力學(xué)分析與線彈性動(dòng)力學(xué)分析兩方面。 非線性問題與線彈性問題的區(qū)別： 1）非線性問題的方程是非線性的，一般需要迭代求解； 2）非線性問題不能采用疊加原理； 3）非線性問題不總有一致解，有時(shí)甚至沒有解。 有限元求解非線性問題可分為以下三類： 1）材料非線性問題 材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線性的，但應(yīng)力與應(yīng)變卻很微小，此時(shí)應(yīng)變與位移呈線性關(guān)系，這

3、類問題屬于材料的非線性問題。由于從理論上還不能提供能普遍接受的本構(gòu)關(guān)系，所以，一般材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系要基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，有時(shí)非線性材料特性可用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬，盡管這些模型總有他們的局限性。在工程實(shí)際中較為重要的材料非線性問題有：非線性彈性（包括分段線彈性）、彈塑性、粘塑性及蠕變等。 2）幾何非線性問題 幾何非線性問題是由于位移之間存在非線性關(guān)系引起的。 當(dāng)物體的位移較大時(shí)，應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性關(guān)系。研究這類問題一般都是假定材料的應(yīng)力和應(yīng)變呈線性關(guān)系。它包括大位移大應(yīng)變及大位移小應(yīng)變問題。如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問題屬于大位移小應(yīng)變問題，橡膠部件形成過程為大應(yīng)變問題。 3）非線性

4、邊界問題 在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接觸邊界屬于高度非線性邊界。 平時(shí)遇到的一些接觸問題，如齒輪傳動(dòng)、沖壓成型、軋制成型、橡膠減振器、緊配合裝配等，當(dāng)一個(gè)結(jié)構(gòu)與另一個(gè)結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時(shí)通常要考慮非線性邊界條件。 實(shí)際的非線性可能同時(shí)出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。 有限元理論基礎(chǔ) 　　有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離

5、散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。 1.加權(quán)余量法： 是指采用使余量的加權(quán)函數(shù)為零求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。（Weighted residual method WRM）是一種直接從所需求解的微分方程及邊界條件出發(fā)，尋求邊值問題近似解的數(shù)學(xué)方法。加權(quán)余量法是求解微分方程近似解的一種有效的方法。 設(shè)問題的控制微分方程為: 在V域內(nèi) 在S邊界上 式中 : L、B——分別為微分方程和邊界條件中的微分算子； f、g ——為與未知函數(shù)u無關(guān)的已知函數(shù)域值； u——為問題待求的未知函數(shù) 混合法對(duì)于試函數(shù)的選取

6、最方便，但在相同精度條件下，工作量最大。對(duì)內(nèi)部法和邊界法必須使基函數(shù)事先滿足一定條件，這對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析往往有一定困難，但試函數(shù)一經(jīng)建立，其工作量較小。 無論采用何種方法，在建立試函數(shù)時(shí)均應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： (1)試函數(shù)應(yīng)由完備函數(shù)集的子集構(gòu)成。已被采用過的試函數(shù)有冪級(jí)數(shù)、三角級(jí)數(shù)、樣條函數(shù)、貝賽爾函數(shù)、切比雪夫和勒讓德多項(xiàng)式等等。 (2)試函數(shù)應(yīng)具有直到比消除余量的加權(quán)積分表達(dá)式中最高階導(dǎo)數(shù)低一階的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性。 (3)試函數(shù)應(yīng)與問題的解析解或問題的特解相關(guān)聯(lián)。若計(jì)算問題具有對(duì)稱性，應(yīng)充分利用它。 顯然，任何獨(dú)立的完全函數(shù)集都可以作為權(quán)函數(shù)。按照對(duì)權(quán)函數(shù)的不同選擇得到不同

7、的加權(quán)余量計(jì)算方法，主要有：配點(diǎn)法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽遼金法。其中伽遼金法的精度最高。 2、虛功原理 ——平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式 虛功原理包含虛位移原理和虛應(yīng)力原理，是虛位移原理和虛應(yīng)力原理的總稱。他們都可以認(rèn)為是與某些控制方程相等效的積分“弱”形式。虛功原理：變形體中任意滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。 虛位移原理是平衡方程和力的邊界條件的等效積分的“弱”形式； 虛應(yīng)力原理是幾何方程和位移邊界條件的等效積分“弱”形式。 虛位移原

