湖北省宜昌市2020屆高三下學期3月線上統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學（理）試題 Word版含解析 --

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1、湖北省宜昌市2020屆高三下學期3月線上統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學（理）試題 Word版含解析 - - PAGE 1 - 宜昌市2020屆高三年級3月線上統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學試題（理科） 一、選擇題 1.已知集合，集合，則（ ） A. B. C. D. 答案A 解析 分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解出不等式解集即為集合，再求解出一元二次不等式的解集為集合，由此計算出的結果. 詳解因為，所以，所以，所以， 又因為，所以，所以， 所以. 故選：A. 點睛本題考查解對數(shù)不等式、一元二次不等式的解集求法、集合的并集運算，屬于綜合性問題，難度較易.解對數(shù)型不等式時，要注意對數(shù)式的

2、真數(shù)大于零. 2.已知純虛數(shù)滿足，其中虛數(shù)單位，則實數(shù)等于（ ） A. B. 1C. D. 2 答案B 解析 分析 先根據(jù)復數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應的的值即可. 詳解因為，所以， 又因為是純虛數(shù)，所以，所以. 故選：B. 點睛本題考查復數(shù)的除法運算以及根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復數(shù)為純虛數(shù)，則有. 3.如圖是國家統(tǒng)計局公布的x-x年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結論錯誤的是（ ） A. x年我國入境游客萬人次最少 B. 后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢 C. 這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340

3、萬人次 D. 前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差 答案D 解析 分析 ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結論，C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確. 詳解A．由統(tǒng)計圖可知：x年入境游客萬人次最少，故正確； B．由統(tǒng)計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確； C．入境游客萬人次的中位數(shù)應為與的平均數(shù)，大于萬次，故正確； D．由統(tǒng)計圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大，所以對應的方差更大，故錯誤. 故選：D. 點睛本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關鍵是能通過所給統(tǒng)計圖，分析出對

4、應的信息，對學生分析問題的能力有一定要求. 4.在平面直角坐標系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在直線上，則（ ） A. B. C. D. 答案C 解析 分析 利用誘導公式以及二倍角公式，將化簡為關于的形式，結合終邊所在的直線可知的值，從而可求的值. 詳解因為，且， 所以. 故選：C. 點睛本題考查三角函數(shù)中的誘導公式以及三角恒等變換中的二倍角公式，屬于給角求值類型的問題，難度一般.求解值的兩種方法：（1）分別求解出的值，再求出結果；（2）將變形為，利用的值求出結果. 5.已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比的值為（　?。? A. B. 或C

5、. D. 答案C 解析 分析 由可得，故可求的值. 詳解因為，所以， 故，因為正項等比數(shù)列，故，所以，故選C. 點睛一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)： （1）若，則； （2）公比時，則有，其中為常數(shù)且； （3） 為等比數(shù)列（ ）且公比為. 6.設，，，則、、的大小關系為（ ） A. B. C. D. 答案D 解析 分析 先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較出的大小，再根據(jù)的正負得到的大小關系，然后利用中間值 “”比較出的大小，由此判斷出的大小關系. 詳解因為，， 所以且在上單調(diào)遞減，且 所以，所以， 又因為，，所以， 所以. 故選：D. 點睛本

6、題考查利用指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對數(shù)的大小，難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小，還可以根據(jù)中間值“”比較大小. 7.已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（ ） A. B. C. D. 答案A 解析 分析 根據(jù)球的特點可知截面是一個圓，根據(jù)等體積法計算出球心到平面的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截面面積可求. 詳解如圖所示： 設內(nèi)切球球心為，到平面的距離為，截面圓的半徑為， 因為內(nèi)切球的半徑等于正方體棱長的一半，所以球的半徑為， 又因為，所以， 又因為， 所以，所以， 所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為. 故選：A

