《材料力學(xué)習(xí)題解答》PPT課件.ppt

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1、材料力學(xué)習(xí)題解答 2 拉伸與壓縮 AB kN20WAB MPa80 MPa100 AB 23 圖示結(jié)構(gòu) 為剛性梁，重物重量 ，可自由地在 間移動(dòng)，兩桿均為實(shí)心圓形截面桿， 1號(hào)桿的許用應(yīng)力為 ， 2號(hào)桿的許用應(yīng)力為 ，不計(jì)剛性梁 的重量。試確定兩桿的直徑。 解： 當(dāng)載荷移動(dòng)到 A處時(shí) 1號(hào)桿最危險(xiǎn)。 WFN 1 02 NF 1 1 1)1( A F N 1 11 NFA 4 1 1 2 1 NFd 4 1 1 1 NFd mm8.17 8014.3 10204 3 mm18 1 d 當(dāng)載荷移動(dòng)到 B處時(shí) 2號(hào)桿最危險(xiǎn)。 0 1 NF WFN

2、2 2 2 2)2( A F N 4 2 2 2 2 NFd 4 2 2 2 NFd mm9.1510 14.3 8 10014.3 10204 3 mm16 2 d kN50F M P a1 6 0 St M P a10 W d a 24 圖示桁架結(jié)構(gòu)， 1號(hào)桿為圓形截面鋼桿， 2號(hào)桿 為正方形截面木桿，載荷 ，鋼材的許用應(yīng)力為 ，木材的許用應(yīng)力為 ，試確定 1號(hào) 和 2號(hào)桿的邊長(zhǎng) 。 桿的直徑 解： 2NF 1NF 12 45c os NN FF 拉）(1 FF N （壓）FF N 22 FF N 45s in2 StNA F 1 11 ）（ S

3、t NFA 11 St NFd 4 12 St NFd 4 1 St F 4 mm9.191 6 014.3 10504 3 mm20d WNA F 2 22 ）（ W NFa 22 W NFa 2 W F 2 mm9.8310 105041.1 3 mm84a BCAB, mm101 d mm202 d BCAB, 25 圖示結(jié)構(gòu)橫梁 均為剛性梁， 1號(hào)桿和 2號(hào)桿的截 ，不計(jì)橫梁 的重量， 面直徑分別為 試求兩桿截面上的應(yīng)力。

4、 解： 將結(jié)構(gòu)從中間鉸處拆開(kāi)，由 右邊梁的平衡有： 0R FFN 1 1NF 2NF FFN 22 2 11 1)1( 4dFAF N M Pa3.1 2 71014.3 10104 2 3 2 22 2)2( 8dFAF N M Pa7.63 2014.3 10108 2 3 拉應(yīng)力）M P a (3.1 2 7)1( 拉應(yīng)力）M P a (7.63)2( M Pa2p mm75D mm18d M P a50 26 某銑床工作臺(tái)進(jìn)油缸如圖所示，油缸內(nèi)壓為 油缸內(nèi)徑 ，活塞桿直徑 ，活塞桿材料的許用應(yīng)力 ，試校核活塞桿的強(qiáng)度。 解： 桿件所受的拉力為：

5、 4 )( 22 dDppAF 桿件中的應(yīng)力為： 1)()(4 22 222 dDpd dDpdFAF d 1)1875(2 2 M P a7.32 活塞桿安全。 mm80D m3H OD m2R mm1d M P a200 27* 如圖所示結(jié)構(gòu)，直徑 、高度 的立柱 由三根鋼纜同步拉緊固定在豎直方向，鋼纜下端均勻固定在 的圓周上。每根鋼纜由 80根直徑 的鋼絲制成，忽略鋼纜中可能 ，則盡可能 存在的預(yù)應(yīng)力，如果鋼纜還能承受的拉應(yīng)力為 拉緊鋼纜后，立柱截面上所承受的最大附加應(yīng)力為多大？ 解： 假設(shè)每根鋼纜的張力是： T 3 2ta n H R 則立柱所受的壓力為：

