6、)；二是?p1＋p2＋…＋pn＝1?檢驗(yàn)分布列的
正誤，如(2)．
考點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)
【例?1】?設(shè)離散型隨機(jī)變量?X?的分布列為
X
P
0
0.2
1
0.1
2
0.1
3
0.3
4
m
求隨機(jī)變量?Y＝|X－1|的分布列．
解 由分布列的性質(zhì)，知
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
列表
X
|X－1|
0
7、
1
1
0
2
1
3
2
4
3
∴P(Y＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(Y＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(Y＝2)＝0.3，P(Y＝3)＝0.3.
因此?Y＝|X－1|的分布列為：
Y
P
0
0.1
1
0.3
2
0.3
3
0.3
規(guī)律方法?(1)利用分布列中各概率之和為?1?可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗(yàn)，以
保證每個概率值均為非負(fù)數(shù)．
(2)若?X?是隨機(jī)變量，則?Y＝|X
8、－1|仍然是隨機(jī)變量，求它的分布列可先求出相應(yīng)
隨機(jī)變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求?Y?取各值的概率，進(jìn)而寫出分布列．
【訓(xùn)練?1】?隨機(jī)變量?X?的分布列如下：
X
P
－1
a
0
b
1
c
C12C35＋C22C25 6
C47
＝??.
C3 1??????????? C4
P(X＝1)＝C4＝35，P(X＝2)＝C4＝35，
P(X＝3)＝C4＝7，P(X＝4)＝C4＝7.
其中?a，b，c?成等差數(shù)列，則?P(|X|＝1)＝________.
ì?2b＝a＋c，
解析 由題意知
9、í
??a＋b＋c＝1，
1 2
則?2b＝1－b，則?b＝3，a＋c＝3，
2
所以?P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝3.
2
答案 3
考點(diǎn)二 離散型隨機(jī)變量的分布列
【例?2】?(2013·?天津卷)一個盒子里裝有?7?張卡片，其中有紅色卡片?4?張，編號
分別為?1,2,3,4；白色卡片?3?張，編號分別為?2,3,4.從盒子中任取?4?張卡片(假設(shè)取
到任何一張卡片的可能性相同)．
(1)求取出的?4?張卡片中，含有編號為?3?的卡片的概率；
(2)在取出的?4?張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為?
10、X，求隨機(jī)變量?X?的分布
列與數(shù)學(xué)期望．
審題路線 (1)編號為?3?的卡片來源有兩類，利用古典概型求事件的概率．(2)根
據(jù)任取?4?張卡片的不同情況確定?X?的所有可能取值，然后求出相應(yīng)的概率，進(jìn)
而確定分布列、計算數(shù)學(xué)期望．
解 (1)設(shè)“取出的?4?張卡片中，含有編號為?3?的卡片”為事件?A，則?P(A)＝
7
6
所以取出的?4?張卡片中，含有編號為?3?的卡片的概率為7.
(2)隨機(jī)變量?X?的所有可能取值為?1,2,3,4.
4
7 7
3 3
C5 2 C6 4
7 7
所以隨
11、機(jī)變量?X?的分布列是
X
P
1
1
35
2
4
35
3
2
7
4
4
7
且?P(X＝3)＝C3＝42，P(X＝4)＝??C3??＝21，
C42·C15? 5???????? C34
P(X＝5)＝??C3??＝14，P(X＝6)＝C3＝21.
1 4 2 4 17
隨機(jī)變量?X?的數(shù)學(xué)期望?E(X)＝1×35＋2×35＋3×7＋4×7＝?5?.
學(xué)生用書 第?189?頁
規(guī)律方法?(1)求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：①明確隨機(jī)變量的取值，并確定
12、隨機(jī)變量服從何種概率分布；②求每一個隨機(jī)變量取值的概率；③列成表格．
(2)求出分布列后注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確．
【訓(xùn)練?2】?(2014·?青島質(zhì)檢)已知箱中裝有?4?個白球和?5?個黑球，且規(guī)定：取出
一個白球得?2?分，取出一個黑球得?1?分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到
的機(jī)會均等)3?個球，記隨機(jī)變量?X?為取出此?3?球所得分?jǐn)?shù)之和．
(1)求?X?的分布列；
(2)求?X?的數(shù)學(xué)期望?E(X)．
解 (1)由題意得?X?取?3,4,5,6，
3 1 5
C5 5 C4·C2 10
9 9
1
13、
9 9
所以?X?的分布列為
X
P
3
5
42
4
10
21
5
5
14
6
1
21
13
(2)由(1)知?E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝?3?.