8、理的力學(xué)意義：如果力系是平衡的，則它們?cè)谔撐灰坪吞搼?yīng)變上所作的功的總和為零。反之，如果力系在虛位移（及虛應(yīng)變）上所作的功的和等于零，則它們一定滿足平衡方程。所以，虛位移原理表述了力系平衡的必要而充分條件。一般而言，虛位移原理不僅可以適用于線彈性問題，而且可以用于非線性彈性及彈塑性等非線性問題。 虛應(yīng)力原理的力學(xué)意義：如果位移是協(xié)調(diào)的，則虛應(yīng)力和虛邊界約束反力在他們上面所作的功的總和為零。反之，如果上述虛力系在他們上面所作的功的和為零，則它們一定是滿足協(xié)調(diào)的。所以，虛應(yīng)力原理表述了位移協(xié)調(diào)的必要而充分條件。 虛應(yīng)力原理可以應(yīng)用于線彈性以及非線性彈性等不同的力學(xué)問題。但是必須指出，無論是虛位移

9、原理還是虛應(yīng)力原理，他們所依賴的幾何方程和平衡方程都是基于小變形理論的，他們不能直接應(yīng)用于基于大變形理論的力學(xué)問題。 3、最小總勢(shì)能法 應(yīng)變能：作用在物體上的外載荷會(huì)引起物體變形，變形期間外力所做的功以彈性能的形式儲(chǔ)存在物體中，即為應(yīng)變能。 由n個(gè)單元和m個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的物體的總勢(shì)能為總應(yīng)變能和外力所做功的差： 最小勢(shì)能原理：對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，相對(duì)于平衡位置發(fā)生的位移總會(huì)使系統(tǒng)的總勢(shì)能最小，即： ，i=1,2,3,……,n 有限元法的收斂性 有限元法是一種數(shù)值分析方法，因此應(yīng)考慮收斂性問題。 有限元法的收斂性是指：當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單

10、元尺寸固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。 有限元的收斂條件包括如下四個(gè)方面： 1）單元內(nèi)，位移函數(shù)必須連續(xù)。多項(xiàng)式是單值連續(xù)函數(shù)，因此選擇多項(xiàng)式作為位移函數(shù)，在單元內(nèi)的連續(xù)性能夠保證。 2）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。每個(gè)單元的應(yīng)變狀態(tài)總可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點(diǎn)位置的常應(yīng)變和由各點(diǎn)位置決定的變量應(yīng)變。當(dāng)單元的尺寸足夠小時(shí)，單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，單元的變形比較均勻，因而常應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。為反映單元的應(yīng)變狀態(tài)，單元位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。 3）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。一般情況下，單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移包括形變位移和剛體位移兩

11、部分。形變位移與物體形狀及體積的改變相聯(lián)系，因而產(chǎn)生應(yīng)變；剛體位移只改變物體位置，不改變物體的形狀和體積，即剛體位移是不產(chǎn)生變形的位移?？臻g一個(gè)物體包括三個(gè)平動(dòng)位移和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移，共有六個(gè)剛體位移分量。 由于一個(gè)單元牽連在另一些單元上，其他單元發(fā)生變形時(shí)必將帶動(dòng)單元做剛體位移，由此可見，為模擬一個(gè)單元的真實(shí)位移，假定的單元位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。 4）位移函數(shù)在相鄰單元的公共邊界上必須協(xié)調(diào)。對(duì)一般單元而言，協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處有相同的位移，而且沿單元邊界也有相同的位移，也就是說，要保證不發(fā)生單元的相互脫離開裂和相互侵入重疊。要做到這一點(diǎn)，就要求函數(shù)在公共邊界上能由公共節(jié)點(diǎn)的函

12、數(shù)值唯一確定。對(duì)一般單元，協(xié)調(diào)性保證了相鄰單元邊界位移的連續(xù)性。 但是，在板殼的相鄰單元之間，還要求位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，只有這樣，才能保證結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能是有界量。 總的說來，協(xié)調(diào)性是指在相鄰單元的公共邊界上滿足連續(xù)性條件。 前三條又叫完備性條件，滿足完備條件的單元叫完備單元；第四條是協(xié)調(diào)性要求，滿足協(xié)調(diào)性的單元叫協(xié)調(diào)單元；否則稱為非協(xié)調(diào)單元。完備性要求是收斂的必要條件，四條全部滿足，構(gòu)成收斂的充分必要條件。 在實(shí)際應(yīng)用中，要使選擇的位移函數(shù)全部滿足完備性和協(xié)調(diào)性要求是比較困難的，在某些情況下可以放松對(duì)協(xié)調(diào)性的要求。 需要指出的是，有時(shí)非協(xié)調(diào)單元比與它對(duì)應(yīng)的協(xié)調(diào)單元還要好，其原因在于近似