6、 c o s3TF 69.33 盡可能拉緊鋼纜時(shí)，鋼纜能承受的最大張力是： 22m a x 20)480( ddAT T m a xm a xm a x 5.269.33c o s3 TTF 2 2 2 m a xm a xm a x 2 0 05.24 D d D T A F 2m a x )(20 0 Dd 20 0)801(20 0 2 M P a25.6 M P a25.6m a x CB 1 2 2 21 F 28. 如圖所示結(jié)構(gòu)， 是水平剛性橫梁，不計(jì)其重量。 1、 2號(hào) 、 ，且 ，載荷 可以在剛性梁上自由移動(dòng)。 桿的橫截面面積相同，材料

7、的許用應(yīng)力分別為 （ 1）求結(jié)構(gòu)的許可載荷。 （ 2）求結(jié)構(gòu)能承受的最大載荷。 解： （ 1）載荷靠近右端最危險(xiǎn)。 01 NF FFN 2 22)2( AFAF N （ 2）假設(shè)載荷作用在靠近左端距離為 x地方結(jié)構(gòu)承受的載荷最大。 x1NF 2NF LFFx N 2 FLxFF N 2 )( Lx )1(11 FFFF NN 當(dāng) 1， 2號(hào)桿件均達(dá)到其許用應(yīng)力時(shí)，結(jié)構(gòu)承受的載荷最大。 2)1( 212)1( AFAF N 22)2( AFAF N 21 3 1 3 Lx 2 m a x AF 3 2m a x AF 結(jié)構(gòu)的許可載荷為： 2AF )(

8、 21 F 450 29如圖所示桿件由兩塊材料連接而成，圖中斜線即為粘膠層， 桿件在兩端受拉力 作用，若粘膠層的許用正應(yīng)力 是其許用切應(yīng)力 的兩倍，若限定 合理的傾角 是多大？ ，則粘膠層最 解： 斜截面上的應(yīng)力公式為： 2s in2 c o s 2 2s in2 2c o s 2 粘膠層最合理的傾角應(yīng)滿足： c o ss in22s inc o s 2 2 1tan 6.26 F AB EA EA2 l a AB C AB 30如圖所示結(jié)構(gòu)，球體重量為 ，可在剛性梁 上自由移動(dòng)， 和 ，長(zhǎng)度均為 ，兩桿 。不計(jì)剛性梁 的重量。（

9、 1）橫梁中點(diǎn) 的最大和 梁滾動(dòng)？ 1號(hào)桿和 2號(hào)桿的抗拉剛度分別為 距離為 最小豎向位移是多少？（ 2）球體放在何處，才不會(huì)使其沿 解： x 1NF 2NF aFWx N 2 WaxWF N 2 )( ax )1(11 WFWF NN 假設(shè)載荷作用在靠近左端距離為 x地方 . EA lW EA lFl N )1(1 1 EA lW EA lFl N 22 22 EA lWlWllw C 2 )1(2 2 21 Wl 2)1(2 EA Wl 2)2( EA Wl EA Wlw C 2)2(

10、 0m a x EA Wl EA Wlw C 22)2( 1m i n 載荷靠近 1號(hào)桿作用 . 載荷靠近 2號(hào)桿作用 . F AB EA EA2 l a AB C AB 30如圖所示結(jié)構(gòu)，球體重量為 ，可在剛性梁 上自由移動(dòng)， 和 ，長(zhǎng)度均為 ，兩桿 。不計(jì)剛性梁 的重量。（ 1）橫梁中點(diǎn) 的最大和 梁滾動(dòng)？ 1號(hào)桿和 2號(hào)桿的抗拉剛度分別為 距離為 最小豎向位移是多少？（ 2）球體放在何處，才不會(huì)使其沿 解： )( ax x 1NF 2NFEA lW EA lFl N )1(1 1 EA

11、lW EA lFl N 22 22 21 ll EA lW EA lW 2 )1( 球不會(huì)滾動(dòng)則要求： 21 3 2 ax 3 2 球放在離右邊三分之一的距離處時(shí)，球不會(huì)滾動(dòng)。 CD AB EA D 31如圖所示結(jié)構(gòu)， 是剛性梁，拉桿 的抗拉剛度為 不計(jì)剛性梁 的重量。求剛性梁上 點(diǎn)的豎向位移和水平位移。 解： 拉桿的拉力為： 0 Cm 2 12 aFaF N FFN 2 NF EA Fa EA aFl N 2 l Dw Du Dv EA Falw D 222 EA Fawu D D 2 2 （向右） EA Fawv D D 2 2 （向下） AB 2mm8