7、. 點睛本題考查正方體的內(nèi)切球的特點以及球的截面面積的計算，難度一般.任何一個平面去截球，得到的截面一定是圓面，截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計算. 8.已知雙曲線，為坐標原點，、為其左、右焦點，點在的漸近線上，，且，則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A. B. C. D. 答案D 解析 分析 根據(jù)，先確定出的長度，然后利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為的關系式，化簡后可得到的值，即可求漸近線方程. 詳解如圖所示： 因為，所以， 又因為，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以漸近線方程為. 故選：D. 點睛本題考查根據(jù)雙曲線中的長度關系求解漸近線方程

8、，難度一般.注意雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半. 9.《易系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數(shù)之源，其中河圖的排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構成等差數(shù)列的概率為（ ） A. B. C. D. 答案C 解析 分析 先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應的概率. 詳解所有的情況數(shù)有：種， 3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構成等差數(shù)

9、列的情況有： ，共種， 所以目標事件的概率. 故選：C. 點睛本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析；當情況數(shù)較多時，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算. 10.如圖所示，為了測量、兩座島嶼間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達處，此時測得在的北偏西的方向上，再開回處，由向西開百海里到達處，測得在的北偏東的方向上，則、兩座島嶼間的距離為（ ） A. 3B. C. 4D. 答案B 解析 分析 先根據(jù)角度分析出的大小，然后根據(jù)角度關系得到的長度，再根據(jù)正

10、弦定理計算出的長度，最后利用余弦定理求解出的長度即可. 詳解由題意可知：， 所以，， 所以，所以， 又因為，所以， 所以. 故選：B. 點睛本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關鍵. 11.已知直線：與橢圓交于、兩點，與圓：交于、兩點.若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 答案A 解析 分析 由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到坐標的關系，再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標的關系，由此化簡并求解出離心率的取值范圍. 詳解設，且線過定點即為的圓心， 因為，所以， 又因為，所以，

11、 所以，所以， 所以，所以，所以， 所以. 故選：A. 點睛本題考查橢圓與圓的綜合應用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達到“設而不求”的目的，大大簡化運算. 12.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論： ①曲線有四條對稱軸； ②曲線上的點到原點的最大距離為； ③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為； ④四葉草面積小于. 其中，所有正確結論的序號是（ ） A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②④ 答案C 解析 分析 ①利用之間的代換

12、判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面積是否小于. 詳解①：當變?yōu)闀r， 不變，所以四葉草圖象關于軸對稱； 當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱； 當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱； 當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱； 綜上可知：有四條對稱軸，故正確； ②：因為，所以， 所以，所以，取等號時， 所以最大距離為，故錯誤； ③：設任意一點，所以圍成的矩形面積為， 因為，所以，所以， 取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故

13、正確； ④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部， 因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確. 故選：C. 點睛本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明. 二、填空題 13.的展開式中的常數(shù)項為_______． 答案 解析 分析 寫出展開式的通項公式，考慮當?shù)闹笖?shù)為零時，對應的值即為常數(shù)項. 詳解的展開式通項公式為： ， 令，所以，所以常數(shù)項為. 故答案為：. 點睛本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，難度較易.解答問題的關鍵是，能通過展開式通項公式分析常數(shù)項對

14、應的取值. 14.如圖所示，直角坐標系中網(wǎng)格小正方形的邊長為1，若向量、、滿足，則實數(shù)的值為_______． 答案 解析 分析 根據(jù)圖示分析出、、的坐標表示，然后根據(jù)坐標形式下向量的數(shù)量積為零計算出的取值. 詳解由圖可知：，所以， 又因為，所以， 所以. 故答案為：. 點睛本題考查向量的坐標表示以及坐標形式下向量的數(shù)量積運算，難度較易.已知，若，則有. 15.設函數(shù)，若在上的最大值為，則________. 答案 解析 分析 求出函數(shù)的導數(shù)，由在上，可得在上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為，即可求出參數(shù)的值. 詳解解：定義域為 ， 在上單調(diào)遞增， 故在上的最

15、大值為 故答案為： 點睛本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎題. 16.已知函數(shù)在上僅有2個零點，設，則在區(qū)間上的取值范圍為_______． 答案 解析 分析 先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值，然后得到的解析式，采用換元法求解在上的值域即可. 詳解因為在上有兩個零點， 所以，所以，所以且， 所以，所以， 所以， 令，所以，所以， 因為，所以，所以，所以， 所以 ，， 所以. 故答案為：. 點睛本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合，其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題，難度較難. 對形如的函數(shù)的值域求解，關鍵是采用換元法令，然后根據(jù)，將問題轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù)的值

