三角函數(shù)及解三角形練習(xí)題

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1、三角函數(shù)及解三角形練習(xí)題 　 一．解答題（共16小題） 1．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大?。? 2．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π． （Ⅰ）求cosθ； （Ⅱ）求函數(shù)f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域． 3．已知是函數(shù)f（x）=2cos2x+asin2x+1的一個(gè)零點(diǎn)． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值； （Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間． 4．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）+sin2x． （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期； （2）若函數(shù)g（x）對(duì)任意x∈R，有g(shù)（x）=f（x+），求函數(shù)g（x）在[﹣，

2、]上的值域． 5．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π． （1）求ω的值； （2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間． 6．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值． 7．已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若∥，求x的值； （2）記f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值． 8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示． （1）求函數(shù)f（x）的解析式； （

3、2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范圍． 9．函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分圖象如圖所示，M為最高點(diǎn)，該圖象與y軸交于點(diǎn)F（0，），與x軸交于點(diǎn)B，C，且△MBC的面積為π． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式； （Ⅱ）若f（α﹣）=，求cos2α的值． 10．已知函數(shù)． （Ⅰ）求f（x）的最大值及相應(yīng)的x值； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)，如圖，點(diǎn)P，M，N分別是函數(shù)y=g（x）圖象的零值點(diǎn)、最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，求cos∠MPN的值． 11．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0

4、＜ω＜3，已知f（）=0． （Ⅰ）求ω； （Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[﹣，]上的最小值． 12．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+． （Ⅰ）證明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 13．如圖，A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角． （Ⅰ）證明：tan=； （Ⅱ）若A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值． 14．已知函數(shù)f（x）=sin2

5、x﹣cos2x． （Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值； （Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象．當(dāng)x∈時(shí)，求g（x）的值域． 15．已知函數(shù)f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x． （I）求f（x）的最小正周期和最大值； （II）討論f（x）在[，]上的單調(diào)性． 16．已知函數(shù)f（x）=sin（3x+）． （1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值． 　  17．設(shè)f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2． （Ⅰ

6、）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（）的值． 18．已知函數(shù)f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2． （Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值； （Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合． 19．已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函數(shù)f（x）=?，且y=f（x）的圖象過點(diǎn)（，）和點(diǎn)（，﹣2）． （Ⅰ）求m，n的值； （Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移φ（0

7、＜φ＜π）個(gè)單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）圖象上的最高點(diǎn)到點(diǎn)（0，3）的距離的最小值為1，求y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間． 三角函數(shù)及解三角形練習(xí)題 參考答案與試題解析 　 一．解答題（共16小題） 1．（2017?遂寧模擬）在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小． 【分析】對(duì)已知式平方，化簡(jiǎn)，求出sin（A+B）=，確定A+B的值，利用三角形的內(nèi)角和求出C的大?。? 【解答】解：兩邊平方 （3sinA+4cosB）2=36 得9sin2A+16cos2B+24sinAcosB=36 ① （4sinB+

8、3cosA）2=1 得16sin2B+9cos2A+24sinBcosA=1 ② ①+②得：（9sin2A+9cos2A）+（16cos2B+16sin2B）+24sinAcosB+24sinBcosA=37 即 9+16+24sin（A+B）=37 所以sin（A+B）=， 所以A+B= 或者 若A+B=，則cosA＞ 3cosA＞3＞1，則4sinB+3cosA＞1 這是不可能的 所以A+B= 因?yàn)锳+B+C=180 所以 C= 【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題． 　 2．（2017?浙江模擬）已知3sinθtanθ=8

9、，且0＜θ＜π． （Ⅰ）求cosθ； （Ⅱ）求函數(shù)f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域． 【分析】（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosθ的值． （Ⅱ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)在[0，]上的值域． 【解答】解：（Ⅰ）∵3sinθtanθ=3=8，且0＜θ＜π，∴cosθ＞0，θ為銳角． ∴=8，求得cosθ=，或cosθ=﹣3（舍去），∴sinθ=， 綜上可得，cosθ=． （Ⅱ）函數(shù)f（x）=6cosxcos（x﹣θ）=6cosx?（cosx?+sinx?） =2cos2x+4sinxcosx=