12、0A kN20F G P a30E C 32**. 如圖所示結(jié)構(gòu)， 是剛性梁，橫截面為 的鋼索繞過(guò)無(wú) ，鋼索的彈性模量 ，不計(jì)剛性 點(diǎn)的豎向位移。 摩擦的滑輪。載荷 梁的重量。試求鋼索橫截面上的應(yīng)力以及剛性梁上 T T 解： 假設(shè)鋼纜的張力是： T 1 2 1l2l kN54 7.112057 7.060s in2 FT 21 2 30c o s11 l 30c o s22 l 30c os22 2121 llw C 鋼纜的伸長(zhǎng)是： 30c o s2 21 Cwlll EA TLl mm160060c os4002 L )400800(160060s i n800

13、60s i n FTT 30c os2 EA TLw C M Pa3.1 4 480 105 4 7.11 3 AT 30c o s8010302 1 6 0 0105 4 7.11 3 3 mm4.4 30c os 85.3 mm4.4CwM P a3.1 4 4 E A F 33. 如圖所示很長(zhǎng)的直鋼纜須考慮其自重的影響，設(shè)鋼纜材料的 密度為 ，彈性模量為 ，許用應(yīng)力為 ，截面面積為 ，在其下端受有載荷 的作用，試計(jì)算鋼纜所允許的 長(zhǎng)度以及其總伸長(zhǎng)量。 采用疊加法求解 解： 載荷引起的應(yīng)力和伸長(zhǎng)： A F F EA FLL F 自重引起的應(yīng)力和伸長(zhǎng)： x

14、 gA xFNq gLAg A LAF Nqq m a xm a x xEAFL NqLq dm a x0 xEAgA xL d 0 E gLL E g 22 22 總應(yīng)力： m a x gLAFqF 1 AFgL 總伸長(zhǎng)： E gL A FL 2 2 1 AFgL AB mm20d M Pa16 0 m1a F 34. 如圖所示結(jié)構(gòu)， 是剛性橫梁，不計(jì)其重量。 1， 2號(hào)桿的 ，兩桿材料相同，許用應(yīng)力為 ，尺寸 。求結(jié)構(gòu)的許可載荷 。 直徑均為 解： 一次超靜定問(wèn)題。 平衡方程： )3()2(2

15、1 aFaFaF NN FFF NN 32 21 物理方程： EA aFN 1 1 EA aFN 2 2 幾何方程： 12 2 補(bǔ)充方程： 12 2 NN FF FFN 531 FFN 562 562m a x AFAF N 6 5 m a x AF 24 5 2 d 24 1 6 02014.35 2 N108.41 3 kN8.41 kN8.41m a x F 35如圖所示桁架結(jié)構(gòu)，各桿的抗拉剛度均為 ， 載荷 為已知。試求各桿中的軸力。 EA F 1L 2L 3L 45 32 L 1L 平衡方程 : 31 2 2 NN PNN 32 22 解：

16、 協(xié)調(diào)方程： 132 2 LLL 物理方程 : EA aNL 1 1 EA aNL 2 2 EA aNL 3 3 2 補(bǔ)充方程 : 132 2 NNN PN )221(3 PN 2 12 1 PN 2 23 2 1N 2N 3N F q 36如圖所示桿件兩端固定，分別受集中軸向載荷 和均布軸向載荷 的作用，求桿件固定端的約束反力 以及桿件中的最大軸力。 解： 一次超靜定問(wèn)題。 采用疊加法求解 （壓縮）EA aF B )3(1 （拉伸）EA aF )2(2 x qxFN xEAqxxEAF aa N dd 003 （拉伸）EAqa2 2 0321 0223

17、 qaFF B 壓力）(632 qaFF B 63 2 qaFFqaFFqaF BA 拉力）(653 qaFF A 當(dāng)： qaF 2 6 5 3m a x qaFF qaF 2 63 2 m a x qaFF mm4mm40mm40 M P a1 6 0 S G P a2 0 0SE M P a12 W G P a10WE 2mm6.30 8A ? F 37如圖所示，木制桿件的四個(gè)棱邊分別用四個(gè) 的等邊角鋼加固，角鋼的許用應(yīng)力 ，彈性模量 ，木材的許用應(yīng)力 ，彈性模量 ，每根角鋼的橫截面面積為 求結(jié)構(gòu)的許可載荷 解： 一次超靜定問(wèn)題。 F WF SF SF SFSF

