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1、單元分析方法： 1、直接剛度法 2、數(shù)值法：變分法；加權余量法（參照清華教材）,第二章 有限元法的直接剛度法,【教學目的和教學要求】 掌握有限元求解問題的基本過程，掌握有限元法的基本原理。,授課大綱,2.1直梁的有限元分析 2.2 平面剛架的有限元分析,引子,有限元模型 是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。,2.1直梁的有限元分析,有限元法基本概念 結構（或連續(xù)體）離散（有限元建模） 1）網(wǎng)格劃分---即把結構按一定規(guī)則分割成有限單元 2）邊界處理---即把作用于結構邊界上約束和載荷處理為節(jié)點約束和節(jié)點載荷 要求 1）離散結構必須與原始結構保形--單元的幾何特性 2）一個單元內的物理特性必須相同--單
2、元的物理特性,單元：即原始結構離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結構域。簡言之，將連續(xù)體用假想的線或面分割成有限個部分，各部分之間用有限個點相連。本書中，兩個節(jié)點之間的桿件構成一個單元。 節(jié)點：單元與單元間的連接點。 節(jié)點位移：結構在受力變形過程中節(jié)點位置的改變。分為線位移與角位移，單元類型不同，節(jié)點位移不同。 節(jié)點力：單元與單元間通過節(jié)點的相互作用力。 節(jié)點載荷：作用于節(jié)點上的外載。節(jié)點載荷包括直接作用在節(jié)點上的外載荷和等效移置到節(jié)點上的載荷。,,注意 1)節(jié)點是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結構與實際結構的重大差別； 2）節(jié)
3、點力與節(jié)點載荷的差別。,,每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。 作為一個整體，單元形成了整體結構的數(shù)學模型。 盡管梯子的有限元模型低于100個方程（即“自由度”），然而在今天一個小的 ANSYS分析就可能有5000個未知量，矩陣可能有25，000，000個剛度系數(shù)。,2.1.1劃分單元,單元：應該是規(guī)則形狀的簡單幾何體，以便進行單元分析。 常用的單元形式 線性元： 精密元：,,等參元：（曲邊、直線邊均可） 離散化模型,,彈性力學問題的位移法中，節(jié)點大都為鉸接點,單元節(jié)點數(shù)：r,結構節(jié)點數(shù)：n,節(jié)點自由度：Wi - 節(jié)點上獨立參變量的個數(shù)， 按位移求解時：,,桿件結構的節(jié)點可按以下原則
4、選?。?桿件的交點一定要選為節(jié)點。 階梯形桿截面變化處一定要取為節(jié)點。 支承點和自由端要取為節(jié)點。 集中載荷作用處要取為節(jié)點。 欲求位移的點要取為節(jié)點。 單元長度不要相差太多。 按照桿件結構劃分單元的原則，對圖2.1(a)所示結構劃分的單元如圖2.1(b)所示。,,,圖2.1 直梁及其有限元模型,2.1.2 以節(jié)點位移表示單元節(jié)點力,任取一單元進行分析。根據(jù)材料力學的知識，梁單元上每個節(jié)點的節(jié)點位移分量有2個：撓度和轉角，一般規(guī)定，向上為正，逆時針為正。寫成列陣形式見式（2-1），表示節(jié)點的節(jié)點位移。,（2-1）,,上圖所示梁單元有i、j兩個節(jié)點，共有4個節(jié)點位移分量：fi、i、fj、j，可用
