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1、數(shù)學(xué)期望：隨機變量最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機變量平均取值的大小。又稱期望或均值。它是簡單算術(shù)平均的一種推廣。例如某城市有10萬個家庭，沒有孩子的家庭有1000個，有一個孩子的家庭有9萬個，有兩個孩子的家庭有6000個，有3個孩子的家庭有3000個， 則此城市中任一個家庭中孩子的數(shù)目是一個隨機變量，記為X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率為0.01，取1的概率為0.9，取2的概率為0.06，取3的概率為0.03，它的數(shù)學(xué)期望為00.01＋10.9＋20.06＋30.03等于1.11，即此城市一個家庭平均有小孩1.11個，用數(shù)學(xué)式子表示為：E(X)=1.11。
也就是說，我們用數(shù)學(xué)的
2、方法分析了這個概率性的問題，對于每一個家庭，最有可能它家的孩子為1.11個。
可以簡單的理解為求一個概率性事件的平均狀況。
各種數(shù)學(xué)分布的方差是：
1、 一個完全符合分布的樣本
2、 這個樣本的方差
概率密度的概念是：某種事物發(fā)生的概率占總概率(1)的比例,越大就說明密度越大。比如某地某次考試的成績近似服從均值為80的正態(tài)分布，即平均分是80分，由正態(tài)分布的圖形知x=80時的函數(shù)值最大，即隨機變量在80附近取值最密集，也即考試成績在80分左右的人最多。
下圖為概率密度函數(shù)圖(F(x)應(yīng)為f(x)，表示概率密度)：
離散型分布：二項分布、泊松分布
3、連續(xù)型分布：指數(shù)分布、正態(tài)分布、X2分布、t分布、F分布
抽樣分布
抽樣分布只與自由度，即樣本含量（抽樣樣本含量）有關(guān)
二項分布（binomial distribution）：例子拋硬幣
1、 重復(fù)試驗（n個相同試驗，每次試驗兩種結(jié)果，每種結(jié)果概率恒定————伯努利試驗）
2、
3、 P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同組成了一個分布，即二項分布
泊松分布（possion distribution）：
1、 一個單位內(nèi)（時間、面積、空間）某稀有事件
2、 此事件發(fā)生K次的概率
3、
4、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同組成了一個分布，即泊松分布
二項分布與泊松分布的關(guān)系：
二項分布在事件發(fā)生概率很小，重復(fù)次數(shù)n很大的情況下，其分布近似泊松分布
均勻分布(uniform distribution)：
分為連續(xù)型均勻分布和離散型均勻分布
離散型均勻分布：
1、 n種可能的結(jié)果
2、 每個可能的概率相等(1/n)
連續(xù)型均勻分布：
1、 可能的結(jié)果是連續(xù)的
2、 每個可能的概率相等()
連續(xù)型均勻分布概率密度函數(shù)如下圖：
指數(shù)分布（expon
5、ential distribution）：
用來表示獨立隨機事件發(fā)生的時間間隔，比如旅客進機場的時間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)的時間間隔等等。
指數(shù)分布常用于各種“壽命”分布的近似。
1、連續(xù)型分布，每個點的概率：
2、無記憶性。已經(jīng)使用了s小時的元件，它能再使用t小時的概率，與一個從未使用過的元件使用t小時的概率相同。即它對已經(jīng)使用過的s小時沒有記憶。
指數(shù)分布的概率密度函數(shù)如下圖：
正態(tài)分布（normal distribution）：
又稱高斯分布。
1、 描述一個群體的某個指標。
2、 這個指標是連續(xù)的。
3、 每個特定指標在整個群體中都有一
6、個概率（）。
4、 所有指標概率共同組成了一個分布，這個分布就是正態(tài)分布。
正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如下圖：
中心極限定理：
不論總體的分布形式如何（正態(tài)或非正態(tài)），只要樣本（抽樣樣本）含量n足夠大時，樣本均數(shù)的分布就近似正態(tài)分布，且均數(shù)與總體均數(shù)相等，標準差為（總體標準差）/（n的開方）。
中心極限定理使得t分布、F分布和X2分布在抽樣樣本含量很大時不需要對總體樣本是否正態(tài)有要求。