13、解的性質(zhì)。假定位移函數(shù)就相當(dāng)于給單元施加了約束條件，使單元變形服從所加約束，這樣的替代結(jié)構(gòu)比真實(shí)結(jié)構(gòu)更剛一些。但是，這種近似結(jié)構(gòu)由于允許單元分離、重疊，使單元的剛度變軟了，或者形成了（例如板單元在單元之間的繞度連續(xù)，而轉(zhuǎn)角不連續(xù)時(shí)，剛節(jié)點(diǎn)變?yōu)殂q接點(diǎn)）對(duì)于非協(xié)調(diào)單元，上述兩種影響有誤差相消的可能，因此利用非協(xié)調(diào)單元有時(shí)也會(huì)得到很好的結(jié)果。在工程實(shí)踐中，非協(xié)調(diào)元必須通過“小片試驗(yàn)后”才能使用。 應(yīng)力的單元平均或節(jié)點(diǎn)平均處理方法 最簡單的處理應(yīng)力結(jié)果的方法是取相鄰單元或圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng)力的平均值。 ? 1.取相鄰單元應(yīng)力的平均值 這種方法最常用于3節(jié)點(diǎn)三角形單元中。這種最簡單而又相當(dāng)實(shí)用

14、的單元得到的應(yīng)力解在單元內(nèi)是常數(shù)?？梢詫⑵淇醋魇菃卧獌?nèi)應(yīng)力的平均值，或是單元形心處的應(yīng)力。由于應(yīng)力近似解總是在精確解上下振蕩，可以取相鄰單元應(yīng)力的平均值作為此兩個(gè)單元合成的較大四邊形單元形心處的應(yīng)力。 如2單元的情況下，取平均應(yīng)力可以采用算術(shù)平均， 即平均應(yīng)力=（單元1的應(yīng)力+單元2的應(yīng)力）/2。 也可以采用精確一些的面積加權(quán)平均， 即平均應(yīng)力=[單元1應(yīng)力 單元1的面積+單元2應(yīng)力 單元2面積]/（單元1面積+單元2面積） 當(dāng)相鄰兩單元面積相差不大時(shí)，兩者的結(jié)果基本相同。在單元?jiǎng)澐謺r(shí)應(yīng)避免相鄰兩單元的面積相差太多，從而使求解的誤差相近。 一般而言，3節(jié)點(diǎn)三角形單元的最佳應(yīng)力點(diǎn)是單

15、元的中心點(diǎn)，此點(diǎn)的應(yīng)力具有1階的精度。 ? 2.取圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng)力的平均值 首先計(jì)算圍繞該節(jié)點(diǎn)（i）周圍的相關(guān)單元在該節(jié)點(diǎn)出的應(yīng)力值 ，然后以他們的平均值作為該節(jié)點(diǎn)的最后應(yīng)力值 ，即 其中，1~m是圍繞在i節(jié)點(diǎn)周圍的全部單元。取平均值時(shí)也可進(jìn)行面積加權(quán)。 有限元法求解問題的基本步驟 1.結(jié)構(gòu)離散化 對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，將其分割成若干個(gè)單元，單元間彼此通過節(jié)點(diǎn)相連； 2.求出各單元的剛度矩陣[K](e) [K](e)是由單元節(jié)點(diǎn)位移量{Φ}(e)求單元節(jié)點(diǎn)力向量{F}(e)的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e) 3.集成總體剛度矩

16、陣[K]并寫出總體平衡方程： 總體剛度矩陣[K]是由整體節(jié)點(diǎn)位移向量{Φ}求整體節(jié)點(diǎn)力向量 的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為{F}= [K] {Φ}，此即為總體平衡方程。 4.引入支撐條件，求出各節(jié)點(diǎn)的位移 節(jié)點(diǎn)的支撐條件有兩種：一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為零，另一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為一給定值。 5.求出各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變。 對(duì)于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為: (1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。 (2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為

17、若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。 (3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。 (4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各

18、節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。 (5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件， 一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。 (7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。 單元?jiǎng)偠染仃?/p>