16、域，同時要注意新元的范圍. 三、解答題 17.如圖，在四棱錐中，，，. （1）證明：平面； （2）若，，為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值. 答案（1）證明見解析 （2） 解析 分析 （1）利用線段長度得到與間的垂直關系，再根據(jù)線面垂直的判定定理完成證明； （2）以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值，計算出結果. 詳解（1）∵，， ∴， ∴， ∵，平面， ∴平面 （2）由（1）知，， 又為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系， 則，，，，，，， ∵，∴， 設是

17、平面的一個法向量 則，即，取得 ∴ ∴直線與平面所成的正弦值為 點睛本題考查線面垂直的證明以及用向量法求解線面角的正弦，難度一般.用向量方法求解線面角的正弦值時，注意直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值. 18.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且、、成等比數(shù)列，.設數(shù)列的前項和為，且滿足. （1）求數(shù)列、的通項公式； （2）令，證明：. 答案（1）, （2）證明見解析 解析 分析 （1）利用首項和公差構成方程組，從而求解出的通項公式；由的通項公式求解出的表達式，根據(jù)以及，求解出的通項公式； （2）利用錯位相減法求解出的前項和，

18、根據(jù)不等關系證明即可. 詳解（1）設首項為，公差為. 由題意，得，解得， ∴， ∴，∴ 當時， ∴，.當時，滿足上式. ∴ （2），令數(shù)列的前項和為. 兩式相減得 ∴恒成立，得證. 點睛本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用，難度一般.（1）當用求解的通項公式時，一定要注意驗證是否成立；（2）當一個數(shù)列符合等差乘以等比的形式，優(yōu)先考慮采用錯位相減法進行求和，同時注意對于錯位的理解. 19.已知拋物線:，點為拋物線的焦點，焦點到直線的距離為，焦點到拋物線的準線的距離為，且. （1）求拋物線的標準方程； （2）若軸上存在點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，且為定值，求點的

19、坐標. 答案（1） （2） 解析 分析 （1）先分別表示出，然后根據(jù)求解出的值，則的標準方程可求； （2）設出直線的方程并聯(lián)立拋物線方程得到韋達定理形式，然后根據(jù)距離公式表示出并代入韋達定理形式，由此判斷出為定值時的坐標. 詳解（1）由題意可得，焦點，，則 ，， ∴解得. 拋物線的標準方程為 （2）設，設點，，顯然直線的斜率不為0. 設直線的方程為 聯(lián)立方程，整理可得 ，， ∴， ∴ 要使為定值，必有，解得， ∴為定值時，點的坐標為 點睛本題考查拋物線方程的求解以及拋物線中的定值問題，難度一般.（1）處理直線與拋物線相交對應的定值問題，聯(lián)立直線方程借助韋達

20、定理形式是常用方法；（2）直線與圓錐曲線的問題中，直線方程的設法有時能很大程度上起到簡化運算的作用。 20.某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數(shù)表： 亮燈時長/ 頻數(shù) 10 20 40 20 10 以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長. （1）試估計的值； （2）設表示這10000盞燈在某一時刻亮燈數(shù)目. ①求的數(shù)學期望和方差； ②若隨機變量滿足，則認為.假設當時，燈光展處于最佳燈光亮度.