考點(diǎn)三 超幾何分布問題
【例?3】?(2014·?哈爾濱調(diào)研)PM2.5?是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小
于或等于?2.5?微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)?GB3095
－2012，PM2.5?日均值在?35?微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；
14、在?35?微克/立方
米～75?微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在?75?微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超
標(biāo)．
從某自然保護(hù)區(qū)?2013?年全年每天的?PM2.5?監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取?10?天的數(shù)據(jù)
作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：
PM2.5?日
均值(微
克/立方
[25,35]????(35,45]????(45,55]????(55,65]????(65,75]????(75,85]
P(A)＝??C3???＝40.
P(X＝k)＝???C3? (k＝0,1,2,3)，
∴P(X＝0)＝?C3??＝24，
P
15、(X＝1)＝?C3??＝40，
P(X＝2)＝?C3??＝40，
P(X＝3)＝?C33??7＝120，
米)
頻數(shù) 3 1 1 1 1 3
(1)從這?10?天的?PM2.5?日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出?3?天，求恰有一天空氣質(zhì)量
達(dá)到一級的概率；
(2)從這?10?天的數(shù)據(jù)中任取?3?天數(shù)據(jù)．記?X?表示抽到?PM2.5?監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，
求?X?的分布列．
審題路線 (1)由頻數(shù)分布表，知?10?天中僅有?3?天空氣質(zhì)量達(dá)到一級，利用古典
概型可求第(1)問中的概率．(2)超標(biāo)的天數(shù)?X?服從超幾何分布．利用超幾何分布
的
16、概率公式代入求解．
解 (1)記“從?10?天的?PM2.5?日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出?3?天，恰有一天空氣
質(zhì)量達(dá)到一級”為事件?A，則
1 7
C3·C2 21
10
(2)依據(jù)條件，X?服從超幾何分布，其中?N＝10，M＝3，n＝3，且隨機(jī)變量?X?的
可能取值為?0,1,2,3.
k 7???k
C3·?C3－
10
0 7
C3C3 7
10
1 7
C3C2 21
10
2 7
C3C1 7
10
C3C0 1
10
因此?X?的分布列為
X
P
0
7
24
17、
1
21
40
2
7
40
3
1
120
C10???x
7
則?P(A)＝1－?C2－?＝9，
其中?P(X＝k)＝???C3? ，k＝0,1,2,3.
規(guī)律方法?(1)求解本題的關(guān)鍵在于：①從統(tǒng)計圖表中準(zhǔn)確提取信息；②明確隨機(jī)
變量?X?服從超幾何分布．
(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超
幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若
干個個體，考查某類個體個數(shù)?X?的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、
摸不同
18、類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．
【訓(xùn)練?3】?一袋中裝有?10?個大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出?2?個
7
球，至少得到?1?個白球的概率是9.
(1)求白球的個數(shù)；
(2)從袋中任意摸出?3?個球，記得到白球的個數(shù)為?X，求隨機(jī)變量?X?的分布列．
解 (1)記“從袋中任意摸出?2?個球，至少得到?1?個白球”為事件?A，設(shè)袋中白球
的個數(shù)為?x，
2
10
得到?x＝5.故白球有?5?個．
(2)X?服從超幾何分布，其中?N＝10，M＝5，n＝3，
k 5
C5C3－k
10
于是可得其分布
19、列為
X
P
0
1
12
1
5
12
2
5
12
3
1
12
1．求分布列的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的所有可能值及對應(yīng)的概率，要注意避
免分類不全面或計算錯誤．
2．注意運(yùn)用分布列的兩個性質(zhì)檢驗(yàn)求得分布列的正誤．
3．求概率分布的常見類型
(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)表求離散型隨機(jī)變量的分布列；
(2)由古典概型求離散型隨機(jī)變量的分布列；
(3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率及?n?次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有?k
20、次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列．
學(xué)生用書 第?190?頁
思想方法?11——分類討論思想在概率中的應(yīng)用
【典例】?在一個盒子中，放有標(biāo)號分別為?1,2,3?的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，
有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號分別為?x，y，記?X＝|x－2|＋|y－x|.