10、cos2x+1+2sin2x=3（cos2x+sin2x） =3cos（2x﹣θ）， 在[0，]上，2x﹣θ∈[﹣θ，﹣θ]，f（x）在此區(qū)間上先增后減， 當(dāng)2x﹣θ=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為3，當(dāng)2x﹣θ=﹣θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為3cos（﹣θ）=3cosθ=1， 故函數(shù)在[0，]上的值域?yàn)閇1，3]． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題． 　 3．（2017?海淀區(qū)一模）已知是函數(shù)f（x）=2cos2x+asin2x+1的一個(gè)零點(diǎn)． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值； （Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間． 【分析】（Ⅰ）利用函數(shù)的零點(diǎn)的定義

11、，求得實(shí)數(shù)a的值． （Ⅱ）利用三角恒等變化化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間． 【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，即， 即，解得． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得==， 函數(shù)y=sinx的遞增區(qū)間為，k∈Z． 由，k∈Z， 得，k∈Z， 所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，三角恒等變換、正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題． 　 4．（2017?衡陽三模）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）+sin2x． （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期； （2）若函數(shù)g（x）對(duì)任意x∈R，有g(shù)（x）=f（x+），求函數(shù)g（x）在[﹣

12、，]上的值域． 【分析】（1）利用兩角和的正弦函數(shù)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），再由周期公式計(jì)算得答案； （2）由已知條件求出g（x）=sin（2x+）+，當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，則2x+∈，由正弦函數(shù)的值域進(jìn)一步求出函數(shù)g（x）在[﹣，]上的值域． 【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x = =sin2x+cos2x+sin2x =sin2x+ =sin2x+1﹣=sin2x+， ∴f（x）的最小正周期T=； （2）∵函數(shù)g（x）對(duì)任意x∈R，有g(shù)（x）=f（x+）， ∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+， 當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，則2x+∈，

13、 則≤sin（2x+）≤1，即≤g（x），解得≤g（x）≤1． 綜上所述，函數(shù)g（x）在[﹣，]上的值域?yàn)椋篬，1]． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，考查了函數(shù)值域的求法，是中檔題． 　 5．（2016?北京）已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π． （1）求ω的值； （2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間． 【分析】（1）利用倍角公式結(jié)合兩角和的正弦化積，再由周期公式列式求得ω的值； （2）直接由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求解x的取值范圍得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間． 【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx

14、 =sin2ωx+cos2ωx==． 由T=，得ω=1； （2）由（1）得，f（x）=． 再由，得． ∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[]（k∈Z）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了兩角和的正弦，屬中檔題． 　 6．（2014?重慶）已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值． 【分析】（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π 求得ω=2．再根據(jù)圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，結(jié)合﹣≤φ＜可得 φ 的值．

15、 （Ⅱ）由條件求得sin（α﹣）=．再根據(jù)α﹣的范圍求得cos（α﹣）的值，再根據(jù)cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用兩角和的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果． 【解答】解：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π，∴=π，∴ω=2． 再根據(jù)圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，可得 2+φ=kπ+，k∈z． 結(jié)合﹣≤φ＜可得 φ=﹣． （Ⅱ）∵f（）=（＜α＜）， ∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=． 再根據(jù) 0＜α﹣＜， ∴cos（α﹣）==， ∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin =+=． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)

16、y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，兩角和差的三角公式、的應(yīng)用，屬于中檔題． 　 7．（2017?江蘇）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若∥，求x的值； （2）記f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值． 【分析】（1）根據(jù)向量的平行即可得到tanx=﹣，問題得以解決， （2）根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和余弦公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出 【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥， ∴﹣cosx=3sinx， ∴tanx=﹣， ∵x∈[0，π]， ∴x=， （2）f（x）==3cosx﹣

17、sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）， ∵x∈[0，π]， ∴x+∈[，]， ∴﹣1≤cos（x+）≤， 當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最大值，最大值3， 當(dāng)x=時(shí)，f（x）有最小值，最小值﹣2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的平行和向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題 　 8．（2017?錦州一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示． （1）求函數(shù)f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范圍． 【分析】（1）根據(jù)圖象求出A，ω 和φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式； （2）