19、的特性 單元?jiǎng)偠染仃嚐o論在局部坐標(biāo)系中還是在整體坐標(biāo)系中都具有相同的三個(gè)特性： 1）對(duì)稱性 由材料力學(xué)中的位移互等定理可知，對(duì)一個(gè)構(gòu)件，作用在點(diǎn)j的力引起點(diǎn)i的繞度等于有同樣大小而作用于點(diǎn)i的力引起的點(diǎn)j的繞度，即kij(e) = kji(e)，表明單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對(duì)稱矩陣。 2） 奇異性 無逆陣的矩陣就叫做奇異矩陣，其行列式的值為0，即|k(e)|=0，這一點(diǎn)可以從例題直接得到驗(yàn)證。其物理意義是引入支撐條件之前，單元可平移。 3） 分塊性 有前面所講的內(nèi)容可以看出，矩陣[k(e)]可以用虛線分成四塊，因此可寫成如下的分塊形式， 式中kmn(e)——局部坐標(biāo)系中單

20、元(e)按局部碼標(biāo)記的節(jié)點(diǎn)m、n之間的剛度子矩陣 剛架結(jié)構(gòu)中非節(jié)點(diǎn)載荷的處理的方法 在剛架結(jié)構(gòu)以及其他較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)上，他們所受的載荷可以直接作用在節(jié)點(diǎn)上，又可以不直接作用在節(jié)點(diǎn)上而作用于單元節(jié)點(diǎn)間的其他位置上。后一種情況下的載荷稱為非節(jié)點(diǎn)載荷。有限元分析時(shí)，總體剛度方程中所用到的力向量 是節(jié)點(diǎn)力向量。因此在進(jìn)行整體分析前應(yīng)當(dāng)進(jìn)行載荷的移植，將作用于單元上的力移植到節(jié)點(diǎn)上。移植時(shí)按靜力等效的原則進(jìn)行。 處理非節(jié)點(diǎn)載荷一般可直接在整體坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，其過程為： 1）將各桿單元看成一根兩端固定的梁，分別求出兩個(gè)固定端的約束反力。其結(jié)果可直接利用材料力學(xué)的公式求得； 2）將各固定端

21、的約束反力變號(hào)，按節(jié)點(diǎn)進(jìn)行集成，獲得各節(jié)點(diǎn)的等效載荷 總體剛度矩陣的集成法 使用剛度矩陣獲得的方法獲得總體剛度矩陣。在此將其擴(kuò)展到由整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚨淖泳仃嚰煽傮w剛度矩陣。步驟如下： 1）對(duì)一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，將總體剛度矩陣[K]劃分為nn各子區(qū)間，然后按節(jié)點(diǎn)總碼的順序進(jìn)行編號(hào)； 2）將整體坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃嚨母髯泳仃嚫鶕?jù)其下標(biāo)的兩個(gè)總碼對(duì)號(hào)入座，寫在總體剛度矩陣相應(yīng)的子區(qū)間； 3）同一子區(qū)間內(nèi)的子矩陣相加，成為總體剛度矩陣中的相應(yīng)的子矩陣。 總體剛度矩陣的特性 1）對(duì)稱性：因?yàn)橛纱颂匦裕谟?jì)算機(jī)中只需存儲(chǔ)其上三角部分； 2）奇異性：物理意義仍

22、為在無約束的情況下，整個(gè)結(jié)構(gòu)可做剛體運(yùn)動(dòng)； 3）稀疏性：[K]中有許多零子矩陣，而且在非零子矩陣中還有大量的零元素，這種矩陣稱為稀疏矩陣。大型結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣一般都是稀疏矩陣； 4）分塊性： 平面問題離散化時(shí)的規(guī)定 1）單元之間只在節(jié)點(diǎn)處相連； 2）所有的節(jié)點(diǎn)都為鉸接點(diǎn)； 3）單元之間的力通過節(jié)點(diǎn)傳遞； 4）外載荷都要移植到節(jié)點(diǎn)上； 5）在節(jié)點(diǎn)位移或某一分量可以不計(jì)之處，就必須在該節(jié)點(diǎn)安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。 通過以上的規(guī)定來建立平面有限元分析模型。 結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的利用規(guī)律 一般來說，作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)上的載荷系統(tǒng)分為對(duì)稱的、反對(duì)稱的和一般的三種情況。 1.