(1)求隨機(jī)變量?X?的最大值，并求事件“X?取得最大值”的概率；
(2)求隨機(jī)變量?X?的分布列．
解 (1)∵x，y?可能的取值為?1,2,3，
∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，
∴X≤3，且當(dāng)?x＝1，y＝3?或?x＝3，y＝1?時
21、，X＝3.
因此，隨機(jī)變量?X?的最大值為?3.
∵有放回地抽兩張卡片的所有情況有?3×3＝9(種)，
2
∴P(X＝3)＝9.
2
故隨機(jī)變量?X?的最大值為?3，事件“X?取得最大值”的概率為9.
(2)X?的所有取值為?0,1,2,3.
∵X＝0?時，只有?x＝2，y＝2?這一種情況，
X＝1?時，有?x＝1，y＝1?或?x＝2，y＝1?或?x＝2，y＝3?或?x＝3，y＝3?四種情況，
X＝2?時，有?x＝1，y＝2?或?x＝3，y＝2?兩種情況．
1 4 2
∴P(X＝0)＝9，P(X＝1)＝
22、9，P(X＝2)＝9.
則隨機(jī)變量?X?的分布列為
X
P
0
1
9
1
4
9
2
2
9
3
2
9
8C32
因此?P(X＝0)＝?C2?＝11，
故?P(X＝???2)＝C2?＝11，
[反思感悟]?(1)解決本題的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的所有可能值及對應(yīng)的概率．
(2)隨機(jī)變量?X?的值是?x，y?的函數(shù)，所以要對?x，y?的取值進(jìn)行分類討論．
(3)分類不全面或計算錯誤是本題易錯點(diǎn)．
【自主體驗(yàn)】
(2012·?江蘇卷)設(shè)?X?為隨機(jī)變量，從棱長為
23、?1?的正方體的?12?條棱中任取兩條，
當(dāng)兩條棱相交時，X＝0；當(dāng)兩條棱平行時，X?的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條
棱異面時，X＝1.求隨機(jī)變量?X?的分布列．
解 若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體?8?個頂點(diǎn)中的?1?個，過任意?1?個頂點(diǎn)恰有
3?條棱，所以共有?8C23對相交棱，
4
12
若兩條棱平行，則它們的距離為?1?或?2，其中距離為?2的共有?6?對，
6 1
12
4 1 6
于是?P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝?2)＝1－11－11＝11，
所以隨機(jī)變量?X?的分布列是
X
P
24、0
4
11
1
6
11
2
1
11
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時：40?分鐘)
一、選擇題
1．(2014·?武漢模擬)從裝有?3?個白球，4?個紅球的箱子中，隨機(jī)取出了?3?個球，
恰好是?2?個白球，1?個紅球的概率是
4
A.35
12
C.35
(???)．
6
B.35
36
D.343
問題，故所求概率為?P＝??C3??＝35.
解析 如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布
4
C2
25、3C1 12
7
答案 C
2．設(shè)?X?是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為：
X
P
－1
0.5
0
1－2q
1
q2
則?q?等于
A．1
2
C．1－?2
解析 由分布列的性質(zhì)得：
(???)．
2
B．1±?2
2
D．1＋?2
??q＝1±???2.
ì?0≤1－2q＜1，
í0≤q2＜1，
??0.5＋1－2q＋q2＝1
2
ì?0＜q≤1，
í
2
2
∴q＝1－?2?.