t分布（student t distribution）:
1、t分布是以0為中心的一簇曲線，每個自由度決定一個曲線
2、自由度是一個抽樣小樣本中的具體觀測值的個數(shù)（抽樣樣本
7、含量）-1
3、總體樣本呈正態(tài)分布（抽樣樣本含量較小時，要求總體樣本呈正態(tài)分布，如果抽樣樣本含量很大（eg. n >= 100），由中心極限定理可知抽樣樣本均數(shù)也近似正態(tài)分布，因而“差值”的概率也呈正態(tài)分布，而t分布的每一條曲線實際上都是正態(tài)分布曲線）
4、從一個總體樣本中抽取很多個小樣本———抽樣
5、每個小樣本都有一個均值
6、每個小樣本的均值與總體樣本均值有一個差值，這個差值用t估計
7、可能有多個小樣本的差值估計都是t，t出現(xiàn)的次數(shù)占所有小樣本的比例可以用一個概率衡量
8、所有t值的概率組成一個分布，就是t分布的一個曲線
9、另外做一個抽樣，每個小樣本包含的觀
8、測值不同，則形成t分布的另外一個曲線
10、自由度越大，則曲線越接近于標準正態(tài)分布
11、t分布只與自由度相關(guān)
t分布的概率密度函數(shù)如下圖（v為自由度）：
X2分布（chi square distribution）：
1、X2分布也是一簇曲線，每個自由度決定一個曲線
2、自由度是一個抽樣小樣本中的具體觀測值的個數(shù)（抽樣樣本含量）-1
2、總體樣本呈正態(tài)分布（抽樣樣本含量（n）較小時，要求總體樣本呈正態(tài)分布）
3、從總體樣本中抽取n個觀測值：z1，z2，z3……———抽樣
4、將它們平方后求和，這個和用一個新變量表示，即X2
5、重復(fù)抽樣并獲得多個X2
9、：X12，X22，X32，X42………
6、可能有多次抽樣的X2值相同，同一個X2值的抽樣次數(shù)占總次數(shù)的比例可以用一個概率表示
7、所有的概率值共同組成一個分布，就是X2分布的一條曲線
8、另外做一次，只要從總體中選取觀測值數(shù)目n不同，得到的就是另外一條曲線
10、自由度越大，則曲線越接近于標準正態(tài)分布
11、X2分布只與自由度相關(guān)
X2分布的概率密度函數(shù)如下圖（n在這里為自由度）：
F分布（F-distribution）：
1、F分布也是一簇曲線，每對自由度決定一個曲線
2、自由度是一個抽樣小樣本中的具體觀測值的個數(shù)（抽樣樣本含量）-1
2、兩總體
10、樣本方差比的分布
3、總體樣本呈正態(tài)分布（抽樣樣本含量（n）較小時，要求總體樣本呈正態(tài)分布）
4、從總體樣本中抽取兩個樣本， 兩個樣中的觀測值數(shù)目可相同也可不同，分別記為n1和n2
5、分別計算出X2：X1，X2
6、構(gòu)建一個新變量F：
7、重復(fù)抽取樣本，計算多個F值：F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3……..
8、可能有多次抽樣的F值相同，同一個F值的抽樣次數(shù)占總次數(shù)的比例可以用一個概率表示
9、所有的概率值共同組成一個分布，就是F分布的一條曲線
10、另外做一次，只要從總體中選取觀測值數(shù)目n不同，得到的就是另外一條曲線
10、兩個自由度越大，則曲線越接近于標準正態(tài)分布
11、
11、F分布只與自由度相關(guān)
F分布的概率密度函數(shù)如下圖（m，n在這里為自由度）：
【在推估總體平均值時，基于樣本平均數(shù)的抽樣分布】—— t分布
【在用樣本方差來推估總體方差時，必須知道樣本方差的抽樣分布】— X2分布
【比較兩個總體的方差是否相等時，必須知道樣本方差的聯(lián)合抽樣分布】— F分布
生存分析（survival analysis）：
1、 多種影響慢性疾病的因素（不同手術(shù)方法、不同藥物………）
2、 隨訪一群患者
3、 一段時間后統(tǒng)計生存和死亡
3、最終給出的結(jié)果是一個評價各種因素對生存時間的影響（生存時間、生存率有無差異）
貝葉斯公式（bayes formula）：
1、 描述兩個條件概率之間的關(guān)系———P(Bi|A)與P(A|Bi)，A為事件，Bi 為一個劃分
2、 P(Bi|A)=P(A|Bi)*P(Bi)/P(A) 或者
3、 看圖理解
全概率公式（full probability formula）：
1、 描述一個特定事件的概率與條件概率間的關(guān)系
2、 P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn)
3、 看圖理解
數(shù)學(xué)分布泊松分布、二項分布、正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布生存分析貝葉斯概率公式全概率公式.doc