23、結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷對(duì)稱或反對(duì)稱 這種情況下，對(duì)稱面上的邊界條件可按以下規(guī)則確定： A.在不同的對(duì)稱面上，將位移分量區(qū)分為對(duì)稱分量和反對(duì)稱分量； B.將載荷也按不同的對(duì)稱面分別區(qū)分為對(duì)稱分量和反對(duì)稱分量； C.對(duì)于同一個(gè)對(duì)稱面，如載荷是對(duì)稱的，則對(duì)稱面上位移的反對(duì)稱分量為零，如載荷是反對(duì)稱的，則對(duì)稱面上位移的對(duì)稱分量為零。 如果所分析的結(jié)構(gòu)對(duì)稱，但載荷是不對(duì)稱的，也不是反對(duì)稱的，這時(shí)可以將這種結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡化成載荷為對(duì)稱和/或反對(duì)稱情況的組合，仍可以簡化分析過程，提高分析的綜合效率。 如圖a所示，結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷一般，可將其載荷分解為圖b和圖c的組合。圖b為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，載荷對(duì)x、y軸均為對(duì)稱

24、，圖c為結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷對(duì)x軸反對(duì)稱、對(duì)y軸對(duì)稱，此時(shí)可取相同的四分之一進(jìn)行研究，分別施加對(duì)稱面上節(jié)點(diǎn)的邊界條件，進(jìn)行兩次分析計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果迭加起來，即可得到原結(jié)構(gòu)四分之一的解答，進(jìn)而得出整個(gè)結(jié)構(gòu)的解答。 利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性取某一部分建立有限元模型時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生約束不足現(xiàn)象。 例如，若取上例中圖c的四分之一建立有限元時(shí)，根據(jù)上述分析，在兩對(duì)稱面上應(yīng)加水平放置的滾動(dòng)鉸支座，因此模型在垂直方向存在剛體位移。對(duì)這種約束不足問題，利用有限元分析時(shí)，必須增加附加約束，以消除模型的剛體位移。在本例中，垂直方向可以用剛度很小的桿單元或邊界彈簧單元連接到模型某節(jié)點(diǎn)上，使得既消除了模型的剛體位移，又

25、不致于因附加的桿單元或邊界彈簧單元?jiǎng)偠忍蠖绊懡Y(jié)構(gòu)原有的變形狀態(tài)。 單元形態(tài)的選擇原則 單元形態(tài)包括單元形狀、邊中節(jié)點(diǎn)的位置、細(xì)長比等，在結(jié)構(gòu)離散化過程中必須合理選擇。一般來說，為了保證有限元分析的精度，必須是單元的形態(tài)盡可能的規(guī)則。 對(duì)于三角形單元，三條邊長盡量接近，不應(yīng)出現(xiàn)大的鈍角、大的邊長。這是因?yàn)楦鶕?jù)誤差分析，應(yīng)力和位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角的正弦成反比。因而，等邊三角形單元的形態(tài)最好，它與等腰直角三角形單元的誤差之比為sin45:sin60=1:1.23。但是為了適應(yīng)彈性體邊界，以及單元由小到大逐漸過渡，不可能是所有的三角形單元都接近等邊三角形。實(shí)際上，常常使用等腰直角

26、三角形。 對(duì)于矩形單元來說，細(xì)長比不宜過大。細(xì)長比是指單元最大尺寸和最小尺寸之比。最優(yōu)細(xì)長比在很大程度上取決于不同方向上位移梯度的差別。梯度較大的方向，單元尺寸要小些，梯度小的方向，單元尺寸可以大一些；如果各方向上位移梯度大致相同，則細(xì)長比越接近1，精度越高。有文獻(xiàn)推薦，一般情況下，為了得到較好的位移結(jié)果，細(xì)長比不應(yīng)超過7；為了獲得較好的應(yīng)力結(jié)果，細(xì)長比不應(yīng)超過3。一般情況下，正方形單元的形態(tài)最好。 對(duì)于一般的四邊形單元應(yīng)避免過大的邊長比，過大的邊長比會(huì)導(dǎo)致病態(tài)的方程組。 邊界條件的確定 確定邊界條件是建立有限元模型的重要一環(huán)，合理確定有限元模型的邊界條件是成功地進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元分析