答案 C
26、
3．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的?2?倍，用隨機(jī)變量?X?去描述?1?次試驗(yàn)的成功
次數(shù)，則?P(X＝0)等于
1 1 2
A．0 B.2 C.3 D.3
(???)．
解析 由已知得?X?的所有可能取值為?0,1，
且?P(X＝1)＝2P(X＝0)，
1
由?P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得?P(X＝0)＝3.
答案 C
4．在?15?個村莊有?7?個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選?10?個村莊，用?X?表示這
10?個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于?C10?的是
8
C47C6
15
27、
(???)．
A．P(X＝2)
C．P(X＝4)
B．P(X≤2)
D．P(X≤4)
解析?? X?服從超幾何分布，故?P(X＝k)＝ C10 ，k＝4.
n(n＋1)
k 8
C7C10－k
15
答案 C
a
5．隨機(jī)變量?X?的概率分布規(guī)律為?P(X＝n)＝ (n＝1,2,3,4)，其中?a?是常數(shù)，
則?P?2
28、
5
D.6
(n＝1,2,3,4)，
所以????a
1×2? 2×3? 3×4? 4×5
＝a?1－2＋2－3＋3－4＋4－5÷＝5a.
∴?5?＝1，則?a＝4.則?P?2
29、_____．
解析 設(shè)?X?取?x1，x2，x3?時的概率分別為?a－d，a，a＋d，
1
則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，∴a＝3，
??1＋d≥0，
由
ì?1－d≥0，
í3
3
1?????1
得－3≤d≤3.
答案?? ê－3，3ú
又?P(X＝3)＝C3＝10，P(X＝4)＝C3＝10，P(X＝5)＝C3＝5.
é 1 1ù
? ?
7．設(shè)隨機(jī)變量?X?等可能取值?1,2,3，…，n，如果?P(X<4)＝0.3，那么?n＝________.
解析 由于隨機(jī)變量?X?等可能取?1,2
30、,3，…，n.
1
所以取到每個數(shù)的概率均為n.
3
∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝n＝0.3，∴n＝10.
答案 10
8．口袋中有?5?只球，編號為?1,2,3,4,5，從中任意取?3?只球，以?X?表示取出的球
的最大號碼，則?X?的分布列為________．
解析 X?的取值為?3,4,5.
2
1 1 C3 3 C24 3
5 5 5
∴隨機(jī)變量?X?的分布列為
X
P
3
0.1
4
0.3
5
0.6
答案
X
31、
P
3
0.1
4
0.3
5
0.6
三、解答題
9．(2014·?長沙調(diào)研)某商店試銷某種商品?20?天，獲得如下數(shù)據(jù)：
日銷售量(件)
頻數(shù)
0
1
1
5
2
9
3
5
試銷結(jié)束后?(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變?)，設(shè)某天開始營業(yè)時有
該商品?3?件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于?2?件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充
至?3?件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率．
(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；
(2)記?X?為第二天開始營業(yè)時該商品
32、的件數(shù)，求?X?的分布列．
解 (1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)
1 5 3
＝P(當(dāng)天商品銷售量為?0?件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為?1?件)＝20＋20＝10.
(2)由題意知，X?的可能取值為?2,3.
5 1
P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為?1?件)＝20＝4；
P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為?0?件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為?2?件)＋P(當(dāng)天商
1 9 5 3
品銷售量為?3?件)＝20＋20＋20＝4.
所以?X?的分布列為
X
P
2
1
4
3
3
4
10.(2013
33、·?重慶卷)某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，
摸獎?wù)呦葟难b有?3?個紅球與?4?個白球的袋中任意摸出?3?個球，再從裝有?1?個藍(lán)球
與?2?個白球的袋中任意摸出?1?個球．根據(jù)摸出?4?個球中紅球與藍(lán)球的個數(shù)，設(shè)一、
二、三等獎如下：
獎級
摸出紅、藍(lán)球個數(shù)??獲獎金額
一等獎
二等獎
三等獎
3?紅?1?藍(lán)
3?紅?0?藍(lán)
2?紅?1?藍(lán)
200?元
50?元
10?元
其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級．
(1)求一次摸獎恰好摸到?1
34、?個紅球的概率；
(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額?X?的分布列與數(shù)學(xué)期望?E(X)．
C31C42
(1)恰好摸到?1?個紅球的概率為?P(A1)＝??C3??＝35.