18、利用正弦定理化簡(jiǎn)，求出B，根據(jù)三角內(nèi)角定理可得A的范圍，利用函數(shù)解析式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論 【解答】解：（1）由圖象知A=1，，∴ω=2， ∴f（x）=sin（2x+φ） ∵圖象過（），將點(diǎn)代入解析式得， ∵， ∴ 故得函數(shù)． （2）由（2a﹣c）cosB=bcosC， 根據(jù)正弦定理，得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin（B+C）， ∴2sinAcosB=sinA． ∵A∈（0，π）， ∴sinA≠0， ∴cosB=，即B= ∴A+C=，即 那么：， 故得． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖

19、象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了正弦定理的運(yùn)用化簡(jiǎn)．利用三角函數(shù)的有界限求范圍，屬于中檔題． 　 9．（2017?麗水模擬）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分圖象如圖所示，M為最高點(diǎn)，該圖象與y軸交于點(diǎn)F（0，），與x軸交于點(diǎn)B，C，且△MBC的面積為π． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式； （Ⅱ）若f（α﹣）=，求cos2α的值． 【分析】（Ⅰ）依題意，由S△MBC=2|BC|=|BC|=π可求得其周期T=2π=，解得ω=1，再由f（0）=2sinφ=，可求得φ，從而可求函數(shù)f（x）的解析式； （Ⅱ）由f（α﹣）=2sinα=，可求得sin

20、α，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α的值． 【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)镾△MBC=2|BC|=|BC|=π， 所以周期T=2π=，解得ω=1， 由f（0）=2sinφ=，得sinφ=， 因?yàn)?＜φ＜，所以φ=， 所以f（x）=2sin（x+）； （Ⅱ）由f（α﹣）=2sinα=，得sinα=， 所以cos2α=1﹣2sin2α=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求得ω與φ是關(guān)鍵，考查二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題． 　 10．（2017?延慶縣一模）已知函數(shù)． （Ⅰ）求f（x）的最大值及相應(yīng)的x值； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)，如圖，點(diǎn)P，M，

21、N分別是函數(shù)y=g（x）圖象的零值點(diǎn)、最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，求cos∠MPN的值． 【分析】（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)（x）為正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出它的最大值以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的x值； （Ⅱ）化簡(jiǎn)函數(shù)g（x），過D作MD⊥x軸于D，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性求出∠PMN=90，再求cos∠MPN的值． 【解答】解：（Ⅰ）函數(shù) =sin2x+cos2x﹣sin2x…（1分） = =；…（3分） ∴f（x）的最大值為f（x）max=1，…（4分） 此時(shí)，…（5分） 解得；…（6分） （Ⅱ）函數(shù)=sin[2（x）+]=sin（x+），…（7分） 過D作MD⊥x軸于D，如圖所示；

22、∵PD=DM=1， ∴∠PMN=90，…（9分） 計(jì)算PM=，MN=2PM=2，PN==，…（11分） ∴．…（13分） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問題，也考查了三角函數(shù)的計(jì)算問題，是綜合題． 　 11．（2017?山東）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0． （Ⅰ）求ω； （Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[﹣，]上的最小值． 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等變換化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)f（）=0求出ω的

23、值； （Ⅱ）寫出f（x）解析式，利用平移法則寫出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]時(shí)g（x）的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣） =sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx） =sinωx﹣cosωx =sin（ωx﹣）， 又f（）=sin（ω﹣）=0， ∴ω﹣=kπ，k∈Z， 解得ω=6k+2， 又0＜ω＜3， ∴ω=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣）， 將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin（x﹣）的圖象； 再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=s

24、in（x+﹣）的圖象， ∴函數(shù)y=g（x）=sin（x﹣）； 當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，x﹣∈[﹣，]， ∴sin（x﹣）∈[﹣，1]， ∴當(dāng)x=﹣時(shí)，g（x）取得最小值是﹣=﹣． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換與正弦型函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是中檔題． 　 12．（2016?山東）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+． （Ⅰ）證明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 【分析】（Ⅰ）由切化弦公式，帶入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，這樣根據(jù)兩角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2s