27、的基本要求。 一般情況下，建模對(duì)象的邊界條件是明確的。根據(jù)力學(xué)模型的邊界條件可以很容易確定其有限元模型的邊界條件。例如電線桿插入地基的一端為固定端，橋梁一端為固定鉸支座，另一端為滾動(dòng)較支座。 但是，在機(jī)械工程中，建模對(duì)象往往是整個(gè)結(jié)構(gòu)中的一部分，在建立有限元模型，確定其邊界條件時(shí)，必須考慮其余部分的影響。這方面主要考慮如下兩類問題。 1.邊界位置的確定 在建立連續(xù)彈性體局部區(qū)域的有限元模型時(shí)，往往取該局部區(qū)域?yàn)楦綦x體，取其隔離邊界條件為零位移約束，并通過試探校正確定零位移邊界條件的位置。例如，進(jìn)行齒輪齒有限元分析時(shí)，取一個(gè)輪齒的局部區(qū)域?yàn)楦綦x體，如圖所示，設(shè)定PQRS的邊界條件為零

28、位移約束，通過改變邊界深度PQ和邊界寬度PS研究邊界位置對(duì)齒根最大拉應(yīng)力的影響，最后確定合理的邊界條件。 2.邊界條件的確定 有些分析對(duì)象的邊界位置是零部件的連接部位。在建立有限元模型時(shí)，必須研究如何給定邊界位置上的邊界條件，以反映相連接結(jié)構(gòu)的影響。確定這種問題的邊界條件是用簡單支撐連桿替代相連接結(jié)構(gòu)的作用，使替代后結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)剛度等價(jià)于原結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)剛度。如分析機(jī)床主軸和傳動(dòng)軸時(shí)，可以利用等剛度的桿單元替代軸承和支座的作用，使軸的分析中包含有軸承和支座的影響。 單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則 當(dāng)利用整體剛度矩陣的帶狀特征進(jìn)行存貯和求解方程組時(shí)，單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)直接影響系統(tǒng)整體剛度矩陣的半帶寬

29、，也就是影響在計(jì)算機(jī)中存貯信息的多少、計(jì)算時(shí)間和計(jì)算費(fèi)用。因而，要求合理的節(jié)點(diǎn)編號(hào)使帶寬極小化。半帶寬的計(jì)算公式： 半帶寬d=（單元節(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值+1）節(jié)點(diǎn)自由度 由此，進(jìn)行網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)應(yīng)使網(wǎng)格中單元節(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值最小，這樣才能保證半帶寬最小。試比較下圖。 圖所示網(wǎng)格的四種編號(hào)方案中，單元節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)的最大差值分別為5，3，5，9。顯然，圖2方案要合理。由此得出結(jié)論：沿著短邊方向按列-列-列-列地順序編號(hào)比沿著長度方向按行-行-行-行地順序要合理（半帶寬?。? 平面問題中非節(jié)點(diǎn)載荷轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點(diǎn)載荷 由于三角形單元復(fù)雜的力學(xué)性質(zhì)，不能像分析剛架時(shí)那樣簡單地利用材料力學(xué)公

30、式來求解，而要用虛功方程將加在結(jié)構(gòu)上的非節(jié)點(diǎn)載荷轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點(diǎn)載荷。 掌握以下兩種常見的非節(jié)點(diǎn)載荷的移植結(jié)果。 1）作用在單元一條側(cè)邊上的集中力 設(shè)Q平行于x方向，如圖4-14所示，則 等效節(jié)點(diǎn)載荷為 若Q平行于y方向，結(jié)果與此相仿。 2）作用在單元一條側(cè)邊上呈三角形 分布的載荷 設(shè)載荷平行于x方向，如圖4-15所示，則等效節(jié)點(diǎn)載荷為 若分布載荷為集度是q的均布載荷，則 其余分量為零。 求解時(shí)模型是否準(zhǔn)備就緒? 在求解初始化前，應(yīng)進(jìn)行分析數(shù)據(jù)檢查，包括下面內(nèi)容: 1.統(tǒng)一的單位;2.單元類型和選項(xiàng);3.材料性質(zhì)參數(shù):考慮慣性時(shí)應(yīng)輸入材料密度;熱應(yīng)力分析時(shí)應(yīng)輸入材料的熱膨脹系數(shù);4.實(shí)常數(shù) (單元特性);5.單元實(shí)常數(shù)和材料類型的設(shè)置;6.實(shí)體模型的質(zhì)量特性 (Preprocessor > Operate > Calc Geom Items);7.模型中不應(yīng)存在的縫隙;8.殼單元的法向;9.節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系;10.集中、體積載荷面力方向;11.溫度場(chǎng)的分布和范圍;12.熱膨脹分析的參考溫度。