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝C3·?3＝105；
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝C3·?3＝105，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝??C3??·?3＝35，
解 設(shè)?Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到?i?個紅球，Bj(j＝0,1)表示摸到?j?個藍(lán)球，則?Ai
與?Bj?獨(dú)立．
18
7
(2)X?
35、的所有可能值為：0,10,50,200，且
C3?1 1
7
C3?2 2
7
2 1
C3C4?1 4
7
1 2 4 6
P(X＝0)＝1－105－105－35＝7.
綜上知，獲獎金額?X?的分布列為
X
P
0
6
7
10
4
35
50
2
105
200
1
105
6 4 2 1
從而有?E(X)＝0×7＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．
能力提升題組
(建議用時：25?分鐘)
一、選擇題
1．(2014·?蘭
36、州模擬)從?4?名男生和?2?名女生中任選?3?人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變
量?X?表示所選?3?人中女生的人數(shù)，則?P(X≤1)等于
(???)．
1
A.5
3
C.5
2
B.5
4
D.5
C41C22
解?? P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－??C3??＝5.
4
6
答案 D
2．設(shè)隨機(jī)變量?X?的概率分布列如下表所示：
X 0 1 2
P??? a??? 1
3
1
6
F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)?x?的取值范圍是[1,2)時，F(xiàn)(x)等于
37、
(???)．
1
A.3
1
C.2
1
B.6
5
D.6
1 1 1
解 ∵a＋3＋6＝1，∴a＝2.
∵x∈[1,2)，
1 1 5
∴F(x)＝P(X≤x)＝2＋3＝6.
答案 D
二、填空題
3．(2014·?青島調(diào)研)為質(zhì)檢某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取?5?件，測量產(chǎn)品中微量元素?x，
y?的含量(單位：毫克)，測量數(shù)據(jù)如下：
編號
x
y
1
169
75
2
178
80
3
166
77
4
175
38、
70
5
180
81
P(X＝0)＝C2＝0.3，
如果產(chǎn)品中的微量元素?x，y?滿足?x≥175?且?y≥75?時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．現(xiàn)
從上述?5?件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取?2?件，則抽取的?2?件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)?X?的分布列
為________．
解析 5?件抽測品中有?2?件優(yōu)等品，則?X?的可能取值為?0,1,2.
2
C3
5
C31·C12
C52
P(X＝1)＝
＝0.6，
P(X＝2)＝C2＝0.1.
C2
5
∴優(yōu)等品數(shù)?X?的分布列為
X
P
39、
0
0.3
1
0.6
2
0.1
答案
X
P
0
0.3
1
0.6
2
0.1
三、解答題
4．(2014·?廣州質(zhì)檢)某班?50?位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，
其中成績分組區(qū)間是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
C9 6??????????? C1·?C1
P(X＝0)＝
40、C2?＝11，P(X＝1)＝??C2???＝22，
C32
P(X＝2)＝C2?＝22.
(1)求圖中?x?的值；
(2)從成績不低于?80?分的學(xué)生中隨機(jī)選取?2?人，該?2?人中成績在?90?分以上(含
90?分)的人數(shù)記為?X，求?X?的分布列與數(shù)學(xué)期望．
解 (1)由頻率分布直方圖知?(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得?x＝
0.018.
(2)由頻率分布直方圖知成績不低于?80?分的學(xué)生人數(shù)為
(0.018?＋?0.006)×10×50?＝?12?，?成?績?在?90?分?以?上?(?含?90?分?)?的?人?數(shù)?為
0.006×10×50＝3.
因此?X?可能取?0,1,2?三個值．
9
12 12
1
12
X?的分布列為
X
P
0
6
11
1
9
22
2
1
22
6 9 1 1
故?E(X)＝0×11＋1×22＋2×22＝2.
學(xué)生用書 第?191?頁
《創(chuàng)新設(shè)計高考總復(fù)習(xí)》配套學(xué)案離散型隨機(jī)變量及其分布列