25、inC，從而根據(jù)正弦定理便可得出a+b=2c； （Ⅱ）根據(jù)a+b=2c，兩邊平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，從而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，這樣由余弦定理便可得出，從而得出cosC的范圍，進(jìn)而便可得出cosC的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）證明：由得： ； ∴兩邊同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB； ∴2sin（A+B）=sinA+sinB； 即sinA+sinB=2sinC（1）； 根據(jù)正弦定理，； ∴，帶入（1）得：； ∴a+b=2c； （Ⅱ）a+b=2

26、c； ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2； ∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)； 又a，b＞0； ∴； ∴由余弦定理，=； ∴cosC的最小值為． 【點(diǎn)評(píng)】考查切化弦公式，兩角和的正弦公式，三角形的內(nèi)角和為π，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)． 　 13．（2015?四川）如圖，A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角． （Ⅰ）證明：tan=； （Ⅱ）若A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值． 【分析】（Ⅰ）直接利用切

27、化弦以及二倍角公式化簡(jiǎn)證明即可． （Ⅱ）通過A+C=180，得C=180﹣A，D=180﹣B，利用（Ⅰ）化簡(jiǎn)tan+tan+tan+tan=，連結(jié)BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，連結(jié)AC，求出sinB，然后求解即可． 【解答】證明：（Ⅰ）tan===．等式成立． （Ⅱ）由A+C=180，得C=180﹣A，D=180﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==，連結(jié)BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5， 在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC， 所以AB2+AD2﹣2AB

28、?ADcosA=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC， 則：cosA===． 于是sinA==， 連結(jié)AC，同理可得：cosB===， 于是sinB==． 所以tan+tan+tan+tan===． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理．簡(jiǎn)單的三角恒等變換，考查函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用． 　 14．（2015?重慶）已知函數(shù)f（x）=sin2x﹣cos2x． （Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值； （Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象．當(dāng)x∈時(shí)，求g（x）的值域． 【分析】（Ⅰ）由三角函數(shù)

29、中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，從而可求最小周期和最小值； （Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]時(shí)，可得x﹣的范圍，即可求得g（x）的值域． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣， ∴f（x）的最小周期T==π，最小值為：﹣1﹣=﹣． （Ⅱ）由條件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣ 當(dāng)x∈[，π]時(shí)，有x﹣∈[，]，從而sin（x﹣）的值域?yàn)閇，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域?yàn)椋篬，]， 故g（x）在區(qū)間[，π]上的值域是[，]

30、． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基本知識(shí)的考查． 　 15．（2015?重慶）已知函數(shù)f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x． （I）求f（x）的最小正周期和最大值； （II）討論f（x）在[，]上的單調(diào)性． 【分析】（Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值． （Ⅱ）根據(jù)2x﹣∈[0，π]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求得f（x）在上的單調(diào)性． 【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）

31、 =sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣， 故函數(shù)的周期為=π，最大值為1﹣． （Ⅱ）當(dāng)x∈ 時(shí)，2x﹣∈[0，π]，故當(dāng)0≤2x﹣≤時(shí)，即x∈[，]時(shí)，f（x）為增函數(shù)； 當(dāng)≤2x﹣≤π時(shí)，即x∈[，]時(shí)，f（x）為減函數(shù)． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題． 　 16．（2014?四川）已知函數(shù)f（x）=sin（3x+）． （1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值． 【分析】（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，可

32、得函數(shù)的增區(qū)間． （2）由函數(shù)的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化簡(jiǎn)可得 （cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，從而求得cosα﹣sinα 的值． 【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z， 求得 ﹣≤x≤+，故函數(shù)的增區(qū)間為[﹣，+]，k∈Z． （2）由函數(shù)的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α， ∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α）， ∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα） 即 （sinα+cosα）=?（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα）， 又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0， 當(dāng)sinα+cosα=0時(shí)，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此時(shí)cosα﹣sinα=﹣． 當(dāng)sinα+cosα≠0時(shí)，此時(shí)cosα﹣sinα=﹣． 綜上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的恒等變換，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．