18、 平衡方程： FFF SW 4 物理方程： WW WW AE LF SS SS AE LF 幾何方程： SW 補(bǔ)充方程： WW W SS S AE FAEF WW WW SSS FFAE AEF 1.02 5010 6.3 082 00 2 WW SS AE AE SW FF 10 14 FF S 7 5FF W mm4mm40mm40 M P a1 6 0 S G P a2 0 0SE M P a12 W G P a10WE 2mm6.30 8A ? F 37如圖所示，木制桿件的四個(gè)棱邊分別用四個(gè) 的等邊角鋼加固，角鋼的許用應(yīng)力 ，彈性模量 ，木材的許用應(yīng)力 ，彈性

19、模量 ，每根角鋼的橫截面面積為 求結(jié)構(gòu)的許可載荷 解： F WF SF SF SFSF 14 FF S 7 5FF W 75 W WW WW AFAF 5 7 WWAF kN1 0 5 0N101 0 5 0 5 122507 32 14 S SS SS AFAF 14 SSAF kN691N1026.6911606.30814 3 kN6 9 1 F AB M P a1 1 0 t M P a160 c kN20F 38如圖所示結(jié)構(gòu)， 是剛性橫梁，不計(jì)其重量。 1， 2號(hào)桿為 許用壓應(yīng)力為 ，載荷 ，試確定兩桿的 材料和截面面積均相同的圓形截面桿，其許用拉應(yīng)

20、力為 截面直徑。 1NF 2NF 解： 一次超靜定問(wèn)題。 平衡方程： )2(21 aFaFaF NN 物理方程： 壓縮）(1 1 EA lF N 幾何方程： 21 補(bǔ)充方程： 21 NN FF FFF NN 221 1 2 （拉伸）EA lF N 22 壓力）(1 FF N 拉力）(2 FF N 4 2 11 11 cN dFAF ）（ 4 1 c Fd mm6.121 6 014.3 10204 3 mm131 d AB M P a1 1 0 t M P a160 c kN20F 38如圖所示結(jié)構(gòu)， 是剛性橫梁，不計(jì)其重量。 1， 2號(hào)桿為 許用壓應(yīng)

21、力為 ，載荷 ，試確定兩桿的 材料和截面面積均相同的圓形截面桿，其許用拉應(yīng)力為 截面直徑。 解： 一次超靜定問(wèn)題。 1NF 2NF 1 2壓力）(1 FF N 拉力）(2 FF N 4 2 22 22 tN dFAF ）（ 4 2 t Fd mm2.151 1 014.3 10204 3 mm162 d T 39如圖所示結(jié)構(gòu)， CB是剛性橫梁，不計(jì)其重量。 1， 2號(hào)桿的 線熱膨脹系數(shù)為 ，兩桿截面 如果兩桿的溫度均升高了 ，求兩桿截面 材料相同，其彈性模量為 E, 面積均為 A, 上的溫度應(yīng)力。 2N1 N 解： 21 2 aNaN 21 2NN 壓

22、）(11 EAaNl 拉）(22 EA aNl 溫度引起的變形： 伸長(zhǎng)）( 21 Tall EA aNTall 1 111 EA aNTall 2 222 12 2 )(2 12 EA aNTaEA aNTa TaEA aN 25 TE AN 512 T E AN 521 TEAN 521)1( TEAN 512)2( 42如圖所示結(jié)構(gòu)， 是水平剛性橫梁，不計(jì)其重量。 1、 2 號(hào)桿的材料和橫截面面積均相同，材料的彈性模量為 ，截 面面積為 ，許用應(yīng)力為 。為提高結(jié)構(gòu)的許可載荷，可以 將 1號(hào)桿的長(zhǎng)度加工的比設(shè)計(jì)尺寸略短 ，然后再裝配起來(lái)。

23、 （ 1）求最合理的 值。（ 2）處理后的許可載荷 比不處 理的許可載荷 提高了多少個(gè)百分點(diǎn)？ CB E A F F 解： aNaN 221 平衡方程： 2N1 N21 2NN 幾何方程： 21 )(2 ll 物理方程： EA aNl 1 1 EA aNl 2 2 補(bǔ)充方程： EA aN EA aN 21 )(2 a EAN 5 2 2 a EAN 5 4 1 a E A N 5 41 )1( a E A N 5 22 )2( 裝配應(yīng)力： （拉） （壓） 42如圖所示結(jié)構(gòu)， 是水平剛性橫梁，不計(jì)其重量。 1、 2 號(hào)桿的材料和橫截面面積