5、一個列陣表示，稱為單元的節(jié)點位移列陣。,梁在外力作用下，橫截面上的內力有2個：剪力Q、彎矩M。,所以，梁單元上每個節(jié)點的節(jié)點力有2個，用q、m來表示，規(guī)定：q向上為正，m逆時針為正 寫成列陣形式，表示 i 節(jié)點的節(jié)點力。,上圖所示梁單元共有4個節(jié)點力分量：qi、mi、qj、mj，可用一個列陣表示，稱為單元的節(jié)點力列陣。,梁單元上每個節(jié)點的節(jié)點載荷有2個：橫向力Z和力偶M，一般規(guī)定，Z向上為正，M 逆時針為正。寫成列陣形式，表示節(jié)點的節(jié)點載荷。,梁單元共有4個節(jié)點載荷分量：Zi、Mi、Zj、Mj，可用一個列陣表示，稱為單元的節(jié)點載荷列陣。,,節(jié)點力和節(jié)點載荷的區(qū)別：節(jié)點力是單元和節(jié)點之間的作
6、用力，如果取整個結構為研究對象，節(jié)點力是內力；而節(jié)點載荷是結構在節(jié)點上所受到的外載荷或等效移置到節(jié)點上的外載荷。,梁單元的每個節(jié)點有2個節(jié)點位移分量（撓度f和轉角），我們稱每個節(jié)點有2個自由度。圖2.1所示的梁結構共有4個節(jié)點，8個位移分量，我們稱整個梁結構有8個自由度。,圖2.1所示梁上全部節(jié)點的節(jié)點位移分量可用一個列陣表示，稱為結構的節(jié)點位移列陣，全部節(jié)點的節(jié)點載荷分量可用一個列陣表示，稱為結構的節(jié)點載荷列陣。,,,根據(jù)材料力學的知識可知，在彈性范圍和小變形的前提下，節(jié)點力和節(jié)點位移之間是線性關系。所以，單元的節(jié)點力和節(jié)點位移的關系可以表示為：,,寫成矩陣形式：,,簡寫為 :,,,,式中：
7、,為單元節(jié)點力列陣,為單元節(jié)點位移列陣,為單元剛度矩陣 ，是描述單元節(jié)點力和節(jié)點 位移之間關系的矩陣,（2-11）,單元剛度矩陣中各元素的物理意義：,在j點固定，令i點有如圖所示的位移，即有,,,,,圖2-3（a）,代入公式中，得,,a11的物理意義：單元第個節(jié)點位移分量等于1，其它節(jié)點位移分量等于0時，對應的第1個節(jié)點力分量。a21的物理意義：單元第個節(jié)點位移分量等于1，其它節(jié)點位移分量等于0時，對應的第2個節(jié)點力分量。a31的物理意義：單元第個節(jié)點位移分量等于1，其它節(jié)點位移分量等于0時，對應的第3個節(jié)點力分量。a41的物理意義：單元第個節(jié)點位移分量等于1，其它節(jié)點位移分量等于0時，對應的
8、第4個節(jié)點力分量。,（2-12）,單元剛度矩陣中元素aml的物理意義：單元第l個節(jié)點位移分量等于1，其它節(jié)點位移分量等于0時，對應的第m個節(jié)點力分量。,求單元剛度矩陣的第一列元素，由疊加原理，可得,,,,,單獨作用所產(chǎn)生的位移,,,,單獨作用所產(chǎn)生的位移,圖2-3（b）,圖2-3（b）中,圖2-3（b）中,,,,,,,解方程得,對梁單元分析受力，列平衡方程,,圖2-3（c）,解方程得,單元剛度矩陣中第二列元素的物理意義是：fi=0，i=1，fj=0，j=0時，作用在單元節(jié)點上的節(jié)點力,,求單元剛度矩陣 的第二列元素由疊加原理，可得：,,解方程得,,圖2-4 單元剛度矩陣 第二列元素的意義,（2-20）,對梁單元分析受力，列平衡方程，解得,,（2-21）,同理，可求出單元剛度矩陣中的第三、四列元素，從而得到單元剛度矩陣,,從上式可以看出，單元剛度矩陣是一個對稱矩陣，即 aij=aji,將單元剛度矩陣的公式應用于三個實際的梁單元,,,,圖2-5 三個單元的受力圖,單元的節(jié)點力和節(jié)點位移的關系，通常采用分塊的方法表示，如2號單元的節(jié)點力和節(jié)點位移的關系,,（2-26）,
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