21、試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度時長（結果保留為整數(shù)）. 附： ①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商； ②若，則，，. 答案（1） （2）①，,②72 解析 分析 （1）將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應的頻率，然后再將結果相加即可得到亮燈時長的平均數(shù)，將此平均數(shù)除以（個小時），即可得到的估計值； （2）①利用二項分布的均值與方差的計算公式進行求解； ②先根據(jù)條件計算出的取值范圍，然后根據(jù)并結合正態(tài)分布概率的對稱性，求解出在滿足取值范圍下對應的概率. 詳解（1）平均時間為（分鐘） ∴ （2）①∵， ∴， ②∵，，∴ ∵，， ∴ ∴

22、 即最佳時間長度為72分鐘. 點睛本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型（長度模型）、二項分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計算，屬于綜合性問題，難度一般.（1）如果，則；（2）計算正態(tài)分布中的概率，一定要活用正態(tài)分布圖象的對稱性對應概率的對稱性. 21.已知函數(shù)，. （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實數(shù)解、、（），求證：. 答案（1）①當時， 在單調(diào)遞增,②當時，單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為 （2）證明見解析 解析 分析 （1）先求解導函數(shù)，然后對參數(shù)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可； （2）根據(jù)條件先求解出的值，然后構

23、造函數(shù)分析出之間的關系，再構造函數(shù)分析出之間的關系，由此證明出. 詳解（1）， ①當時，恒成立，則在單調(diào)遞增 ②當時，令得， 解得， 又，∴ ∴當時，，單調(diào)遞增； 當時，，單調(diào)遞減； 當時，，單調(diào)遞增. （2）依題意得，，則 由（1）得，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 ∴若方程有三個實數(shù)解， 則 法一：雙偏移法 設，則 ∴在上單調(diào)遞增，∴， ∴，即 ∵，∴，其中， ∵在上單調(diào)遞減，∴，即 設， ∴在上單調(diào)遞增，∴， ∴，即 ∵，∴，其中， ∵在上單調(diào)遞增，∴，即 ∴. 法二：直接證明法 ∵，，在上單調(diào)遞增， ∴要證，即證 設，則

24、 ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 ∴， ∴，即 （注意：若沒有證明，扣3分） 關于的證明： （1）且時，（需要證明），其中 ∴ ∴ ∴ （2）∵，∴ ∴，即 ∵，，∴，則 ∴ 點睛本題考查函數(shù)與倒導數(shù)的綜合應用，難度較難.（1）對于含參函數(shù)單調(diào)性的分析，可通過分析參數(shù)的臨界值，由此分類討論函數(shù)單調(diào)性；（2）利用導數(shù)證明不等式常用方法：構造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而達到證明不等式的目的. 22.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以坐標原點為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為. （1）若點在直線上，求直線的極坐標

25、方程； （2）已知，若點在直線上，點在曲線上，且的最小值為，求的值. 答案（1） （2） 解析 分析 （1）利用消參法以及點求解出的普通方程，根據(jù)極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化求解出直線的極坐標方程； （2）將的坐標設為，利用點到直線的距離公式結合三角函數(shù)的有界性，求解出取最小值時對應的值. 詳解（1）消去參數(shù)得普通方程為， 將代入，可得，即 所以的極坐標方程為 （2）的直角坐標方程為 直線的直角坐標方程 設的直角坐標為 ∵在直線上，∴的最小值為到直線的距離的最小值 ∵，∴當，時取得最小值 即，∴ 點睛本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的互化以及根據(jù)曲線上一

26、點到直線距離的最值求參數(shù)，難度一般.（1）直角坐標和極坐標的互化公式：；（2）求解曲線上一點到直線的距離的最值，可優(yōu)先考慮將點的坐標設為參數(shù)方程的形式，然后再去求解. 23.設函數(shù). （1）解不等式； （2）記的最大值為，若實數(shù)、、滿足，求證：. 答案（1） （2）證明見解析 解析 分析 （1）采用零點分段法：、、，由此求解出不等式的解集； （2）先根據(jù)絕對值不等式的幾何意義求解出的值，然后利用基本不等式及其變形完成證明. 詳解（1）當時，不等式為，解得 當時，不等式為，解得 當時，不等式為，解得 ∴原不等式的解集為 （2） 當且僅當即時取等號， ∴，∴ ∵，∴， ∴（當且僅當時取“”） 同理可得， ∴ ∴（當且僅當時取“”） 點睛本題考查絕對值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式，難度一般.（1）常見的絕對值不等式解法：零點分段法、圖象法、幾何意義法；（2）利用基本不等式完成證明時，注意說明取等號的條件.