24、均相同，材料的彈性模量為 ，截 面面積為 ，許用應(yīng)力為 。為提高結(jié)構(gòu)的許可載荷，可以 將 1號(hào)桿的長(zhǎng)度加工的比設(shè)計(jì)尺寸略短 ，然后再裝配起來(lái)。 （ 1）求最合理的 值。（ 2）處理后的許可載荷 比不處 理的許可載荷 提高了多少個(gè)百分點(diǎn)？ CB E A F F 解： 載荷作用下桿件中的應(yīng)力 2N1NaFaNaN 32 21 A F A N 5 3 1 )1( A F A N 5 6 2 )2( 載荷應(yīng)力： 2 12 ll FNN 32 21 EA aNl 2 2 EA aNl 1 1 2 12 NN FN 531 FN 562 （拉） （

25、拉） 42如圖所示結(jié)構(gòu)， 是水平剛性橫梁，不計(jì)其重量。 1、 2 號(hào)桿的材料和橫截面面積均相同，材料的彈性模量為 ，截 面面積為 ，許用應(yīng)力為 。為提高結(jié)構(gòu)的許可載荷，可以 將 1號(hào)桿的長(zhǎng)度加工的比設(shè)計(jì)尺寸略短 ，然后再裝配起來(lái)。 （ 1）求最合理的 值。（ 2）處理后的許可載荷 比不處 理的許可載荷 提高了多少個(gè)百分點(diǎn)？ CB E A F F 解： （ 1）合理的尺寸 2N1N A F 5 3 )1( A F 5 6 )2( （拉） （拉） a E 5 4 )1( a E 5 2 )2( （拉） （壓） 5453)1()1()1( aEA

26、Ft 5256)2()2()2( aEAFt 5 10 a E 最合理的尺寸： E a 2 42如圖所示結(jié)構(gòu)， 是水平剛性橫梁，不計(jì)其重量。 1、 2 號(hào)桿的材料和橫截面面積均相同，材料的彈性模量為 ，截 面面積為 ，許用應(yīng)力為 。為提高結(jié)構(gòu)的許可載荷，可以 將 1號(hào)桿的長(zhǎng)度加工的比設(shè)計(jì)尺寸略短 ，然后再裝配起來(lái)。 （ 1）求最合理的 值。（ 2）處理后的許可載荷 比不處 理的許可載荷 提高了多少個(gè)百分點(diǎn)？ CB E A F F 解： （ 2）提高的百分點(diǎn) 2N1N A F 5 3 )1( A F 5 6 )2( （拉） （拉） 5256

27、m a x aEAF 56m a x AF %7.1661 m a x m a xm a x F FF 6 5 m a x AF 562 525256 E aaEaEAF m a x AF 44如圖所示結(jié)構(gòu)各桿的抗拉剛度 相同。（ 1） 求各桿的軸力。（ 2）節(jié)點(diǎn) 的豎向位移。 EA A 解： 本問(wèn)題為一次超靜定問(wèn)題 平衡方程 協(xié)調(diào)方程 物理方程 補(bǔ)充方程 221 245c o s2 NNN 112 2 245c o s LLL EA lNL 22 2 EA lNF EA lNL )( 11 1 221 FNN 為拉力為壓力， 21 NN

28、 1N 2N 2N 2L2L 1L 44如圖所示結(jié)構(gòu)各桿的抗拉剛度 相同。（ 1） 求各桿的軸力。（ 2）節(jié)點(diǎn) 的豎向位移。 EA A 壓）()21(2 21 FN 拉）()21(22 FN 壓）(2 22 FN AB 拉）(2 12 2 FN 拉）(2 2 FNFN ABBC 21 2 NN 221 FNN 1N 2N 2N BF 45如圖所示兩端固定的立柱其密度為 ，立柱材料 的彈性模量在拉伸時(shí)為 ，壓縮時(shí)為 ，立柱橫截面 面積為 ，長(zhǎng)度為 ，試確定立柱僅在自重作用下兩 固定端的約束反力。 tE CE A L b a CR R y x 受拉區(qū)

29、 受壓區(qū) CR x 1N 1W BR y 2N 2W 解： AE xxNl t a d)(1 01 AE yyNl c b d)(2 02 壓縮量 拉伸量 2 01 2d)( aE gxxa E gl t a t 2 02 2d)( bE gyyb E gl c b c 21 ll 協(xié)調(diào)方程 c t E E b a Lba BF 45如圖所示兩端固定的立柱其密度為 ，立柱材料 的彈性模量在拉伸時(shí)為 ，壓縮時(shí)為 ，立柱橫截面 面積為 ，長(zhǎng)度為 ，試確定立柱僅在自重作用下兩 固定端的約束反力。 CE tE A L b a CR R y x 受拉區(qū)

30、受壓區(qū) CR x 1N 1W BR y 2N 2W g A xRxN C )(1 g A yRyN B )(2 解： 0)(1 g A aRaN C 0)(2 g A bRbN B gAaR C gA bR B )()(1 xagAxN )()(2 ybgAyN BF 45如圖所示兩端固定的立柱其密度為 ，立柱材料 的彈性模量在拉伸時(shí)為 ，壓縮時(shí)為 ，立柱橫截面 面積為 ，長(zhǎng)度為 ，試確定立柱僅在自重作用下兩 固定端的約束反力。 tE CE A L b a CR R y x 受拉區(qū) 受壓區(qū) CR x 1N 1W BR y 2N 2W 解： c t E

31、 E b a Lba ct ct EE EELb /1 / ct EE La /1 ct ct B EE EEgA LR /1 / ct C EE g A LR /1 拉力 壓力 1如圖所示，矩形截面桿件由兩種不同材料牢固粘 接而成， ，桿件只產(chǎn)生拉伸變形時(shí)，求：（ 1） 載荷 作用的位置。（ 2）桿件橫截面上的應(yīng)力計(jì)算 公式。 21 EE F 解法 1： 靜力學(xué)關(guān)系： C AN AF d 0d Ay AzM 0d Az AyM 1)1( E幾何關(guān)系： 物理關(guān)系： 2)2( E 1 2 2)2(1)1( ddA Ay AzAzM 0dd1

32、 2 2)2(1)1( A A AzAz 02)2(1)1( zz SS F F b h 1E 2E h z y e 02211 zz SESE )2(1 ehbhS z )2(2 ehbhS z 0)()(2 2121 eEEEEh 21 21 2 EE EEhe 1 2 2)2(1)1( ddA Az AyAyM 0dd1 2 2)2(1)1( A AyAy 02)2(1)1( yy SS 02)2(1)1( yy SS 載荷作用的位置： 021 yy SS 載荷作用在 y軸上 b h 1E 2E h z y e21 21 2 EE EEhe

33、 AN AF d 1 2 2)2(1)1( ddA A AA 2)2(1)1( AA )( 2211 AEAE )( 212211 EEbh F AEAE F N bh F EE E 21 1)1( bh F EE E 21 2)2( 解法 2： 1如圖所示，矩形截面桿件由兩種不同材料牢固粘 接而成， ，桿件只產(chǎn)生拉伸變形時(shí)，求：（ 1） 載荷 作用的位置。（ 2）桿件橫截面上的應(yīng)力計(jì)算 公式。 21 EE F F F b h 1E 2E h z y e F 1F 2F e h h FFF 21 FehFhF 22 21 22 2 11 1 AE

34、 LF AE LF 2 2 1 1 E F E F FEE EF 21 11 FEE EF 21 22 21 21 2 EE EEhe bh F EE E 21 1)1( bh F EE E 21 2)2( 2矩形截面桿件由兩種不同材料采用如圖所示方 式牢固粘接而成，若桿件只產(chǎn)生拉伸變形時(shí)，求桿件 截面上的應(yīng)力以及桿件的伸長(zhǎng)量。 b h1E 2E 1E a a L F F解： FFF 212 F 1F 2F a h 1F a 11 11 AE LFL 1 1 22 F aE hEF 平衡方程： 物理方程： 21 LL 協(xié)調(diào)方程： 22 22 AE LFL FFaE hE 1 1 2 )2( FhEaE aEF 21 11 2 FhEaE hEF 21 22 2 )2( 21 1)1( hEaEb FE )2( 21 2)2( hEaEb FE )2( 21 hEaEb FLL